2024年高考数学重难点突破第17讲 柯西中值定理在高中数学的应用

第17讲柯西中值定理在高中数学的应用微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.柯西中值定理及其证明柯西中值定理:若与在上可导,且,则在内至少存在一点,使.大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.罗尔定理:设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,而且在两端点处函数的值相等,那么在开区间上至少有一点,使得在这点的导数等于零.证明:设和分别是在区间,上的最大值和最小值.由于在上是连续的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么对于一切都有.如果和不能同时成立,那么和这两个数中间至少有一个不等于数.为了确切起见,设是这样的数.于是,在开区间的某点,函数达到闭区间上的最大值,因而在这个点同时有局部极大值.因为在点处的导数存在且等于零.的情况可以进行类似的讨论.下面证明柯西中值定理.证明:引人函数•.这个函数在上显然是连续的,而且在开区间上有导数.此外,.因此根据罗尔定理可以找到这样的点,使得,,即.(1)显然,否则的话,由于,就应该有,但是根据已知条件和不同时等于零,因此,,用它除等式(1)的右边,即得所证.柯西中值定理证明无参不等式【例1】若,求证:【解析】证明：要证,实际上只需证.设,则在上,满足柯西中值定理条件,.注意:其中用到及是单调增加函数来放缩.柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理可以解决:已知在上,不等式恒成立,求参数的取值范围问题(其中,其一般步骤如下:第一步:参变分离.(暂定,具体要讨论).第二步:柯西中值定理转换.,其中.第三步:构造函数求解.令,问题转化为在恒成立问题,按一元函数求解.【例1】已知函数,若在上恒成立,求的取值范围。【解析】解法一:分类讨论法∵,当时,,∴在上单调递减.∴当时,,不合题意.②当时,,令得.得.(1)当,即时,时,,即递减,∴,不合题意.(2)当,即时,时,,即单调递增,∴满足题意.综上,.法二:柯西中值定理法第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离,即.第二步:分子和分母分别构造函数..又,得.第三步:利用柯西中值定理简化函数.其中.第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.【例2】已知函数1),,若当时,恒成立,求的取值范围.【解析】解法一:由函数,则）,其中.当时,∵.∴函数在上单调递增,故.当时,令得.若,则,∴函数在时,,不符合题意.综上,的取值范围是.法二:柯西中值定理法第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离,即.第二步:分子和分母分别构造函数.,又,得.第三步:利用柯西中值定理简化函数.第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.【例3】已知函数,当时,,求实数的取值范围.【解析】解第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离,即.第二步:分子和分母分别构造函数..又,得.第三步:利用柯西中值定理简化函数.,其中.第四步:再次利用柯西中值定理简化函数.其中.第五步:利用极限可得函数确界.由,可得,即.),若时,