2024年浙江高考数学模拟试题及答案

1.已知集合A={x[l<2x<4},B={x|y=ln(x-1)},则AnB=()

A.{x|0<x<1}B.{x|l<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<2}

2.若复数z满足z(l+2i)=3-4i(其中，•为虚数单位)，则z的虚部是()

A.2iB.-2/C.2D.-2

3.“a=l”是“直线h：(a—2)x+y+l=0与直线b：(a+l)x+2y—2=0互相垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力

对物体做了功，功的计算公式：W=F-S(其中少是功，行是力，M是位移)一物体在力

1=(2,4)和瓦=(-5,3)的作用下，由点幺(1,0)移动到点8(2,4),在这个过程中这两个力的

合力对物体所作的功等于()

A.25B.5C.-5D.-25

5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称

为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极

图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包括边

界)的动点，则蠢的最小值为()

6.已知f(x)是定义域为(一8,+8)的奇函数，满足f(l-x)=f(l+x),若f(l)=2,则f(l)+

f(2)+f(3)+-+f(50)=()

A.-50

7.如图，在三棱锥0—ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG

上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱。A,OB,0C于点D,E,

F,若而=kUX，0E=mOB.OF=nOC,贝埠+2+*（）

8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁

里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡

盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间

最大球为正四面体48c。的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面

均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体48co

棱长为2指，则模型中九个球的表面积和为（）

A.6兀B.9兀D.2171

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求的,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.有一组样本甲的数据西，一组样本乙的数据2玉+1,其中西«=1,2,3,4,5,6,7,8）为不完全

相等的正数，则下列说法正确的是（）

A,样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是加，则样本乙的中位数是2加+1

D.若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2〃+1

10.已知N（XQJ,8®,%）是圆。：上两点，则下列结论正确的是（）

A.若则4408=。

B.若点O到直线的距离为5,则

C.若NAOB=g,则|国+必-1|+怛+%-1|的最大值为272

D.若403=(,则上+必一1|+昆+%T的最大值为4

11.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1,2,3,4,5,乙盒中有五个相同的小球，标号为

3,4,5,6,7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A="抽取的两个小球标号相

同"，事件B="抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C="抽取的两个小球标号之和大于

8”，贝1()

A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件B是对立事件

C.P(AUC)=P(B)D.P(BClC)=P(A)

12.如图，在正四棱柱/8CO-44G2中，AB=3,AA}=2V6,P是该正四棱柱表面或内部一

点，直线尸伐尸C与底面/BCD所成的角分别记为(aH0,夕W0),且sin£=2sina,记

动点尸的轨迹与棱CCi的交点为。，则下列说法正确的是()

A.。为CCi中点

B.线段P4长度的最小值为5n.

c.存在一点尸，使得PQ〃平面

D.若尸在正四棱柱/BCD-44GA表面，则点尸的轨迹长度为

4+3次

--------77

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点(2,-1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为.

111

14.已知x>y,y>2,且3x+y=7,则亚万+方■的取小值为.

15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组

织2位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，

且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.

16.已知单位空间向量出，砺可满足国电=0,可•瓦=西・瓦.若空间向量久满足3后=全

通=浮,且对于任意实数x,y,同—x百—y司的最小值是2,则|久-入国(入eR)的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P-力BCD中，P力，平面4BCD,AB//CD,且力B=l,CD=2,BC=2五,

PA=1,AB1BC,N为PD的中点.

(1)求证：4V〃平面PBC；

(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国

轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动

员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19

届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识,

某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加,

下图是其中男子组成绩的频率分布直方图(成绩介于85到145之间)，

(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男

子组成绩排名第10的选手分数；

⑵若计划从男子组中105分以下的选手中随机

抽样调查2个同学的答题状况,则抽到的选手中

至少有1位是95分以下选手的概率是多少？

⑶若女子组40位选手的平均分为117,标准差

为12,试求所有选手的平均分和方差.

19.已知函数/(x)=esin(—-2x)-sin(—+2x).

36

⑴若方程〃X)=7篦在上有且只有一个实数根，求实数加的取值范围；

(2)在“BC中，若〃2)=-2,内角/的角平分线40=6，AB=4i，求NC的长度.

20.已知圆/：(x+l>+(y-2)2=2关于直线2ax+勿+6=0对称，记点尸(。,6),过点尸的直线

与圆相切于点48.

(1)求的最小值;

(2)当取最小值时，求切点42所在的直线方程.

21.如图，在三棱柱ABC-AiBiS中，底面是边长为2的等边三角形，CCi=2,D,E分别是线段

AC,CCi的中点，J在平面ABC内的射影为D.

(1)求证：AiC1平面BDE；

(2)若点F为棱B£i的中点，求点F到平面BDE的距离；

(3)若点F为线段Big上的动点(不包括端点)，求锐二面角

F-BD-E的余弦值的取值范围.

22.在区间D上，如果函数f(x)为减函数，而xf(x)为增函数，则称f(x)为D上的弱减函数.若f(x)=

(1)判断f(x)在区间［0,+8)上是否为弱减函数；

(2)当xe［1,3］时，不等式:W霜W若恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数g(x)=f(x)+k|x|-1在［0,3］上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={x|l<2、W4},B={x|y=ln(x-1)},则ACiB=()

A.{x|0<x<1}B.{x|l<x<2}C.{x|0<x<2]D.{x|0<x<2]

【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查利用函数的性质求解指数不等式和对数函数的定义域，集合的运算.属基础题.

【解答】

A={x|l<2X<4}={x|0<x<2},

B={x|y=ln(x—1)}={x|x>1],

所以ACB={x[l<x<2}.

故选B.

2.若复数z满足z(l+2i)=3-4•(其中i为虚数单位)，贝Hz的虚部是()

A.2iB.-2zC.2D.-2

【答案】D

【解析】

z(l+2i)=3-4，=2=上8=支3X匕竺=土理=一1一27,所以虚部是一2,选D

3.“a=l”是“直线k：(a—2)x+y+l=0与直线k：(a+l)x+2y—2=0互相垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】【分析】

本题考查充分条件和必要条件的判断，两直线垂直，属于基础题.

根据两直线垂直求出参数a,根据充分必要性的判断法则即可得答案.

【解答】

解：由题意得：的充要条件是(a—2)(a+l)+2=0,

即a(a-1)=0,解得a=1或a=0,

于是“a=l”是“直线l1:(a—2)x+y+l=0与12：(a+l)x+2y—2=0互相垂直”的充分不

必要条件.

4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力

对物体做了功，功的计算公式：W=F-S(其中W是功，尸是力,我是位移)一物体在力

片=(2,4)和互=(-5,3)的作用下，由点A1,0移动到点8(2,4),在这个过程中这两个力的

合力对物体所作的功等于()

A.25B.5C.-5D.-25

【答案】A

【解析】【分析】

利用条件，先求出两个力的合力耳+E及AB，再利用功的计算公式即可求出结果.

【解答】因为耳=(2,4),E=(—5,3),所以片+月=(—3,7),又Al,0,所以

AB=(1,4),故W=(月AB=—3+7x4=25.y.

5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称

为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，/p-)\

图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点，4----/^0\—匕7

则工刍的最小值为()

A.--B.--C.--D.-1

323

【答案】C

【解析】【分析】转化为点p(x,y)与(2,0)连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，

【解答】记A(2,0),则k=三为直线AP的斜率，

故当直线AP与半圆x2+(y-I)2=l(x>0)相切时，得k最小，

此时设AP:y=k(x一2),故—1，解得k=-§或k=0(舍去)，

即■

故选：C

6.已知f(x)是定义域为(―8,+8)的奇函数,满足f(l-x)=f(l+x),若f(l)=2,则f(l)+f(2)+

f(3)+…+f(50)=()

A.-50B.0C.50D.2

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关

键.

根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇

偶性进行转化求解即可.

【解答】

解：；解)是定义域为(-8,+8)的奇函数,且f(l-X)=f(l+X),

*'•f(0)=0,f(l—x)=f(l+x)=-f(x—1),

则f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是以4为周期的周期函数，

•・•f(l)=2,

f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(l)=-2,

f(4)=f(0)=0,

则f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0—2+0=0,

则f(l)+f(2)+f(3)+…+f(50)

=12[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(l)+f(2)=2+0=2,

故选：D.

7.如图，在三棱锥0-ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，

过点M的平面分别交棱OA,OB,0C于点D,E,F,若丽=kUX,OE=mOB,OF=nOC,则

l+-+-=（）

kmn

本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题.

由空间向量基本定理，用鼐，而，玩表示加1,由D,E,F,M四点共面，可得存在实数人,上使

DM=ADE+nDF,再转化为丽1=(1一入一(i)kUX+入m而+国玩，由空间向量分解的唯一性,

分析即得解.

【解答】

解：由题意可知，OM=|OG=|(OA+AG)=|[0A+|x1(AB+AC)]

=|[OA+!(OB-OA)+1(OC-OA)]=1OA+|OB+|OC,

因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数入，中使而！=入花+口方，

所以UK!-0D=A(OE-0D)+|i(OF-OD).

所以UKI=(1-A-|i)OD+AOE+nOF=(1-A-n)kOA+AmOB+unOC，

f(l-A-n)k=1

所以卜m=£,

Ln4

QQQ

所以丁H---1-一=5(1一入一|1)+5入+5|1=5.

kmn2vry22r2

故选：D.

8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第T*

建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更

是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体

ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球

与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，B

则模型中九个球的表面积和为（

A.6兀B.9兀D.217r

【答案】B

【解析】

作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的

半径，得到答案.

如图，取的中点E,连接DE,AE,则==灰，AE=DE=g-6=3四,

过点A作AF，底面BCD,垂足在DE上，且£＞尸=2EF,

所以DF=2直,EF=母,故4尸=_0尸2=,24—8=4，

点。为最大球的球心，连接。。并延长，交AE于点则

设最大球的半径为R,则＞=OM=H,

A

因为RtAAOMsRt,..AEF,所以=色吆，/\

AEEF

即OMOFI,则40=4—1=3,故

设最小球的球心为J,中间球的球心为K,则

两球均与直线AE相切，设切点分别为〃,G,

连接HJ,KG,则"/,KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a,b,

则AJ=3HJ=3a,AK=3GK=3b,则JK=AK—A7=3b—3a,

又JK=a+b,所以35-3。=〃+力，解得Z?=2〃,

又OK=R+b=AO—AK=3—3b,故4b=3—尺=2,解得》=’，

2

所以a=L

4

模型中九个球的表面积和为4欣2+4;必2x4+4a?x4=4n+4it+n—9n-

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.有一组样本甲的数据王，一组样本乙的数据2七+1,其中毛（，=1,2,3,4,5,6,7,8）为不完全

相等的正数，则下列说法正确的是（）

A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差

B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差

C.若样本甲的中位数是冽，则样本乙的中位数是2根+1

D.若样本甲的平均数是〃，则样本乙的平均数是2"+1

【答案】ACD

【解析】

根据统计中的相关概念和性质运算求解.

不妨设样本甲的数据为。（石<…<4,且玉</，

则样本乙的数据为2万+142%2+1<-<24+1,且2玉+1<24+1,

对于选项A：样本甲的极差为七一玉>0,样本乙的极差（24+1）-（2%+1）=2（/一%），

因为2（/一网）一（演―七）=尤8—%即2（/一龙J>/一无1,

所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；

对于选项B：记样本甲的方差为*>0,则样本乙的方差为4s常，

因为4鼎一品=3s<>。即4s1r.>$看,

所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误;

对于选项C：因为样本甲的中位数是加二士

则样本乙的中位数是〃一2%.1J2%+12m—1,故c正确;

对于选项D：若样本甲的平均数是“，则样本乙的平均数是2〃+1,故D正确;

故选：ACD.

10.已知2（无2，%）是圆。：/+9=1上两点，则下列结论正确的是（）

A.若则ZA02=（

B.若点。到直线A3的距离为g,则|AB|=]

C.若ZAOB=|,则归+%-1|+卜+为7的最大值为2应

D.ZAOB=,则|无1+%-1+同+%-1|的最大值为4

【答案】AD

【解析】

对于A,因为圆的半径为1,所以当|AB|=1时，△ABO为等边三角形，则ZA02=q,故A正

确；

/-------------1

对于B,由垂径定理可知，|4同=2A/一一屋，其中d为弦心距,因为点。到直线A3的距离为1,

所以d=g，因为厂=1，所以|筋|=百|西+%一1|上+y2Tl

故B错误；对于CD,因为的

值可转化为单位圆上的A（X1,y）,网元2，%）两点到直线X+yT=0的距离之和，因为ZAOB=|,

所以ZkABO为等腰直角三角形，设M是的中点，贝且|。昭=孝|。4|=*,则

M在以。点为圆心，半径为弓的圆上，则A（%j）,2（4/）两点到直线》+〉-1=。的距离

之和为M到直线尤+,-1=0的距离的两倍，因为点。（。,0）到直线尤+,-1=0的距离为

3=交，所以点M到直线x+y-l=0的距离的最大值为0,则.+37+-+,-1|

的最

近2夜拒

大值为20,g+乂-1|+上+%-1|的最大值为4,故D正确;

故选AD.

11.已知甲盒中有五个相同的小球,标号为1,2,3,4,5,乙盒中有五个相同的小球,标号为3,4,5,6,

7.现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A=”抽取的两个小球标号相同”，事件

B="抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C="抽取的两个小球标号之和大于8"，则()

A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件B是对立事件

C.P(AUC)=P(B)D.P(BnC)=P(A)

【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了互斥事件、对立事件和事件的并、交运算，属于中档题.

由两球编号写出事件A,B所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、

对立事件的定义判断AB,求出AUB、BGC的概率判断CD.

【解答】

解：事件A的所有基本事件为甲3乙3,甲4乙4,甲5乙5,共3个；

事件B的所有基本事件为甲1乙4,甲1乙6,甲2乙3,甲2乙5,甲2乙7,甲3乙4,甲3乙6,甲4乙

3,甲4乙5,甲4乙7,甲5乙4,甲5乙6,共12个；

事件C的所有基本事件为甲2乙7,甲3乙6,甲3乙7,甲4乙5,甲4乙6,甲4乙7,甲5乙4,甲5乙

5,甲5乙6,甲5乙7,共10个.

从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件.

因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；

因为甲2乙4这个事件不在事件A中，也不在事件B中，

所以A,B和事件不是全体，所以B错误；

因为事件AUC的所有基本事件共有12个，

所以P(AUC)=||,所以P(AUC)=P(B),故C正确；

因为事件BnC的所有基本事件共有6个，事件A的所有基本事件共有3个，

所以P(BCC)=^,P(A)=£,所以P(BCC)7P(A),故D错误.

12.如图，在正四棱柱中，AB=3,的=2«,P是该正四棱柱表面或内部一

点，直线尸瓦尸。与底面加5。£)所成的角分别记为。,/?(。W0,0W0),且sin分=2sin*记

动点尸的轨迹与棱CCi的交点为Q,则下列说法正确的是()

A.。为CCi中点

B.线段尸4长度的最小值为5

C.存在一点P,使得PQH平面ABR

D.若尸在正四棱柱4?8-44£口表面，则点尸的轨迹长度为

4+3出

----------------71

6

【答案】BCD

【解析】

由题可知：\PB\=2\PC\,建系可得：2(3,0,0),C(3,3,0),P(x,y,z)

即/—y+f+z?=2,(x_3)2+(y_3y+z2得:(工/了+(y-+z?=4,球心(3,4,0),半

径r=2,

l^iL=^32+42+(2^)2-2=5,取CCi上一点Q,使CQ=6，BC上一点E,CD上一点F,

CE=CF=—,连接砂，由球心及半径可得：面。砂与球存在交点；当P位于正

4

四棱柱表面时，则£=三义2+^x出=4+3囱乃;故选：BCD

326

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点(2,-1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为.

【答案】2x-y-5=0

【解析】

设点。(％y)为直线上的任意一点，则(x-2,y+l)“l,2),所以2x-y-5=0,故填2x-y-5=0

111

14.已知x>§,y>2,且3x+y=7,则无三+，二三的最小值为

【答案】1

【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

由£+S=X£+3)[(3x—l)+(y—2)],利用基本不等式，即可得出・

«JAJ.y乙i,oAA.y乙

【解答】

1

解：因为x>§,y>2,且3x+y=7,

所以(3x-1)+(y-2)=4,则蠢+£=X七+S)[(3x-1)+(y-2)]

=1(2+洛+考)》[(2+2]洛.等)=1.

4'3x—1y—2y4v73x—1y—2'

当且仅当号=得且3x+y=7,即x=l,y=4时取等号.

故答案为1.

15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组

织2位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学,

且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.

【答案】9

25

【解析】

16.已知单位空间向量且，百，可满足胃后=0,百总=/运《若空间向量W满足

=m•百=容，且对于任意实数X,y,-y五I的最小值是2,贝1]陌-入瓦|("R)的

最小值是.

【答案】苧

【解析】【分析】

本题考查空间向量的数量积，空间向量模的最小值问题，属于高档题.

以向量比，百方向为x,y轴，垂直于向量尻，石的方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求

得前勺坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.

【解答】

解：以向量M,另方向为x,y轴，垂直于向量百，石的方向为z轴，建立空间直角坐标系，

1

则t届=(1,0,0),ej=(0,1,0),设可=(x,y,z),•.•同运=可运=,,二(0,1,0)•(x,y,z)=(1,0,0)•

(x,y,z)=I，解得x=2，y=]

••・可设瓦=GW，z),由可是单位空间向量，可得由=("士苧)，

同理由W•耳•百=浮，可设3=（苧，苧,Z2），

|a-xe7-ye；|=J（苧-x）2+（苧-y）2+为

当且仅当x=y=苧时，|才——y百|的最小值是2,

■7__|_o才r3V~23V_2八

••z2—±N,a=（-^―，^―,±2），

Ia-入可|2=A2-5/2A+13=（A-苧j+拉泰

或|五一入百/=入2一度入+13=（入—苧7+与》25^

恰一河》苧,

|a-Ae；|（AeR）的最小值为苧.

故答案为苧.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在四棱锥P—4BCD中，P4J_平面4BCD,AB//CD,且4B=1,CD=2,BC=2y/2,

PA=1,AB1BC,N为PD的中点.

⑴求证：AN〃平面PBC；

（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）?

【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行;

（2）取DC中点为E,以4为空间直角坐标系原点，AE为x轴，4B为y轴，4P为z轴，建立空间直

角坐标系，求出平面PBC的法向量和丽的坐标，利用向量法即可求得直线P。与平面P8C所成角

的正弦值.

【详解】（1）取PC中点为M,连接NM,MB,如图所示,2分

p

因为M,N分别是PC,PC的中点，所以NM〃DC且NM=|f)C,

又因为4B〃DC且48=|£)C,

所以NM〃AB,NM=AB,所以四边形NMBA为平行四边形，.............4分

所以4N〃BM,又因为2NC平面PBC,BMu平面PBC,

所以AN〃平面PBC；..................................5分

(2)取DC中点为E,以4为空间直角坐标系原点，AE为x轴，4B为y轴，

2P为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则4(0,0,0),P(0,0,l),5(0,1,0),Z)(2V2,-l,0),C(2V2,l,0),

设平面PBC的法向量为沅=(%,y,z),

因为丽=(0,—1,1),BC=(272,0,0),

所以■［竺:记「r/z=°,令y=i,解得仔：心，

kBC-m=2A/2%=0—1

即访=(0,1,1),..................................8分

又因为方=(2V2,-1,-1),

所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为|cos(而，沅)|=高得=?................10分

18.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国

轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动

员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19

届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办,为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，

某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加,

下图是其中男子组成绩的频率分布直方图(成绩介于85到145之间)，

(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；

(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中

至少有1位是95分以下选手的概率是多少？

(3)若女子组40位选手的平均分为117,标准差为12,试求所有选手的平均分和方差.

【答案】(1)0.025,129(2)13(3)平均分为118,方差为手315

【分析】(1)先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得

其高度，可求得第10名的成绩是第75百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；

(2)求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；

(3)利用平均数和方差的定义求解即可.

【详解】(1)因为已有矩形的面积和为10x(0.005+2x0.010+().020+0.030)=0.75,

所以缺失的矩形面积为1-Q75=0.25,

所以高度为°25+10=0.025,............................2分

由于三=025,所以第10名记为第75百分位数，

设第10名的成绩为尤，则x位于第5组，且0.025（135—x）+10x0.005=0.25,解得x=129,

所以成绩排名第10的选手分数为129；...............4分

（2）1。5以下合计6个人，将6人依次编号为1,2,3,4,5,6（95分以下的人编号为1,2）,

任选2个人的方法数，

列举出所有样本点：12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共计15

种，

9__3

包含1,2的有9种，故概率为155................8分

（3）男子组选手的平均分

x=90x0.05+100x0.1+110x0.2+120x0.3+130x0.25+140x0.1=119,

男子组得分的方差

=(90-119)2x0.05+(100-119)2x0.1+(110-119)2X0.2

+(120-119>x0.3+(130-119)2X0.25+(140-119)2xO.l

=169

所有选手的平均得分为空产=118

10分

1,1,315

=-[144+(117-118)2]+-[169+(119-118)2]=—

所以所有选手得分的方差22212分

19.已矢口函数/(x)=0sin(一一2%)—sin(——+2%).

36

⑴若方程小）=7"在9-；,会上有且只有一个实数根，求实数，〃的取值范围;

（2）在「.ABC中，若于（B）=-2,内角A的角平分线AB=^，求AC的长度.

【答案】（D-若若或机=2.(2)-\Z-6

【分析】⑴利用诱导公式、辅助角公式化简函数/（X）,再探讨y=f（x）在《，牙上的性质,

画出图象，数形结合求解作答.

（2）由（1）求出2,由正弦定理求出NAD3,进而求出NBAC,再利用等腰三角形性质求解

作答.

【详解】(1)依题意，f(-^)—A/3sin[----(2x—)]—sin[7c+(2x----)]=A/3COS(2X-----)+sin(2x)

26666

_._兀、7T_7C.

—2sin[r(z2x—)H—]—2sin(2xH—)

636,.............................2分

当刍时，2了+知-[刍，则当与时，y=f(x)单调递增，函数值从一声增大

4463346

至U2,

当时，尤)单调递减，函数值从2减小到屿，

方程“X)=%在X€,勺上有且只有一个实数根,即直线y=〃?与函数y=/(尤)在[--,勺的图

4444

象只有一个公共点，..............4分

在同一坐标系内作出直线、=机与函数y=f(x)在[-：守的图象，如图，

观察图象，当-旧金〃〈百或〃z=2时，直线y=m与函数(尤)在用,，的图象只有一个公

共点，

所以实数机的取值范围是一唐4根＜退或7"=2.............................6分

jrIT

(2)由(1)知，/(B)=2sin(2B+-)=-2,即sin(23+—)=-1,

66

TTjr137r7T37r27r

在WC中，。＜3＜兀，即/2B+Z＜T,则加彳”解得8二,8分

B

A

ABAD

在△W£＞中，AD=43,AB=版,由正弦定理得

sinZADBsinB

则ABsinB2后,显然°<ZAO8<9有=1..........10分

AD62

于是NBAD=n-B-ZADB=J即有/84。=2/胡£>=p，则NC=/B4C=殳，.ABC是等腰

1266

三角形，

所以AC=2A8cosNBAC=2^x^=#..............12分.

2

20.已知圆M:(x+1)°+(y-2『=2关于直线2依+勿+6=0对称，记点尸(。,6),过点尸的直线

与圆相切于点A3.

(1)求1PAi的最小值；

(2)当1PAi取最小值时，求切点所在的直线方程.

【答案】(1)4(2)3尤-3y+7=0

【分析】

(1);圆M关于直线26+勿+6=。对称，，该直线经过

,..........1分

易得圆M的半径为氏=^/^,

.，.一2a+2b+6=0=>b=a—3/.尸(a,a—3),

因此点尸是在直线/：%-丁-3=0上的动

点，..............3分

'直线E4是圆的切线，,\PA±AM,

2

.-.|PA|=&PM--=^|PM|_2.

当归网取得最小值时，1PAi最小，当直线MP，/时，归闾最小(如图),

此时仍⑼即为点尸到直线/的距离，J=尸-2-3|=3叵,..............5分

2

此时四|取得最小值，1pAim1n=R=4.6分

(2)法1：(圆与圆的交线方程)

由(1)得，当直线时，|丛|取得最小值，

此时直线M尸方程为：y=-(x+l)+2=-x+l,联立直线/与直线MP可得此时点P坐标:

y=—x+\x=2

「二尸⑵―1),..............8分

y=x—3y=­l

PA±AM,PB±BM,:.P,A、M、3四点共圆，且线段MP即为该圆的直径，

因此，以线段MP为直径的圆方程即为(x+1)(%-2)+(y—2)(y+1)=0,..............因分

又：圆M:(尤+1)2+(>-2)2=2,两圆方程相减消去平方项，

彳2+y2_x_y_4—0

即为交线AB的方程：，2n直线的方程为3x-3y+7=o..............12分

1+丁+2尤-4y+3=0

(2)法2：(圆的切点弦方程)

圆的切点弦方程：过圆外一点尸(无。,%)作圆(x-a)2+(y-6)2=/的两条切线，记切点分别为

A、B,

则直线A8的方程为(x-a)程-a)+(y-力(％-6)=/,,..................................9分

因此直线AB方程为(尤+1)(2+1)+(y—2)(-1-2)=2,整理得3x-3y+7=0........................12分

21.如图，在三棱柱ABC-AiBig中，底面是边长为2的等边三角形，Cg=2,D,E分别是线段

AC,CJ的中点，J在平面ABC内的射影为D.

(1)求证：AiCl平面BDE；

(2)若点F为棱BiJ的中点，求点F到平面BDE的距离；

(3)若点F为线段BiJ上的动点(不包括端点)，求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围.

【答案】(1)见解答⑵苧(3)9，苧)

【分析】

(1)法一：连结AQ,因为AABC为等边三角形，D为AC中点，二

BD1AC,..................................1分

11

?

又CiD1平面ABC,BDu平面ABC,CtD1BD,!

BD_L平面AAiJC,又A]Cu平面AAigC,；.BD_LAiC,/I/

由题设知四边形AAigC为菱形，AR，AC1，...................3分

•••D,E分别为AC,CCi中点，DE//AC1(.-.AiClDE,

又BDClDE=D,BD,DEu平面BDE,；.AR1平

面BDE........................4分

法二：由gDJ.平面ABC,BD,ACu平面ABC,,JD_LBD,C】D_LAC,

又AABC为等边三角形，D为AC中点，BD1AC,则以D为坐标原点，DB、DA、DJ所在

直线为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(，W,O,O),C(O,-1,O),

CI(O,O,C),E(0，W争，Ai(0,2,73)).......................