高中数学 集合的运算 专项训练

1.3集合的运算

基础巩固

1.（浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知集合4={0,1,2},5={-1,0},则/口8=

（）

A.{-1,1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【分析】根据并集的定义计算可得.

【详解】因为4={0,1,2},5={-1,0},

所以/。8={-1,0,1,2}.

故选：D

2.（2023春•广西•高二校联考期中）已知集合/={-1,0,1,2},5={x|-l<x<2,xeN*{,则中的元素

个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据集合的并运算即可求解.

【详解】由题设B={1},所以/U2={-l,0,l,2},故其中元素共有4个.

故选：B

3.（2023春•浙江温州•高二统考学业考试）设集合/={0,1,2,3},5={2,3,4,5},则/门8=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{3,4}

【答案】B

【分析】由交集定义可得答案.

【详解】由题,，cB={2,3}.

故选：B

4.(2023•全国•统考高考真题)设集合U=R,集合"={小<1},2V={x|-l<x<2),则{小22}=()

A.d("UN)B.NU6M

C.6（MfW）D.M20N

【答案】A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为卜Ix22}即可.

【详解】由题意可得MUN={x|x<2},则Q,（MUN）={X|X22},选项A正确；

^M={x\x>\\,则NU6M={x|x>T},选项B错误；

wnN={x|-l<x<l},则q,（McN）={x|xW-l或让1},选项C错误；

dN={x|x4-l或xZ2},则MUQ,N={x|x<l或xN2},选项D错误；

故选：A.

5.（贵州省新高考“西南好卷）已知集合幺=卜|24》45},5={x|3<x<4},则口3=（）

A.{2,4,5}B.{x|2Wx<3或4WxW5}

C.{x|2<x<3^,4<x<5}D.{x|2Vx<3或4<x45}

【答案】B

【分析】利用补集的定义可求得集合

【详解】因为集合/={x|2WxW5},B={X|3<X<4},故6/={x|24x<3或44无W5}.

故选：B.

6.（2023•陕西西安•校考模拟预测）已知集合/={xeZ|-2<x<4},8={xeR|x<1},则下图中阴影部分

表示的集合为（）

A.{x|l<x<4)B.{-1,0}C.{1,2,3}D.{x|-2<x<l}

【答案】C

【分析】根据给定条件，用列举法表示集合4再结合韦恩图列式求解作答.

【详解】依题意，^={-1,0,1,2,3},而阴影部分表示的集合是

又5={x£R,<1},贝lj={X£R,21},

所以/n&5)={l,2,3}.

故选：C

7.(2023•全国•高一专题练习)己知集合/={1,3,/},S={l,a+2),A<JB=A,则实数。的值为()

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】A

【分析】由题设知8g/,讨论。+2=3、。+2=/求。值，结合集合的性质确定。值即可.

【详解】由/口3=/知：B=A,

当0+2=3,即。=1,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

当a+2=/,即a=-l或a=2,

若a=7,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若。=2,则4={1,3,4},5={1,4},满足要求.

综上，a=2.

故选：A

8.(2022秋•四川内江•高一四川省资中县第二中学校考阶段练习)某小学对小学生的课外活动进行了调

查.调查结果显示参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47

人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动

的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？()

A.120B.144C.177D.192

【答案】B

【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.

【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分

别用集合4瓦C表示，

则card(A)=63,card(B)=89,card(C)=47,card(AcBcC)=24,,

不妨设总人数为"，韦恩图中三块区域的人数分别为x/，z,

即card(^4nB)=24+x,card(^4HC)=+24,card(5HC)=z+24,

x+y+z=22f

由容斥原理：

n—15=card(A)+card(B)+card(C)-card(AcB)-card(AoC)-ca「d(BcC)+card(AcBcC)

=63+89+47-(24+x)-(24+j)-(24+z)+24,

解得：n=144,

故选：B.

15\^<C/

9.(2023春•上海•高三上海市实验学校校考阶段练习)已知集合/={1,2,3,4},8=卜卜1<x<3},则/u8=

【答案】{x|-l<x<3}u{4}

【分析】根据并集的定义即可得解.

【详解】因为/={1,2,3,4},5={x|-l<x<3},

所以/U8={XH<XW3}U{4}.

故答案为：{x|-l<x<3}u{4}.

故答案为：{0,1}

10.(2022秋北京海淀高一北京市十一学校校考期中)已知全集。={1,2,3,4,5,6,7},/={2,4,5},2={1,3,5,7},

则me=.

【答案】{6}

【分析】利用交集与补集运算即可得到结果.

【详解】•••全集U={1,2,3,4,5,6,7},/={2,4,5},5={1,3,5,7},

;.。/={1,3,6,7},常8={2,4,6},

.•.(^)n(^)={6},

故答案为：{6}

11.(2022秋,四川•高一统考期中)已知全集"={3,。},集合/=抄},%/={5},则a+b=.

【答案】8

【分析】由题可得。=5,6=3,进而即得.

【详解】因为全集。={3川，集合/=抄},6川={5},

所以{3同=8,5},即"5,6=3,

所以a+6=8.

故答案为：8.

12.(2023•全国•高三专题练习)"生命在于运动"，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目一一乒乓球、

羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,

若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个

体育项目的教师人数为.

【答案】20

【分析】由三元容斥原理求解即可.

【详解】首先设《=门,是会打兵兵球的教师},3={x|x是会打羽毛球球的教师},

C={x|x是会打蓝球的教师},

根据题意得card(/)=30,card(5)=60,card(C)=20,card(^uSuC)=80,card(/cBcC)=5,

再使用三元容斥原理得：

card(幺。BuC)=card(2)+card(5)+card(C)-card("c8)-card伊cC)-card(Cc“)+card(/c8cC),

有card(4cB)+card(3cC)+card(CcN)=35,

而card(NcB)+card(5cC)+card(CcZ)中把NcBcC的区域计算了3次，

于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.

因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3x5=20.

故答案为：20.

13.(2022秋,陕西安康•高一陕西省安康中学校考阶段练习)已知集合/={x|-14x43},

B={x\m+l<x<2m+3].若则实数加的取值范围是

【答案】（-8,0]

【分析】根据题意得出BgN,然后分8=0和8x0两种情况，再利用集合间的包含关系即可求解.

【详解】根据题意，因为集合/={x|-14x<3},B={x\m+-[<x<2m+3],

且则8。4,

当3=0时，2加+3<加+1,即加<一2,符合题意，

m+1<2m+3

当5w0时，+,^-2<m<0,

2m+3<3

综上，加的取值范围为（-*0],

故答案为：J*。].

14.(2022秋,高一校考单元测试)已知集合/={(x))|x-即+2=0},5={(x,y)|ax-4j>+4=0),若

4cB=0,则实数。的值为

【答案】-2

【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.

x-ay+2=0

【详解】联立

办―4y+4=0

-4a+8

x=

a2-4

解得,

2a-4

y=

a2-4

若AcB=0,

贝!J/—4=0,

所以〃=±2.

①当。=2时，两个集合的条件都变为x-2y+2=0,因此交集不为空集.

②当。=一2时，两个集合的条件都变为x+2y+2=0和x+2y-2=0,所以交集为空集.

故答案为：-2.

15.（2022秋・河北廊坊•高一校考阶段练习）七宝中学2020年的"艺术节"活动正如火如荼准备中，高一某班

学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台

的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此

班的人数为.

【答案】40

【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.

【详解】设。="|》为七宝中学高一某班全体学生｝,

集合/=｛尤|参加大舞台的学生｝,

集合8=｛x|参加风情秀的学生｝,

设两个节目都参加的人数为“，只参加风情秀的人数为加，

两个节目都不参加的人数为〃+7,只参加大舞台的人数为加+3,

则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三,

3

得加+〃=—（加+3+〃+加+几+7）,

8

解得加+〃=15，

3

所以总的人数为154=40人.

8

故答案为：40

能力提升B组

16.（2022秋•福建泉州•高一校考阶段练习）（多选题）若集合M=则下列结论正确的是（）

A.McN=MB.M(JN=NC.N=(MCN)D.(MN

【答案】ABD

【分析】直接根据Venn图法即可求解.

【详解】-.-McN,Venn图如图所示:

:.McN=M,MuN=N,(McN)三N,(MuN)三N,

故选：ABD.

17.（2022秋・广东江门•高一新会陈经纶中学校考阶段练习）（多选题）若集合M=则下列结论正确的

有（）

A.MuN=NB.McN=NC.D.（MUN）jN

【答案】ACD

【分析】根据分别求出McN,MuN依次判断ACD正确，B错误.

【详解】因为M=所以MuN=N,A正确；

McN=M,当ATN时，MCN*N,B错误；

因为McN=M,而VqM,所以A/u（〃nN）,C正确；

因为M2N=N,而NqN,所以（AfUN）uN,D正确.

故选：ACD.

18.（2023秋•云南玉溪•高一统考期末）（多选题）能正确表示图中阴影部分的是（）

B.“n(aN)

c.(qMnQN)

D.[Q,(MCN)]CN

【答案】AD

【分析】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.

【详解】对于A,

故选项B错误;

故选：AD.

19.（2022秋•江苏南京•高一江苏省南京市第十二中学校考期中）（多选题）若。=2,A={x\x=2k,keZ],

B==2k+l,keZj,则（）

A.Nc8={0}B.ADB=UC.\,B=AD.品/U8

【答案】BC

【分析】集合A为偶数集，集合B为奇数集，逐个分析选项即可得到答案.

【详解】集合A为偶数集，集合B为奇数集，集合A与集合B的交集为空集，故选项A错误；集合A与集

合3的并集为整数集，故选项B与选项C正确；由于5/=8,集合B是集合B的子集，不是真子集，故选

项D错误.

故选：BC.

20.（2022秋•浙江温州,高一校联考期中）（多选题）已知集合/={x|x=2〃,〃eZ},集合

2={x[x=2"-l,〃eZ},则下列说法正确的有（）

A.0eAB.AuB=ZC.ACB=0D.=B

【答案】ABC

【分析】首先确定集合48,再根据集合的运算，判断选项.

【详解】集合A是偶数集合，集合B是奇数集合，

所以0e/正确；/u8=Z正确；Nc3=0正确；=8错误，应改为=故D错误.

故选：ABC

21.（2021秋•黑龙江齐齐哈尔•高一校考阶段练习）（多选题）已知集合。=11,M=N+,下列表示正确的

是（）

A.2020eM,OeMB.2020e6/，

C.2020eM,OgMD.{0}nQ,Af

【答案】BCD

【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系确定正确答案.

【详解】依题意集合U=R,Af=N+,

所以2020eM,OeM,A选项错误，C选项正确.

由上述分析可知：2020e6也，066也，B选项正确,

空集是任何集合的子集，01M正确,

由于且集合中还包括无理数，所以{0}口句〃，D选项正确.

故选：BCD

22.（2022秋•浙江•高一校联考期中）（多选题）对于集合48,定义/-8={x|xe/,且无代团，下列命

题正确的有（）

A.^A-B=A,则NcB=0

B.若AuB=A,则4一3=。啰

C.若N={xeN*|-1Wx<5},B={x\x<2,或x>3},则=

D.若/={x|xW0},5={x|-3<x<3},贝UQ-8）U（8-N）={x|-3WxW0,或X>3}

【答案】ABC

【分析】根据集合新定义即/-8={x|xe/,旦X£8},一—判断各选项，可得答案.

【详解】因为4-5={x|xe/,且xeB},

所以若=则/c8=0,故A正确，

若/口8=/,则2=/,则4-3=。/,故B正确；

/={xeN*|-lWx<5}={l,2,3,4},B={x\x<2,或x>3},则/-8={3},故C正确，

若/={x|xN0},5={x|-3<x<3},则4-8={x|x>3},B-A={x\-3<x<0],

：.U-5）U（S-^）={x|-3<x<0^x>3},故D错误.

故选：ABC

23.（2023・全国•高三专题练习）（多选题）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构

成“全食"；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成"偏食".对于集合

=5={x|（ax+l）（x-a）=0},若A与3构成"全食"或"偏食"，则实数。的取值可以是（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】BCD

【分析】对。分三种情况讨论，再结合"全食"或"偏食"的概念分析得解.

【详解】当。=0时，8={0},8。4,所以A与8构成"全食"；

当〃〉0时，B={—,a},如果。=1,—=—1,B={-1,1},A与3构成"全食"；如果。=2,,.二—=——,

aaa2

2={-g,2},此时A与B构成"偏食"；

111

当加0时，如果a=T,则--=1,^={-1,1},BuA,所以A与3构成〃全食〃；如果。=-2,则--=-,

aa2

8=所以选项A错误；

故选：BCD

24.（2022秋・浙江温州•高一校考阶段练习）（多选题）已知集合/={x[3<xW5},B={x[24x<4},全集

U=R,则（）

A.^n5={x|3<x<4}B.NuB={x|2<尤W5}

C.（d/）c8={x|24x43}D.4三gB

【答案】AC

【分析】利用交集，并集，补集的定义进行运算，再结合子集的定义，即可得到答案

【详解】因为4={x[3<xW5},3={x[2Wx<4},U=R,

所以Nc8={x[3<x<4},A<JB={X\1<X<5],故A正确，B不正确；

又q4={x|xW3或x>5},^jB=[x\x<2^x>4],

所以Q/）CB={X|2VXV3},集合/不是Q石的子集，故C正确，D不正确，

故选：AC

25.（2022秋•福建厦门•高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）（多选题）若集合〃集合

^={-1,0,1）,则正确的是（）

A.3x&M,x^NB.PxcN,xwM

C.Mn2V={-l,O,l,2}D.MUN={-1,0,1}

【答案】AB

【分析】根据集合/={TO,1,2},集合N={-l,0,l},可判断NLM,由此判断A,B;根据集合的运算，可

判断CD.

【详解】由于集合/={一1。1,2},集合N={-l,0,l},则NUM,

Hx=2eM,xeN,A正确；

由于故,B正确；

MHN={-W,},C错误；

MU2V={-1,O,1,2},D错误,

故选：AB.

26.(2022秋•高一单元测试)若集合4={x|-2<x<4},8={x|x-，<0}.

(1)若"?=3,全集。试求/n©2).

(2)若/口2=/,求实数加的取值范围.

【答案】⑴{X|34X<4}

(2)[4,+s)

【分析】(1)当加=3时，求得B={x|x<3},得到U={x|x<4}和«8={x|3Wx<4},结合集合的交并补

运算即可得解.

(2)求得8={x|x<加},结合题意得到4=8,结合集合的包含关系，即可求解.

【详解】(1)当旭=3时，可得8={x|x-3<0}={x|x<3},

因为“={x|-2<x<4},可得。=4口2="|丫<4},

则。8={x[3Wx<4},所以/n&8)={x[34x<4}.

(2)因为/={x|-2<x<4},2={x|x-加<0}={x|x<加},

由4n8=/,可得/=所以加24,

即实数加的取值范围是[4,+8).

27.(2023•全国•高一专题练习)已知/={x|-24xW3},B={x\a-2<x<3a],全集U=R

⑴若a=2,求/。(①即；

(2)若求实数。的取值范围.

【答案】⑴/76可=何_2"40}

(2)(-oo,-l]u[0,l]

【分析】(1)根据交集与补集的运算求解即可；

(2)分8=0与8。0由条件列不等式求范围即可.

【详解】(1)当a=2时，2={x[0<x<6},

所以。8=k氏40或xN6},又/={x|-24x43},

所以/c（Q,8）={x|-24xV0}.

（2）由题可得：当8=0时，有"223a,

解得。的取值范围为（-8,-1]；

a-2<3a

当8H0时有，。-22-2,解得。的取值范围为[0,1],

3a<3

综上所述a的取值范围为（-叫-1]。[0,1].

28.（2023•高・单元测试）己知全集为R,集合Z={x|24x46},8={邓x-7»8-2x}.

（1）求/c8；

（2）^C={x\a-4<X<a+4},且（40台）口（7,求。的取值范围.

【答案】（1）/CB={X|3WX46}

（2）2<o<7

【分析】（1）解不等式可得集合B，即可求得/C