2022届高考考前冲刺卷（三）-数学

(新高考)2022届高考考前冲刺卷

数学(三)

注意事项：

S1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，

S并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

赭2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={0,1},则集合6=卜-小eAyeA}中元素的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】由集合1={0,1},B={x-y|xeA,yeA},

根据所以x-y=-1,0,1,所以§中元素的个数是3,故选C.

2.在复平面内，复数且对应的点坐标为()

2+i

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

【答案】A

3【解析】皿2—i)=j0±jil=i+2i,二在复平面内对应的点坐标为

2+i(2+i)(2-i)5

致

——

(1，2)，

故选A.

3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角

界

形A'B'C'已知点O'是斜边B'C的中点，且0A=2，则AABC的面积为()

A.40B.8A/2C.20D.672

【答案】B

【解析】由斜二测画法可知该三角形ABC为直角三角形，ZABC=90°>

根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半,

因为0A=2，所以BC=4，AB=4五,

所以三角形ABC的面积为=gx4x40=80，故选B.

4.已知函数/(x)=xa-3x--则“a=l”是“函数/(x)为偶函数”的()

、ay

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数“可定义域为R,函数〃力为偶函数,

OXO-X1

则VxeR，f(x)=-x(a-3-xx(a-3x--)=-x(3x+3-x)(a——)=0,

aaa

而-x(3'+3T)不恒为0，因此，a--=0-解得a=-1或a=l，

a

所以“a=l”是“函数为偶函数”的充分不必要条件，故选A.

5.已知数列㈤｝满足囚+3%+32%+…+3”-4=^(〃©N*),则%=()

A.J-B.—C.—D.—

3n3"-13"3向

【答案】C

【解析】由题设，q+3a2+32a3+…+3"Ta"=•|①，

则％+34+324+...+3"_2a（〃22）②,

①-②得：3"-&=g—F=g（"22）,

所以4=g（心2）,

由①知a=J■也满足上式，故a=—（〃©N*）,故选C.

13"3"

6.已知一组数据豌,X2,比3,…，税的标准差为2,将这组数据％1，/，尤3,.一

玉。中的每个数先同时减去2,再同时乘以3,得到一组新数据，则这组新数据的

标准差为（）

A.2B.4C.6D.3^/2

【答案】C

【解析】因为数据占，%，匕，…，玉。的标准差为2,所以方差为4.

由题意知，得到的新数据为3为-6,3X2-6,3%-6,…，3税-6,

这组新数据的方差为4x32=36,标准差为6,故选C.

22

7.如图，耳、歹2分别是双曲线c：二—与=1（。〉0］〉0）的左、右焦点，过百的直

a2b~1

线/与C的左、右两支分别交于点A、3两点，若△A5&为以歹2为直角顶点的等

腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）

「2百

C.---D.73

3

【答案】D

【解析】由题意，为等腰直角三角形,

设|盟|=|典|=m，\AF\=n，^\\AB\=42m，

由双曲线的定义，可得|然|-|四[=2”，忸耳|-忸闾=2a，

,[m—n-2a「,/、

可得|r，解得根=2"a，〃=2（0-1）。，

72m+n—m=2a'7

在中，由余弦定理可得闺闾2=M周2+|A闾2_2仙制人用cos/百伤，

即4c2=2（V2-1）2tz2+（2V2«）2-2x2（V2-l）«x2V2ax-—I,

2

整理得,2=34,即《2=二=3,所以e=百，

a

故选D.

8.已知关于x的方程/+2=仙1%+4（》+2）在；,+oo]上有两解，则实数上的取

值范围为（）

A.[1]+^^B.+C.（1,2]D.（l,e\

【答案】B

【解析】由已知可得左=-+2-xlnx在JL+QQ]上有两解,

令匕上至吧，为6己,+8），

x+22

则问题转化为函数y=/（x）与y=左在[g,+oo）上有两个交点，

-T-〃（2x—Inx—l）（x+2）—（%2+2—xInx）x2+3x—2Inx—4

/%~（x+2）2-（x+2）2，

2

尽/、2ociA[fiiif/\/-»22%+3x—2(2x—l)(x+2)

g(x)=x2+3x-21nx-4，贝！Jg\x)=2x+3o――=-------=---------

xxx

因为X£[g,+8)，所以g'(x)20恒成立，所以g(x)在[g,+8)上单调递增，

又g⑴=0,

所以当xeg,l）时，g（x）＜0，则/'（x）＜0;

当尤w[1,+00）时，g'（九）20，则/'（%）20,

所以/（X）在g,1）上单调递减，在[1,+00）上单调递增,

所以/（XU=/（1）=1，

111

又"l）_z+2m5_29ln29ln2

乂八5）一I+2丁）一记+于'

2

作出函数了（%）的大致图象如图示：

要使得k=x2+2—xlnx在上有两解,

x+2

实数上的取值范围为（1,2+反，故选B.

I105

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.

9.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体

两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件3为“两次向下的数字之和

为奇数”，则下列说法正确的是（）

A.P（A）=|B.事件A和事件3互为对立事件

C.P（B|A）=1D.事件A和事件3相互独立

【答案】CD

【解析】对于A,p(A)=-=-，可得A错误；

V742

对于B,事件3第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，

就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件3不是对立事件,

可得B错误；

1

对于c,由P(AB)=2X2=L,可得P(B|A)=2竺^=g=L,可得c正确；

444,)P(A)12

2

对于D选项，由尸(3)=：x：+：x：=g,可得P(A)P(6)=P(AB),

可知事件A和事件B相互独立，可得D正确，

故选CD.

10.已知函数y(x)=sinx(2gcosx+sinx)-cos?x,则下列结论正确的是()

A.〃可的图象关于直线x=g对称

B./⑴在上的值域为[1,2]

C.若/(石)=/(%)=2，则％_4=2左乃，kGZ

D.将/⑺的图象向右平移聿个单位得g(x)=-2cos2x图象

【答案】BD

【解析】/(%)=2-73sinXCOSX+sin2x-cos2x=V3sin2x-cos2x=2sinlx--,

6

对于A：^2x---=k7v+-(k&Z},可得左=^eZ,

1262V72

所以直线x=^|不是的图象的对称轴，故选项A不正确;

—[1.-T-n、I/TCTCt.c兀7C57c.।入TC।1

对于B：当工£—时n，2%----G—,——，sin2x---G—,1

[42」6136」I6jL2.

所以/(x)=2sin12x-看Je[1,2],故选项B正确；

对于c：的最小正周期为T=,="，

所以若/(%)二/(%)=2，则%一%2=%»，keZ，故选项C不正确;

对于D：将的图象向右平移看个单位得

7171）的图象，故选项正确,

g(%)=2sin2X------=2sin[2x-g=-2cos2xD

6~6

故选BD.

11.如图，正方体ABCD-A4GA的棱长为1，点p是内部（不包括边

界）的动点，若BD,AP，则线段AP长度的可能取值为（）

C.逅D.好

22

【答案】ABC

【解析】在正方体AG中，连接AC,AiCi,BR=O,如图,

BD±AC,BD±AAi,则瓦〃平面ACGAi,

因APLBD,所以APu平面ACQAi,

又点P是ABCDI内部（不包括边界）的动点，

连接C。，平面囱CDi平面ACGAi=C。，所以点尸在线段C。上（不含点C,

。），

连接A。，在等腰△Q4C中，AC=&AO=CO=旦，

2

而底边AC上的高为i,腰。。上的高力=40=2①,

0C3

从而有述<AP<&，g逅都符合，立不符合，

3522

故选ABC.

12.若存在正实数x,y,使得等式4x+a(y-3e2%Xlny-lnx)=0成立,其中e

为自然对数的底数，则。的取值可能是()

A.-1B.4C.—D.2

ee3e2

【答案】ACD

【解析】由题意,〃不等于0，S4x+tz(y-3e2x)(lny-lnx)=0>得

4+〃(1—3e2)ln»=0，

XX

令，=2«>0)，则——=ZlnZ-3e2lnZ，

xa

o2

g(0=HnZ-3e2Inr»则g'⑺=l+lnf----、

t

因为函数g'Q)在(0,+8)上单调递增，且g'd)=0，

所以当0〈/<e2时，，⑺v0;当1>1时，，。)>0，

则gQ)在(032)上单调递减，在(e2,+oo)上单调递增，

从而gQ)min=g(e?)=-4e2，即——>—4e2,解得Q2、或av0,

ae

故ae(-oo,0)4,+oo|，故选ACD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知向量“=0]+02，b-et-3e2>其中e2为单位向量，向量e2的夹

角为120。，则.

【答案】-1

【解析】由C]•Q=lxlxcosl20。=-g，

2

有".)=»]「一26"e2—3|e2|=1+1—3=—

故答案为-1.

14.在△ABC中，a,b，c分别是角A，BC的对边，记△ABC外接圆半径

为R,且2H(sir?A—sin26)=("z—c)sinC，则角3的大小为.

【答案】-(或45。)

4

【解析】由正弦定理一--=—-—=--—=27?,故2RsinA=a，2RsinB=b>

sinAsinBsinC

即27?(sin?A一sin。町=一c)sinCo〃sinA-bsinB=(&〃-c)sinC

a2-b2=(y[2a-c)ca2+c2-b1=41ac，

故cosB—Acf、交，

2ac2

又Beg,兀),故5=工，故答案为王.

44

15.将字母a,A,b,B,c,C排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的

排法种数为.

【答案】288

【解析】首先讨论Aa相邻，剩下的4个字母排列有如下情况：

bcBC、cbCB、bCBc、CbcB、BcbC、cBCb、BCbc、C3c)共8种可能，

任取8种中的一种与Aa组合，共有C；£=10种，

止匕时Aa相邻共有10x8=80种，

bcCB,bCcB,BcCb,BCcb,CbBc,CBbc,cbBC,cBbC,8种情况，

任取8种中的一种与Aa组合，共有A；=2种，此时Aa相邻共有2x8=16种，

所以Aa相邻共有96种；

同理，郎相邻共有96种，Cc相邻共有96种,所以共有288种，

故答案为288.

16.如图，点P是半径为2的圆。上一点，现将如图放置的边长为2的正方形

ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开

始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当

点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了轮，此时点A走过的路

径的长度为_________..

【答案】3,@+2)兀

【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为NfOfA，

顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍数：3x4=2x6=12，

所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.

这一轮中，点A路径AfA一4.A是圆心角为半径分别为2,20，2

的三段弧，故路径长/=工.(2+20+2)=述土生，

63

...点A与P重合时总路径长为(72+2)乃.

故答案为3,(女+2)乃.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.(10分)AABC内角C所对的边分别为a,6,c,已知b+c=a(cos_B+cosC).

(1)求A；

(2)若sinA+sinC=2sin5，求sin5+sin

【答案】（1）£；（2）I.

25

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及人+<?=〃（8$5+8$。）,

得sinB+sinC=sinA(cosB+cosC)，

于是得sin(A+C)+sin(A+J3)=sinAcosB+sinAcosC,

化简整理得cosAsinC+cosAsinB=0，即cosA(sinC+sin_B)=0,

ffi]sinB>0,sinC>0,则cosA=0，

又OvAv万,所以人=2・

2

(2)因为sinA+sinC=2sin5,由正弦定理得々+c=2〃,则l+9二竺，

aa

由(1)知，在Rt^ABC中，ABAC=/,b2+c2=a2>即于

是解得2==

a5a5

显然有sinB=—,sinC=—，即sin3=4,sinC=。，贝Usin3+sinC=1，

aa555

7

所以sin_B+sinC=—・

5

18.(12分)已知等差数列｛〃/的前〃项和为S”，又对任意的正整数都有

aa

n-,„=_2)且既=30.

n-m

（1）求数列｛a“｝的通项公式;

KI

（2）设a=2回，求数列也｝的前〃项和

64-26-；i(n<6)

【答案】（1）4=12—2〃；(2)T=

n'61+255(〃>6),

【解析】（1）设等差数列｛q,｝的公差为d，

因为4_%=_2,所以%+（/―1）Q4一（"?-l）d=d

n—mn—m

又醺=30,即5囚+等x（—2）=30，解得q=10,

所以=12—2”.

(2)由(1)知％,=12—2〃，令今=6—〃20，得〃V6,

当〃W6时,(2n>09

n

251-

色竺%

从而4=22+22++22=25+24+---+26-"=IJ26-26-n=64-26-",

14=

当〃>6时，

“1Cl2%

=22+22++22+2\2++22=25+24+…+2°+2]+…+2”6

=63+2上2=61+2"事

1-2

64-26-;,(H<6)

综上得看=

61+2”-5(〃〉6)

19.（12分）如图，在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。为矩形，平面PC。，平

ABCD,AB=2,BC=\,PC=PD=叵，E为PB中点.

(1)求证：尸。〃平面ACE；

(2)求二面角石―AC—。的余弦值;

(3)在棱P。上是否存在点M，使得40,3。？若存在，求也的值；若不存

PD

在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）一逅；（3）存在，1

62

【解析】（1）设5。交AC于点孔连接

因为底面A3CD是矩形，所以R为3。中点.

又因为E为尸3中点，所以EF//PD,

因为平面ACE,ERu平面ACE,

所以PD//平面ACE.

(2)取CD的中点。，连接P。，F0.

因为底面ABCD为矩形，所以3CLCD

因为PC=PD,。为CD中点，所以尸OLCD,OF//BC,所以ORLCD

又因为平面PCD,平面ABCD,POu平面PCD,平面PCDC平面ABCD=CD,

所以P。，平面A3CD.

如图，建立空间直角坐标系。-盯z,

则A(1,T,O),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),石][]],

设平面ACE的法向量为机=(%,y,z),AC=(-1,2,0)>AE=(-g，H),

m-AC=-x+2y=0

<131,

m-AE=——九+—y+—z=O

I222

令y=i,贝!|%=2,2=—i,所以帆=(2,1,-1),

平面ACD的法向量为op=(o,o,i),

八。m-OPV6

cos<m.OP>------------=-------，

IOP|•|/w|6

如图可知二面角E-AC-D为钝角，所以二面角E-AC-D的余弦值为_逅.

6

(3)假设存在棱PD上的点时，使得AML3D,

=2PD,O<2<1>

又。(0,—1,0),则=(—1,—2,0)，AP=(-1,1,1)-PD=(O,-l,-l)»

AMBD=(AP+PM^BD=APBD+APDBD=1-2+22=0,解得X=

故存在棱PD上的点M，使得AML3D,—=1.

PD2

20.（12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元）,

如图所示：

人数

（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身

达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的

概率；

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制.规定：消费金额为2000

元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员.预计去

年消费金额在（0,1600］、（1600,3200］、（3200,4800］内的消费者今年都将会分别

申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性

预先缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消

费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，

金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励.其中，普通会员、银卡会员和

金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元.方案2：每位

会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只

有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的

总数为2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖

励金；其他情况不给予奖励.如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银

卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖

的结果相互独立）.以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投

资较少？并说明理由.

【答案】（1）—;（2）方案2投资较少，理由见解析.

33

【解析】（1）记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”

为事件A.

由图可知，去年消费金额在（3200,4000］内的有8人，在（4000,4800］内的有4人，

消费金额超过3200元的“健身达人”共有8+4=12（人），

从这12人中抽取2人，共有C：种不同方法，

其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有C；C：+C：

种不同方法,

所以p(A)=CC：c：19

。1233

（2）方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸

运之星”,

则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为

8+2025+35

x25=7义25=15,—x25=3

100100100

按照方案1奖励的总金额为4=7x500+15x600+3x800=14900（元）.

方案2设〃表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金,

则〃的可能取值为Q200,300.

由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为。=与=2,

c；5

所以p(〃=o)=c；11百呜44

P(〃=200)=C；刖l)Y

P(,=3OO)=C3(|J[|J=A

所以〃的分布列为:

70200300

81368

P

125125125

数学期望为E〃=0义现+200义至+300义且=76.8（元），

125125125

按照方案2奖励的总金额为玄=（28+60x2+12x3）x76.8=14131.2（元）,

因为由5＞玄，所以施行方案2投资较少.

21.（12分）已知椭圆石：£+彳=1（。〉6〉0）的离心率为占，P为椭圆E上一

a2b22

点，

。为圆炉+丁2=62上一点，归0的最大值为3（P,。异于椭圆E的上下顶点）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）A为椭圆E的下顶点，直线AP,AQ的斜率分别记为匕，k2,且k2=4%,

求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.

2

【答案】（1）土+）2=1；（2）证明见解析，定点（0,1）.

4-

【解析】（1）解：由椭圆石的离心率为正，可得£=3,

2a2

又由|PQ|的最大值为3，可得a+Z?=3,

a+b=3

可得,解得a=2,。=l,c=&,

a2

a2=b2+c2

2

所以椭圆E的方程为工+黄=1.

4-

（2）解：由（1）可得点A的坐标为（0,-1），

因为直线AP,AQ的斜率分别记为a,k2,且左2=4尢，

可得直线AP的方程为y+1=kxx,直线AQ的方程为y+1=k2x=4-krx,

y=幻一18k

联立方程组d,整理得(4左；+1)——地x=0,解得x=0或%=彳含7

—+y2=114灯+1

I4-

瓯

将％=代入丫=女逮一1,可得y=/.—------->

46+1--