数学-辽宁部分学校2023-2024学年高三上学期12月联考带答案

1.C{1,3}是集合的一个元素,所以{1,3}e{⑦,1,2,3,{1,3}},因为1,3e{⑦,1,2,3,{1,3}},所以{1,3}坚{⑦,1,2,3,{1,3}},所以横线上可以填入的符号有坚与e都可以.故选C.（1十2i）—2-i,—2十i.故选B.3.D如图所示,所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分.故选D.4.B二项式槡工-26的展开式共有7项,则二项式系数最大的是第4项.故选B. 22（-—1,4-e222b2(a2b2—1,-—1上,得<4-6则a2-b2—0,即4-e2—a2—e(a2b2—1,得e4-5e2十6—0,解得e2—2或e2—3.当e2—2时,a2—b2,此时方程-—1无解,不满足题意；当.e2—3时,b2—2a2,而-—1,解得a—1,b—槡2,满足题意.所以e—槡3.故选D.20cos318。十5cos18。—0,整理得16cos418。-20cos218。十5—0,令t—cos218。,则16t2-20t十5—0,解得t—55,因为18。<30。,所以cos18。>槡,t—cos218。>,所以t—55.故选A.7.B函数f（工）—2sin（2工十p）p<的图象,因为所得函数图象关于原点对称,所以2s—0,则有-π,keZ,因为p<,所以p—,所以f（工）—2sin（2工十.因为工e[0,π),所以2工十e,,由f（工）ℴ2工十—-,可得sin2工十—-,所以2a十—X2—3π,且sin（ℴ-,则a十β—,所以cos（a-β)ℴcos-2β)ℴ-sin)ℴ.故选B.8.A设f（工）—0.8工,由f（工）,所以a—0.80.5十0.80.7,所以b—0.60.8十0.70.8十0.80.8<3X0.70.8,因为0.80.7>0.70.7>0.70.8,所以a>b.设h（工）ℴln工-1十（0<工<1）,则h,（工）—-2<0,h（工）在（0,1）上单调递减,所以0<工<1时h（工）>h（1）—0,所以ln工>1-,0.8ln0.6>（1-）—-,所以0.60.8>e-,同理可得0.70.8>e-,0.80.8>e-,所以a>b>c.故选A.【高三年级12月联考卷.数学参考答案第1页（共6页）】243204Z9.ABD由图可知,2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增,A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497—42201,B正确；因为10X80%—8,所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是7182881378—76603,C不正确；由图中数据分析可知,2020年人均国内生产总值的增长为71828-70078—1750（元）,是这10年中增长量最小的,D正确.故选ABD.10.BD对于A,不妨设f（工）—工2,g（工）—-工,满足题意,此时f（f（工ℴ（工2）2—工4为偶函数,故A错误；对于C,g（g（工—-（-工）—工在[0,十…）上单调递增,故C错误；对于D,因为f（工）是定义在R上的偶函数,g（工）是定义在R上的奇函数,所以有f（工）—f（-工）,g（工）—-g（-工）,又f（工）,g（工）在（-…,0]上单调递减,且当-工三0时,有工>0,所以由复合函数单调性可知,f（工）—f（-工）,g（工）—-g（-工）在[0,十…）上分别单调递增、单调递减,不妨设0三工1<工2,则f（工1）<f（工2）,g（f（工1>g（f（工2,所以g（f（工在[0,十…）上单调递减,故D正确.故选BD.11.CD对于A,因为a>0,b>0,a十2b—2,所以十—十（a十2b）—5十十>5十2槡.—,当且仅当a—b—时取等号,十取得最小值,故A错误；对于B,a2十b2—b2十（2-2b）2—5b2-8b十4,根据二次函数的性质可知,当b—,a—时,a2十b2取得最小值,故B错误；对于C,因为2—a十2b>2槡2ab,所以ab三,当且仅当a—2b—1,即a—1,b—时取等号,故C正确；a十2b—号,故D正确.故选CD.12.ACD对于A,易知。A2十。B2—。B2十。C2—。C2十。A2—4,可得。A—。B—。C—槡2,V。ABC—XX槡2X槡2X槡2—槡,故A正确；对于B,将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,因为。A/CF,CFn平面BCD—C,所以。A与平面BCD不平行,故B错误；对于C,显然。A与BE平行,所以红DBE为异面直线BD与。A所成的角,又红DBE—45。,所以直线BD与。A所成的角是45。,故C正确；对于D,由C选项的分析可知在正方体中,可以得到。D」平面ABC,故D正确.故选ACD.13.2十槡3依题意a—2,b—1,c—槡3,PF三a十c—2十槡3.14.341只数列{an十an十1}是公比为2的等比数列,a1—1,a2—1,：an十an十1—2X2n-1—2n,S9—a1十（a2十a3）十（a4十a5）十（a6十a7）十（a8十a9）—1十22十24十26十28—341.15.-6因为每个小菱形的最小内角为60。,所以每个小菱形都可以分为两个正三角形.以该图形的对称轴为>轴,过点A作对称轴的垂线为工轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A-,0,B,槡3,C-,-槡3,D2,-槡,所以—,-槡,—（-2,-2槡3）,.—-9十3—-6.【高三年级12月联考卷.数学参考答案第2页（共6页）】243204Z16.如图所示为圆锥轴截面’M’N为小球与圆锥侧面的切线上两点’圆锥母线l—2’设内切球O,的半径为 T’由题意ΔSAB是等边三角形’则OB—1’SO—槡3’所以小球O,的半径T—O,O—槡.又人SOA—人SMO, —’所以ΔSMO,“ΔSOA’则—’解得SM—1’则M是SA中点’同理 可得N是SB中点’所以MN—AB—1’故O,到MN的距离为槡.则上部分球缺的高h—槡-槡—槡’上部分’即较小部分球缺的体积为v—πh（3T2十h2）—X槡X[3X（槡2十槡2]—槡6πX’则较小部分球缺的体积与球O,的体积之比为槡6πX—13X槡364.17.（1）解：由题意ab—’由正弦定理可得ab—’………1分即（a-ba十b）—c（c-b）’所以c2十b2-a2—bc.…………2分故cosA—c2十a2—’…………………3分而Ae（0’π）’故A—.……………………（2）证明：因为3c—3b十槡3a’由正弦定理可得3sinC—3sinB十槡3sinA’………………6分即3sin-B-3sinB—槡3sin—’ 所以33cosB-sinB—’即槡3cosB-sinB—1’所以sin-B）—.…………7分-B—’B—.………8分故C—π--—’故在RtΔABC中’b—c’所以c—2b.……………………10分因为—1牛0’所以是首项为—1’公比为-1的等比数列.……2分则—（-1）n-1’所以（-1）n-1an—n.……………………4分则（-1）n-1an-（-1）n-2an-1—n-（n-1）—1’故{（-1）n-1an}是首项为1’公差为1的等差数列.………6分n-1n’当n为偶数时’Sn—（a1十a2）十（a3十a4）十…十（an-1十an）—[1十（-2）]十[3十（-4）]十…十[（n-1）十（-n）]—（-1）十（-1）十…十（-1）—-；…………………9分当n为奇数时’Sn—Sn-1十an—-1十n—n1.…………………11分【高三年级12月联考卷.数学参考答案第3页（共6页）】243204Z,n为偶数；（-n,n为偶数；12分n十112分n十1故sn—〈,n为奇数,n为奇数.DE」平面ABCD,BF」平面ABCD,所以DE/BF,又DE仁平面ADE,BF丈平面ADE,所以BF/平面ADE.………………2分因为四边形ABCD为菱形,所以BC/AD,又AD仁平面ADE,BC丈平面ADE,所以BC/平面ADE.………………4分因为BCnBF—B,BC,BF仁平面BCF,所以平面BCF/平面ADE.…………………5分（2）解：设BD交AC于点O,取EF中点H,连接OH,所以OH/ED,OH」底一一一面ABCD.以O为原点,以OA,OB,OH分别为工轴,>轴,之轴的正方向建立空间直角坐标系,因为AD—BD—ED—2,所以OA—OC—槡3,设BF—a,则A（槡3,0,0）,C（-槡3,0,0）,B（0,1,0）,F（0,1,a）,D（0,-1,0）,E（0,-1,2）.…………………6分一一所以FA—（槡3,-1,-a）,EA—（槡3,1,-2）,设平面EFA的一个法向量为m—（工,>,之）,一则——今—令之—2槡3,得m—（2十a,2槡3-槡3a,2槡3………………8分一一BF—（0,0,a）,BC—（-槡3,-1,0）,设平面BFC的一个法向量为n—（工1,>1,之1）,一则今,->1—0,令工1—1,得n—（1,-槡3,0）.……………10分因为平面AFE」平面BFC,所以m.n—4a-4—0,解得a—1,故BF的长为1.……………12分20.解1）当a—0时,f（工）—44,定义域为（-…,-1）U（-1,十…）.………………1分f,（工）—e工（4e工—（4）2,……………………2分令f,（工）—0,可得工—0,工（-…,-1）（-1,0）0（0,十…）f,（工） 0十f（工）单调递减单调递减单调递增故函数f（工）的单调递减区间为（-…,-1）,（-1,0单调递增区间为（0,十…）.…4分工十4>0对v工eR恒成立,所以a工2十4工十4>0对v工eR恒成立,解得a>1.………………解得a>1.………………………5分,a工十4）—e,…………6分令f,（工）—0,可得工—0或2-,当a—2时,2-—0,【高三年级12月联考卷.数学参考答案第4页（共6页）】243204Z因为fI（工）ℴ（2工24）2>0,（当且仅当工—0时,fI（工）—0）所以函数f（工）在R上单调递增,无极值,不满足题意；…………………7分当1<a<2时,2-<0,f（工）和fI（工）的变化情况如下:工-…,2-a2-4a2-,00（0,十…）fI（工）十0-0十f（工）单调递增单调递减单调递增函数f（工）在工—0处取得极小值,满足题意；………………9分当a>2时,2->0,f（工）和fI（工）的变化情况如下:（-…,0）00,2-a2-4afI（工）十0 0十单调递增单调递减单调递增函数f（工）在工—0处取得极大值,不满足题意.…………11分综上,实数a的取值范围为（1,2）.…………12分21.解:（1）因为P（AB）—,P（BA）—,所以对杭州亚运会项目了解的女生为X50—30,了解亚运会项目的学生为—45,…2分结合男生和女生各50名,填写2X2列联表为:不了解合计男生153550女生302050合计4555100…………………3分零假设H0:该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关,根据列联表中的数据,X2—10035）2—~9.091<10.828—工0.001,依据a—0.001的独立性检验,可以推断H0成立,即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.…………………6分（2）由（1）知,采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生,其中男生人数为1530X9—3（人女生人数为1530X9—6（人）.……………7分由题意可得,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P（X—0）—C—,P（X—1）—C—,P（X—2）——,P（X—3）——.【高三年级12月联考卷.数学参考答案第5页（共6页）】243204Z 542随机变量X 542…………………X0123P 5421021 514 121……………11分则E（X）—0X十1X十2X十3X14213. 514101021………12分22.解1）由抛物线C关于工轴对称,可得A1,A2都在C上,或都不在C上,若A1,A2都不在C上,则A3（6a,3a）,A4（a,a）都在C上,得2p—4(p—,(p—,……………1分所以A1,A2都在C上,8pa—16a2,p—2a,焦点坐标为（a,0）.……………若C的焦点为F1十1,0）,则十1—a,a—2,可得C的方程为>2—8工；……………若C的焦点为F2（2a十1,0）,则2a十1—a,a—-1,不满足题意.………综上,C的方程为>2—8工.……………………（2）由（1）知C的焦点为F1（2,0）,假设存在符合条件的直线l,由抛物线C关于工轴对称,可得直线l也关于工轴对称,设M,>1>1>0）,N,>2>2<0）,P（工0,>0）,当MN」工轴时,由MN过F1（2,0）,得M（2,4）,N（2,-4）,由对称性可知点P在工轴上,知