挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题2.1相交线中的角度综合(压轴题专项讲练)(北师大版)(原卷版+解析)

专题2.1相交线中的角度综合【典例1】如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．（1）若∠COE=30°，则∠BOF=__________．（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）（1）根据AB⊥CD，∠COE=30°，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据∠EOF=90°，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；（2）解分两种情形，OA平分∠EOF，得出∠EOA=12∠EOF=45°，∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时根据运动转过的角度列方程15t=30+45+90，OB平分∠EOF，∠EOB=（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线OP是∠COE的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．（1）解：∵AB⊥CD，∠COE=30°，∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，故答案是：30°；（2）解：分两种情况，情况一：如图，当OA平分∠EOF时，∵OA平分∠EOF，∴∠EOA=1∴∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时，OA平分∠EOF，根据题意得：15t=30+45+90，解得：t=11；情况二：如图，当OB平分∠EOF时，∵OB平分∠EOF，∴∠EOB=1设运动t秒时，OB平分∠EOF，根据题意得：15t=30+270+45，解得：t=23；综上：运动11或23秒时，直线AB平分∠EOF；（3）解：分四种情况，情况一：如图，当OE在∠COB内时，∵射线OP是∠COE的角平分线∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，∵∠COE=∠BOF，∴∠POE=12∴∠AOP=90°+1情况二：如图，当OE在∠AOC内时，∵∠COE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∴∠AOP=90°−1情况三：如图，当OE在∠AOD内时，∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∴∠AOP=90°−1情况四：如图，当OE在∠BOD内时，∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°+∠COP=90°+12∴∠AOP=90°+1综上：∠AOP=90°+12∠BOF1．（2023秋·福建福州·七年级统考期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（

）A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上C．OG⊥OF D．OE⊥OF2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=50°，∠2=60°，射线OG⊥OE，则∠DOG的度数为___________．4．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°0°<α<360°到OF，若5．（2023秋·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥CD于（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．7．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．8．（2023春·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=2（1）∠AOE度数是；∠DOE度数是；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；②当OA⊥OF时，请求出α的度数．9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知直线AB与CD相交于点O．（Ⅰ）如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．（Ⅱ）如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小；（Ⅲ）如图3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．10．（2023春·四川成都·七年级统考期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°．（1）求∠EOB的度数．（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD=33°，则两射线同时出发分钟．12．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE=90°，过点O作射线OF．（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF=130°，求（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE=90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；（3）若∠BOE=20°，∠BOF=130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°<α<180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF=90°13．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．14．（2023春·全国·七年级期末）如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）（2）若∠AOC=40°，①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．15．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图①．直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB=45∘）的直角顶点放在点O处，一条直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒15∘（1）当直角三角板旋转到图②的伩置时，射线OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间的数量关系为____________．（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COD=120①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，射线OC，射线OE中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在旋转过程中，当边AB与射线OD相交时，如图③，请直接写出∠BOC−∠AOD的值____________．16．（2023秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO（1）如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；（2）如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．（3）如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．17．（2023春·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．18．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．（1）【基础尝试】如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）【画图探究】作射线OF⊥OC，设∠AOC=x°，请你利用图（2）画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．（3）【拓展运用】在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．19．（2023春·河南新乡·七年级校联考期末）如图，两条直线AB,CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON（与射线OD重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒10°，两射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）．（1）图中一定有__个直角；当t=2，∠MON的度数为__；当t=4，∠MON的度数为___；（2）当0<t<12时，若∠AOM=3∠AON−60°，试求出t的值；（3）当0<t<6时，探究8∠BON−3∠COM∠MON的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t20．（2023春·福建莆田·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是．（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．专题2.1相交线中的角度综合【典例1】如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．（1）若∠COE=30°，则∠BOF=__________．（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）（1）根据AB⊥CD，∠COE=30°，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据∠EOF=90°，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；（2）解分两种情形，OA平分∠EOF，得出∠EOA=12∠EOF=45°，∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时根据运动转过的角度列方程15t=30+45+90，OB平分∠EOF，∠EOB=（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线OP是∠COE的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．（1）解：∵AB⊥CD，∠COE=30°，∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，故答案是：30°；（2）解：分两种情况，情况一：如图，当OA平分∠EOF时，∵OA平分∠EOF，∴∠EOA=1∴∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时，OA平分∠EOF，根据题意得：15t=30+45+90，解得：t=11；情况二：如图，当OB平分∠EOF时，∵OB平分∠EOF，∴∠EOB=1设运动t秒时，OB平分∠EOF，根据题意得：15t=30+270+45，解得：t=23；综上：运动11或23秒时，直线AB平分∠EOF；（3）解：分四种情况，情况一：如图，当OE在∠COB内时，∵射线OP是∠COE的角平分线∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，∵∠COE=∠BOF，∴∠POE=12∴∠AOP=90°+1情况二：如图，当OE在∠AOC内时，∵∠COE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∴∠AOP=90°−1情况三：如图，当OE在∠AOD内时，∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∴∠AOP=90°−1情况四：如图，当OE在∠BOD内时，∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，∴∠POC=12∴∠AOP=90°+∠COP=90°+12∴∠AOP=90°+1综上：∠AOP=90°+12∠BOF1．（2023秋·福建福州·七年级统考期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（

）A．OE，OF在同一直线上 B．OE，OG在同一直线上C．OG⊥OF D．OE⊥OF【思路点拨】根据角平分线的性质得到∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是互为补角，所以∠COE+∠COF=90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG=12∠AOD，且∠AOD与∠BOC【解题过程】解：如图，∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，∴∠COE=∠AOE=12∠AOC∵OG是∠AOD的平分线，∴∠AOG=∠DOG=1∴∠COE+∠COF=∠AOF+∠BOF=1∴∠EOF=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOG=∠BOF，∴∠EOG=∠AOG+∠AOE=90°，∴∠EOG+∠EOF=180°，∴OF与OG共线，∴射线OE，OF互相垂直，故D正确，A错误；射线OF与OG互相垂直，故BC错误．故选：D．2．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．【解题过程】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；故①正确；∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG，∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，故④正确；∵∠AOD=150°，∴∠BOD=180°-150°=30°，∴∠EOF=30°故③正确；若OD为∠EOG的平分线，则∠DOE=∠DOG，∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，∴∠EOF=30°，而无法确定∠EOF=30°，∴无法说明②的正确性；故选：B．3．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=50°，∠2=60°，射线OG⊥OE，则∠DOG的度数为___________．【思路点拨】先求出∠EOD=70°，再分射线OG在直线EF的两侧进行讨论求解即可．【解题过程】解：∵∠1=50°，∠2=60°，∠2=∠AOE，∴∠EOD=180°－50°－60°=70°，分两种情况：①如图，∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，∴∠DOG=∠EOG－∠EOD=90°－70°=20°；②如图，∵∠EOG=90°，∠EOD=70°，∴∠DOG=∠EOD+∠EOG=70°+90°=160°，综上，∠DOG的度数为20°或160°，故答案为：20°或160°．4．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°0°<α<360°到OF，若【思路点拨】OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF=120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．【解题过程】解：①当OF运动到如图所示的位置时，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵∠AOE=2∴∠AOE=2当∠AOF=120°时，∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°，②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，∵∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°，∵∠AOE=2∴∠AOE=2当∠AOF=120°时，∴α=360°-（∠AOF＋∠AOE）=360°-150°=210°，故答案为：90°或210°．5．（2023秋·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______．【思路点拨】先根据垂直定义求出∠FOD=90°，从而求出∠DOE的度数，然后利用角平分线的定义求出∠BOD，分两种情况，射线OG在OE的下方，射线OG在OE的上方，即可求解．【解题过程】解：∵OF⊥CD，∴∠FOD=90°，∵∠EOF=54°，∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°，∵∴OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠DOE=72°，分两种情况：当射线OG在OE的下方，如图：∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD∴∠AOG=180°-∠EOG-∠BOE=54°；当射线OG在OE的上方，如图：∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，∵∠DOE=36°，∴∠COG=180°-∠EOG-∠DOE=54°，∴∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+∠COG=72°+54°=126°，综上所述：∠AOG的度数为：54°或126°，故答案为：54°或126°．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥CD于（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数；（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．【思路点拨】（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得∠BOE的度数；（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F′在射线ON上，则∠EO【解题过程】（1）解：∵EO⊥CD，∴∠DOE=90°，又∵∠BOD=∠AOC=36°，∴∠BOE=90°−36°=54°；（2）∵∠BOD:∠BOC=1:5，∴∠BOD=1∴∠AOC=30°，又∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOE=90°+30°=120°；（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F′在射线ON上，则∠EO综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．7．（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【思路点拨】（1）设∠BOE=x，则∠EOC=4x，先根据角平分线的定义可得∠BOD=∠BOE=x，∠EOD=2∠BOE=2x，再根据邻补角的定义求出x的值，从而可得∠BOD的度数，然后根据对顶角相等即可得；（2）先求出∠EOD=60°,∠FOD=90°，再分①点F在AB的上方和②点F在AB的下方两种情况，根据角的和差即可得．【解题过程】（1）解：由题意，设∠BOE=x，则∠EOC=4x，∵OB平分∠EOD，∴∠EOD=2∠BOE=2x，∠BOD=∠BOE=x，∵∠EOD+∠EOC=180°，∴2x+4x=180°，解得x=30°，∴∠BOD=30°，由对顶角相等得：∠AOC=∠BOD=30°．（2）解：由（1）可知，∠EOD=2×30°=60°，∵OF⊥CD，∴∠FOD=90°，由题意，分以下两种情况：①如图，当点F在AB的上方时，则∠EOF=∠EOD+∠FOD=150°；②如图，当点F在AB的下方时，则∠EOF=∠FOD−∠EOD=30°；综上，∠EOF的度数为30°或150°．8．（2023春·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=2（1）∠AOE度数是；∠DOE度数是；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；②当OA⊥OF时，请求出α的度数．【思路点拨】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD=75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在上方位置．【解题过程】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝75°∵∠AOE＝23∠COE∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝53∠COE∴∠COE＝45°，∴∠AOE＝30°，∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，故答案为：75°，135°；（2）①当OF平分∠BOE时∵∠BOF＝12∠BOE＝12（∠COE+∠BOC）＝∴∠BOF＝∠BOD＝75°，∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．②当OA⊥OF时，且OF在下方时，∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，∴α＝60°+180°＝240°．综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．9．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知直线AB与CD相交于点O．（Ⅰ）如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．（Ⅱ）如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小；（Ⅲ）如图3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．【思路点拨】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x（Ⅲ）与（2）的解法相同．【解题过程】解（Ⅰ）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=1∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−45°=135°，即∠AOD的度数为135°；（Ⅱ）∵∠BOC=4∠NOB∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=1∵∠BOM=3∴x=36°，∴∠MON=3即∠MON的度数为54°；（Ⅲ）∵∠BOC=4∠NOB∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=1∵∠BOM=3∴x=360°−2α∴∠MON=310．（2023春·四川成都·七年级统考期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．【思路点拨】（1）因为∠AOD=90°，∠DOE=∠BOF=40°，所以∠AOE=50°，∠DOF=50°，则∠AOE=∠DOF；（2）①因为∠BOD=90°，所以∠BOF+∠DOF=90°，由折叠可知，∠BOF=∠GOD，所以∠GOD+∠DOF=90°，即∠GOF=90°，因为COB=90°，所以∠COB=∠GOF，则∠BOG=∠COF；②因为∠BOF=50°，所以∠DOF=40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH-∠FOH=20°，因为∠GOD=∠BOF=50°且∠MOG=15°，所以∠MOH=85°或∠MOH=55°．【解题过程】（1）解：（1）∠AOE=∠DOF，理由如下：∵∠AOD=90°，∠DOE=∠BOF=40°，∴∠AOE=50°，∠DOF=50°，∴∠AOE=∠DOF；（2）①∠BOG=∠COF，理由如下：∵∠BOD=90°，∴∠BOF+∠DOF=90°，∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，∴∠BOF=∠GOD，∴∠GOD+∠DOF=90°，即∠GOF=90°，∵∠COB=90°，∴∠COB=∠GOF，∴∠COB+∠BOF=∠GOF+∠BOF，∴∠BOG=∠COF；②∵∠BOF=50°，∴∠DOF=40°∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，∴OH平分∠DOF，∴∠DOH-∠FOH=20°，∵∠GOD=∠BOF=50°且∠MOG=15°，∴∠MOH=85°或∠MOH=55°．11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°．（1）求∠EOB的度数．（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD=33°，则两射线同时出发分钟．【思路点拨】（1）先根据直角∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，进而由平角定义求解即可；（2）先求出∠FOD=143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据射线OF转动的度数－射线OD转动的度数=143列出方程求解即可；（3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，分两条射线第一次重合前和两条射线第一次重合后两种情况，根据题意列出方程求解即可．【解题过程】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，∴∠EOF＝90°－37°＝53°，∵

OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF=53°×2＝106°，∴

∠EOB＝180°－106°＝74°；（2）∵

∠COD＝180°，∠COE＝90°，∴

∠EOD＝90°，∴

∠FOD＝90°＋53°＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意，得：6x－0.5x＝143，解得：x＝26．答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合；（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，当射线OF与射线OD第一次重合前，根据题意，得：6t+33=143+0.5t，解得：t=20；射线OF与射线OD第一次重合后，根据题意，得：6t=143+33+0.5t，解得：t=32，综上，两射线同时出发20或32分钟后，∠FOD=33°，故答案为：20或32．12．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE=90°，过点O作射线OF．（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF=130°，求（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE=90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；（3）若∠BOE=20°，∠BOF=130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°<α<180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF=90°【思路点拨】（1）由补角的定义得出∠AOF的度数，由角平分线的定义得出∠FOC的度数，根据余角定义得出∠BOE的度数；（2）由∠COE=90°得出∠COF+∠FOE=∠AOC+∠EOB，由角平分线的定义得出∠FOE=∠EOB，得∠AOC=∠COF即可得出结论；（3）由余角和补角的定义求得∠BOC、∠AOC的度数，然后分当0<t≤22s时，当22<t≤30s时，当30<t<36s时分别讨论得出结果．【解题过程】解：（1）∵∠BOF=130°，∴∠AOF=∵射线∴∠AOF=∠FOC=50°，∴∠COB=80°∵∠COE=∠COB+∠BOE=90°∴∠BOE=90°−80°=10°（2）射线OC平分∠AOF∵∠COE=∠COF+∠FOE=90°，∴∠AOC+∠EOB=90°．∴∠COF+∠FOE=∠AOC+∠EOB∵OE平分∠FOB，∴∠FOE=∠EOB∴∠AOC=∠COF即射线OC平分∠AOF．（3）∵∠BOE=20°且∠BOF=130°，∴∠EOF=150°又∵∠COE=90°，∴∠BOC=70°，∴∠AOC=110°①当0<t≤22s时∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转∴∠AOC=110°−5t∵∠AOC+∠EOF=90°∴110−5t+150−5t=90解得t=17②当22<t≤30s时∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转∴∠AOC=5t−110°∵∠AOC+∠EOF=90°∴5t−110+150−5t=9040=90，③当30<t<36s时∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转∴∠AOC=5t−110°∵∠AOC+∠EOF=90°∴5t−110+5t−150=90解得t=35综上所述，当∠AOC+∠EOF=90°时，t=17秒或t=35秒．13．（2023秋·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【思路点拨】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．【解题过程】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；∴∠EOF的度数为60°；②∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，当点E，F在直线AB的同侧时，如图：∠EOF=90°−α，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，当点E，F在直线AB的异侧时，如图：∠EOF=90°+α，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．14．（2023春·全国·七年级期末）如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）（2）若∠AOC=40°，①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．【思路点拨】（1）利用角的和差关系求解∠BOF,再利用角平分线的含义求解∠DOF即可；（2）①设∠COE=β，再利用角的和差关系依次求解∠AOE=40°−β，

∠AOF=50°+β，∠BOF=130°−β，从而可得答案；②由题意得：OE与OA重合是第18秒，OF与OD重合是第8秒，停止是36秒．再分三种情况讨论：如图，当0<t<8时

∠AOE=90°−5t，∠DOF=40°−5t，如图，当8<t<18时

∠AOE=90°−5t，∠DOF=5t−40°，如图，当18<t<36时，∠AOE=5t−90°，∠DOF=5t−40°，再利用互余列方程解方程即可.【解题过程】（1）解：∵∠AOB=180°,∠EOF=90°,∠AOE=n°,∴∠BOF=180°−∠EOF−∠AOE=90°−n°

∵OF平分∠BOD

∴∠DOF=∠BOF=90°−n°（2）解：①设∠COE=β，则∠AOE=40°−β，

∴∠AOF=90°−(40°−β)=50°+β∴∠BOF=180°−∠AOF=180°−(50°+β)=130°−β，∴∠COE+∠BOF=130°②由题意得：OE与OA重合是第18秒，OF与OD重合是第8秒，停止是36秒．如图，当0<t<8时

∠AOE=90°−5t，∠DOF=40°−5t，则90−5t+40−5t=90，

∴t=4如图，当8<t<18时

∠AOE=90°−5t，∠DOF=5t−40°，则90−5t+5t−40=90，方程无解，不成立如图，当18<t<36时，∠AOE=5t−90°，∠DOF=5t−40°，则5t−90+5t−40=90，

∴t=22综上所述t=4秒或22秒15．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图①．直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB=45∘）的直角顶点放在点O处，一条直角边OB在射线OE上，另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒15∘（1）当直角三角板旋转到图②的伩置时，射线OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间的数量关系为____________．（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COD=120①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，射线OC，射线OE中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在旋转过程中，当边AB与射线OD相交时，如图③，请直接写出∠BOC−∠AOD的值____________．【思路点拨】（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC=90°，∠BOE+∠AOD=90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；（2）①存在，根据∠COD=120∘，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边OB在射线OE上，∠EOB=∠BOC=12∠COE=12×60°=30°，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．【解题过程】（1）解：∵OB平分∠COE，∴∠COB=∠EOB，∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠BOE+∠AOD=90°，∴∠AOC=∠AOD，故答案为：∠AOC=∠AOD；（2）解：①存在，∵∠COD=120∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边OB在射线OE上，∠EOB=∠BOC=12则15°t=30°，∴t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，综上，所有满足题意的t的取值为2，②如图，∵∠COD=120°，当AB与OD相交时，∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，∴∠BOC−∠AOD=120°−∠BOD−90°−∠BOD故答案为：30°．16．（2023秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AO（1）如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；（2）如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．（3）如图3，0°<∠AOC<120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．【思路点拨】（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝【解题过程】（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，∴∠DOF＝13∠AOD∴∠EOC＝∠DOF＝20°；（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－1∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13由题意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝α－60°，∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝②观察①中结果可得：∠EOB＝23证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠（3）解：①当0°<∠AOC≤90°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠②当90°<∠AOC≤120°时，如图，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠17．（2023春·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【思路点拨】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF=90°−∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF=∠FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解题过程】（1）解：①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF=90°，∵∠BOD=15°，∠BOE=120°，∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−120°−15°=45°，∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−45°=45°，∴∠EOF的度数为45°；②平分．理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=∠FOB=1∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠COE+∠EOF=∠FOB+∠BOD=90°，∴∠COE=∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠COE=∠AOC，∴OC平分∠AOE．（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−2α−90°①×3＋②×2得，3∠AOC+2∠BOE=270°；如图，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，∵∠AOF=2∠COE，∴∠AOF=2∠COE=2α，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α①，∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−90°−2α①＋②×2得，∠AOC+2∠BOE=270°．综上所述，∠BOE与∠AOC之间的数量关系：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．18．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．（1）【基础尝试】如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）【画图探究】作射线OF⊥OC，设∠AOC=x°，请你利用图（2）画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．（3）【拓展运用】在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．【思路点拨】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．【解题过程】解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=40°，∴∠BOC=180°-40°=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=1∵∠DOE+∠COE=180°，∴∠DOE=180°-70°=110°；（2）∠EOF=12x或∠EOF=180°-12当OF在∠BOC内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°，∴∠BOC=（180-x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=（90-12∵OF⊥OC，∴∠COF=90°，∴∠EOF=90°-∠COE=90°-（90-12x）°=12即∠EOF=12x当OF在∠AOD内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°，∴∠BOC=（180-x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=（90-12∵OF⊥OC，∴∠COF=90°，∴∠EOF=90°+∠COE=90°+（90-12x）°=180°-12即∠EOF=180°-12x综上所述：∠EOF=12x°或∠EOF=180°-12（3）∠EOF可能和∠DOE互补．当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC=∠BOD=90°，∵OE平分∠