新高考湖南师大附中2023 届高三年级上册月考数学试卷(二)及答案

3.4.湖南师大附中2023届高三月考试卷(二)数学

一、单项选舞题，本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是)

A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形

2.在复平面内，复数z所对应的点的坐标为则z-z—)

A.2B.-2iC.V2D.2i

3.设点不共线，则“而与〃的夹角为锐角”是荏+彳方|>忸司’的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

4.函数/(c)=(一1sine的图象大致是)

l+e”

B.C.D.

5.圆内接四边形ABCD中力。=2,CD=4,BD是圆的直径,则:记•/=)

A.12B.-12C.20D.-20

6.在三棱锥P-ABC中，凡4_1_底面ABC,H4=2,底面A3。是边长为2一的正三角形，M为AC的中点，球O

是三棱锥P-43M的外接球.若。是球0上一点，则三棱锥D-PA。的体积的最大值是)

c7V3

A.2B.2V3

0D・竽

7.函数/(力)=sin(@c+4(s>O,|0|4§，已知(~1,0)为/㈤图象的一个对称中心，直线片著为了㈤图象的

一条对称轴，且/3)在［修，卷勺上单调递减.记满足条件的所有3的值的和为s,则s的值为)

A12c16D.单

AB

,5-15

8.古希腊数学家欧儿里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定

义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几

里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e

的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0Ve<l时,轨迹为椭圆；当e=l时，轨迹为抛物线；当e>l时，轨迹为双曲线.现

有方程m｛x2+yi+2y+1)=Q—2y+3产表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为)

A.(0,1)B.(l,+oo)C.(0,5)D.(5,+oo)

二、多项选彝题，本题共4个小题，每小JB5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得

5分,部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.已知数列｛册｝满足电=1,%+M+产2nmeN*),则下列结论中正确的是()

A.%5B.{%}为等比数列

Q2023_2

C.a】+a2H-----1■电02i=22022—3D.Q]+&H------F02022=-----0-----

O

10.已知A,B是两个随机事件，0<。(4)<1,下列命题正确的是)

A.若AB相互独立，P(B|A)=P(B)B.若事件4GB,则P(B|A)=1

C.若是对立事件，则P(B|A)=1D.若AB是互斥事件，则P(B|A)=0

n2

11.已知(1+2x)=a0+o,xx+a2xH-----^册小,下列结论正确的是)

・53・

n

A.Q（）+a1+&H--Ft1n=3

B.当7i=5,rc=限时，设（1+2a;）"=a+bV3,（a,b€N"），则a=b

C.当72=12时，OoMiS,…,On中最大的是Cl7

D当n=12时，曳一包+型一包+…+也一3=1

u-3nlznj,2222:s242"2r2

12.已知定义在R上的函数/(力连续不间断，满足：当工＞0时，/(1+0=2/(1—工)，且当多＞0时，r(l+M+/(l

一⑼V0,则下列说法正确的是()

A.*1)=0

B./G)在(—8,1］上单调递减

C.若0＜3：2,/(期)V/(工2)，则；ri+z2＜：2

D.若电,g是gQ)=/(o;)—cos7nr在区间(0,2)内的两个零点，且21Vg,则1〈嬖2V2

f\xi)

三、填空题，本题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位・・

13.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训I,每名志愿者只分配到1个项目，每

个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有种.

14.已知抛物线。:22=—8?的焦点为R,过尸的直线I与抛物线。相交于A3两点,分别过A,B两点作。的切线IR,

且八4相交于点H则AP43面积的最小值为.

15.已知四面体ABCD的各条棱长都为2,其顶点都在球O的表面上，点E满足丽=•丽，过点E作平面a,则平

面a截球O所得截面面积的取值范围是.

16.已知函数/(c)=sin(2z+R)的图象关于点传,0)对称，且/(0)信)，若/(,)在［0,t)上没有最大值，则实数t

的取值范围是.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步鼻.

17.AAB。的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知cos?传+4)+cosA=-1-.

⑴求A；

(2)若b-c=斗用证明：△ABC是直角三角形.

o

18.已知数列｛a“｝中，斯＞0,S.是数列｛%｝的前71项和，且%+看=2Sn,

(1)求S2,S3,并求数列｛斯｝的通项公式册；

(2)设b=a,数列｛&｝的前几项和为,若2V2T-k＞0对任意的正整数n都成立，求实数k的取值范

n＞》n+2n

围.

,54,

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD〃BC,AD=3,P

4B=BC=2,P4L平面ABCD，且PA=3,点”在棱PO上，点N为8。中点.

⑴证明:若。M=2MF,直线7W〃平面R4B；

(2)求二面角C-PD-N的正弦值；

(3)是否存在点“，使与平面PCD所成角的正弦值为彳？若存在求出罂

值:若不存在，说明理由.D

BNC

20.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员

将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值,按

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80)分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验

发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有

H0只.假设小臼鼠注射痕苗后是否产生抗体相互独立.

(1)填写下面的2x2列联表，并根据列联表及a=0.05的独立性检验，判断

能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

单位:只

指标值

抗体合计

小于60不小于60

有抗体

没有抗体

合计

(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗,

结果又有20只小白鼠产生抗体.

①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；

②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验,记几个人注射2次疫苗后产

生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X=99时，P(X)取最大值,求参加人体接种试验的人数n

及E(X).

参考公式：号=/上八、/上力(其中「=a+b+c+d为样本容量)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

吟〉心)0.500.400.250.150.1000.0500.025

k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

・55・

21.已知A(—22,0)冏2口0),直线。4。3的斜率之积为一半记动点。的轨迹为曲线。.

(1)求。的方程；

(2)直线/与曲线。交于M,N两点，。为坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为一年，证明：△MON的面积为定

值.

2

22.已知函数/(%)=x\nxyg{x}=x—1.

⑴求证：当•时，|/3)|&a|g(z)|;

(2)已知函数九(2)=|/(c)|-b有3个不同的零点Ci,g,g(0iV%2Vg)，

⑴求证：冠+冠>劣；

e-

(n)求证：VT+2F-V1^2bVg-x2<be(e=2.71828…是自然对数的底数).

・56•

3.4,湖南师大附中2023届高三月考试卷(二)

数学B.

一、单项通异题,本题共8小题,每小题5分，共40分.在每

小局给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四

边形,则这个四边形可能是()

A.矩形B.平行四边形

D.

C.梯形D.菱形

【答案】A

【答案】C

【解析】

【解析】

【分析】根据奇偶性和/(2)的符号，使用排除法可得.

【分析】根据集合中元素的互异性，可得Q,b,c,d四个元素互不相等，结

【详解】/3)的定义域为JL

合选项，即可求解.

因为/(一〜)=(1"l)sin(-x)=-("-1)sina;=

【详解】由题意，集合4的四个元素Q,b,c,d为边长构成一个四边形，

根据集合中元素的互异性，可得a,b,c,d四个元素互不相等，

以四个元素a,4c,d为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.

故选：C.=-(1—©7jJsinj=(6j］一］}也1=/3),所以『(①)为偶函数，

2.在复平面内，复数之所对应的点的坐标为(1,一1),则故8错误；

又因为/(2)=(1*一1卜in2,丁*-1V0,sin2>0,所以/(2)<

z.乞=()

0,故5错误.

A.2B.-2iC.V2D.2i故选:A

【答案】A

【解析】5.圆内接四边形ABC。中AD=2,8=4,8。是圆

【分析】的直径，则/•丽=()

根据复数的几何意义求出复数z,再求出复数z的共桅复数，最后根据

复数的乘法法则计算可得：A.12B.-12C.20D.-20

【详解】解:因为在复平面内，复数Z所对应的点的坐标为(1,-1),【答案】B

所以z=l—i,所以2=l+i【解析】

所以z-2=(l—i)(l+i)=l-i2=2【分析】根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.

故选:A(详解】

3.设点力，不共线，则”荏与〃的夹角为锐角”

是京+怒|>|就的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】

【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必

由题知NB4O=ZBCD=90°,4D=2,CD=4

要性是否成立即可.

：.AC-BD=(AD+DC)-BD=AD-BD+W-BD

【详解】三点不共线，

={AD\\BD\COS^BDA-\DC\\BD\COS^BDC=\AD\-~\D5\2=4-16

\AB+AC\>\BC\<=>\AB^-AC\>\AB-AC\

0|厢+记|2>|施—/|20荏,/>00前与前=­12.

故选：A

的夹角为锐角.故“荏与彩的夹角为锐角”是“|荏+而的

充分必要条件，故选C.6.在三棱锥P-ABC中，PAJ.底面ABC,PA=2,

【点睛】本题考行充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量

底面ABC是边长为2代的正三角形，”为AC的中

积，同时考查了转化与化归数学思想.

点，球。是三棱锥P-ABM的外接球.若。是球0上

4.函数/(%)=(不税一一1,in%的图象大致是()一点，则三棱锥。一兄4。的体积的最大值是()

A.2B.2V3C.D.

OO

【答案】C

A.【解析】

93・

【分析】设4B的中点为E,则△ABM的外接圆的直径为43,圆心为E,

半径为次，设三棱锥P-ABM的外接球的半径为R.球心为O,利用

勾股定理求tllR,再求出O到平面P4C的距离，印可求出D到平面

R4C的距离最大值，最后算出战前，即可■求出皿：

【详解】解:因为△4BC为等边三角形，”为4c的中点，所以BM_L

AC,即△ABM为直角三角形，设AB的中点为E,则448M的外接圆

的直径为A5,圆心为E，半径为*=瓜,设三棱锥P-的外接

｛CF?4-3=1^

(2_J、,：？二R，解得曲=2,又P4

①当0=卷(1+4劝时，取k=0知切=卷

J_平面4BC,/MU平面43。,所以尸A_L,所以4M的外接

此时f(c)=sin仔£+，当］■，学日时，

圆是以PM为直径的圆，设PM的中点为R,则OF_LPR,所以OF=

d"尸M9,即O至IJ平面PAC的距离为9,所以。到平面+金"6［与三刊满足了3)在［^1217^^］上单调递减，，QJ=看符

P4C的距离最大值为,+2=1■，又S寸Ac=fx2x2V3=2\/3，所合

取k=1时，3=2,此时，Q)=sin(2t+号)，当cW［芍>是H时'2①

以(%-PAC)a=4X2V3X孑=；

+"I"*(亨满足/㈤在［12，"H"兀］上单调递减,，”=2符合

当上<一1时，/V0,舍去，当k>2时，s>2也舍去

②当0=看(3+4幼时，取k=0知s=-1

此时｝(x)=sin(~|"i+•，当c£［普二号日时,

与E+年6［萼，/'n｝此时/(，)在揩n］上单调递增，舍去

当上《一1时，3V0,舍去，当比,1时，卬>2也舍去

综上：=■或2,S=V+2=Ar".

555

故选：4

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一

条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.

故选:C

8.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥

7.函数/(°)=sin(①］+8Ms>0,|同&专),已知

曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜

(-专)为/(①)图象的一个对称中心，直线工=修

,0对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，

为了(,)图象的一条对称轴，且在［膏，笔勺上到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇

篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并

单调递减.记满足条件的所有S的值的和为S,则S的对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到

值为()

定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲

A.普B.|C.普0号线；当0VeV1时,轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛

DOOO

物线；当e>l时，轨迹为双曲线.现有方程

【答案】A

【解析】m(x2+y2+2y+1)=(1—2g+3>表示的曲线是双

【分析】曲线，则m的取值范围为()

由,条对称轴和••个对称中心可以得到的■兀+a=9+kT或+

A.(0,1)B.(1,4-00)

专=竽+依次*由f(x)在［皆，揩］上单调递减可以得到普兀

C.(0,5)D.(5,+8)

-需W手，算出。的大致范围，验证即可.

【答案】c

【详解】由题意知：4^-7L+干=弓+kT或1曹+£=+kT#GZ【解析】

・•亨=(»)噂喑=停+%)噂【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(电初到定点与定直线之比

为常数e=瘦,进而可得结果•

・•・3=+4k)或s=y-(3+4k),kGZ

D0【详解】已知方程可以变形为7n=孑?型匕，即;=

在［爷J患冗］上单调递减，，揩冗一《千

,-'fMx-y+2y+lvm

••吟《》等//+(y+l)2

\x-2y+3\，

.国一西+(y+l)2

*Vm-卜-2y+3|

其表示双曲线上一点Q,g)到定点(0,-1)与定直线c—2g+3=0之

比为常数e=JJ\

又由c>l,可得0VmV5,

故选：。.

・94・

二、多项选算题，本题共4个小题，每小题5分，共20分.在B.当n=5,c=四时，设(1+2c)n=a+bA6,

每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求，全部选对(a,6GN*),则a=b

的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.C.当71=12时,Qo，QiQ，…，Qn中最大的是出

nD•当n=12时，号一卷+常一赞+…+$一患

9.已知数列｛%｝满足5=1,%+a,l+l=2(nGN'),则

下列结论中正确的是()

=1

A.a.|=5【答案】AD

B.｛册｝为等比数列【解析】

【分析】令X=1可得各项系数和判断A,根据二项式定理求得。力判断

C,a】+a2T—*+<i202i=2'022—3

3,求出的用后判断。，在(1+20已展开式中先求得的，再令，=一十

92023_2

D.Q]+02------F612022=-----Q-------

J计算后判断D

【详解】在已知式中令①=得卜%=正确；

【答案:1an+ai+aH-----3",A

①=孤时，(①2或

【解析】1+2>=1+2c+Cl(2x)+Of(2z)3+(2/)4+(2z)

5=a+6V3(a,6G?/*),

【分析】利用递推式可求得。2,%,Qj的值，可判断将的+电+…

a=1+C?x22x3+x21x9=841,

+的021变为+(。2+。3)+(Q|+。5)H-----+(«2020+电021)，利用等比数

6=C5X2+C?x23x3+25x9=538,a^6,B错;

列的求和公式，求得结果，判断C将%+的+…+喙变为@+电)+

n=12时,%=C；2>2』gx2，=晨;?其j8x2l

(a3+a4)+---++(a2021+a2fl22)，利用等比数列的求和公式，求得结果,判

断。；c—_cK_「ics_12X11x10X9、，c8、12X11x10x9x8、，中

a-C,2-C2-x12>5x4x3x2x1X2,

【详解】。i=L则a1+02=2,02=1，又出+。3=4,ch=3,s2124x3x2

。错：

同理a3+a4=2，,4=5，故A正确：

在(1+2rr)12=斯+a-ixH----1-ax}2中，令c=0得a.n=1♦

而点=1,合=3，故｛%｝不是等比数列，B错误；[2

令■，则a.-号+%_...+51=0,

的+a2d--------bO2021=Q1+(电+的)+(Q,+期)----H+(02020+02021)

所以华•-普+者-争+…+第•一第■=5=1,D正确•

=1+不—+牛要=圭—，故。

1—4JJ

故选：

错误；4D

Q]+如4---------1*02022=(5+«2)+(a3+ajH--------b+(02021+供022)12.已知定义在R匕的函数/Q)连续不间断，满足：当

=21+2,+…+2的=2(1]二：°")=2x4；-2=2.彳2,故0正

工>0时，/(1+7)=2/(1-工)，且当2>0时,f(l+

确，x)+/(l-x)<0,则下列说法正确的是()

故选：AD

A./(l)=0

10.已知AB是两个随机事件,0VP(A)<1,下列命题

B.73)在(—8,1]上单调递减

正确的是()

C.若电VgJQi)V/(g)，则ai+gV2

若相互独立，

A.A,BP(3|A)=P(B)D.若如①2是g3)=/3)—COS7TC在区间(0,2)内的

B.若事件则P(B|A)=1两个零点，且为<电，则1<^^V2

C.若是对立事件，则P(B|A)=1

D.若A,B是互斥事件，则P(B|4)=0【答案】4co

【解析】

【答案】4BD

【解析】【分析】A选项令2=0,可判断，3选项通过求导来求出单调性可判断，

。选项根据的结论来分析即可.

【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A;利用条件概率的定义判断C,B

【详解】对于在中，令

B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C,D作答.4,f(l+z)=2/(l-c)c=0,

【详解】对于A,随机事件4,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).P则+0)=2/(1—0),所以/(I)=0,故力正确：

对于当/时

(B|4)=与舁=F(B),4正确；B,>0,/(1+x)-2f(l-x)t

对f(l+0=2/(1-⑼两边求导，则f(1+M=2;(1一±)(-1)=

对于B,事件A£B,P(AB)=P(A),P(B⑷=.票).=1,B正确：

上(月)因为f(i+M+f(i-0)vo

对于。，因是对立事件,则祟=，

ABP(AB)=0,P(B\A)=20C所以f(l一幻>0,

令1一£=〃，

不正确；

对于。，因AB是互斥事件,则P(AB)=0,P(B\A)=,票)=0,7?

产(A)所以/(⑼在(-8,1]上单调递增，所以B错：

正确.对于。，由B知，/(幻)在(一00,1]上单调递增，(1,+8)上单调递减，

故选：力助由C]VC2JQ1)Vf(①2)知①1，%2不可能均大于等于1，

否则的>的>1,则/(为)>/(。2)，这与条件矛盾，舍去，

己知n2卜①"，下列结论

11.(1+2x)=OQ+aYx+a2xH-0n若61V①2&