重难点突破：专题13 三元一次方程组的解法（解析版）

专题13三元一次方程组的解法重点三元一次方程组的解法难点三元一次方程组如何转化为二元一次方程组易错选择不适当的消元方法，造成计算复杂，出现错误三元一次方程组的解法①要根据方程组的特点决定先消去哪个未知数．②原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次．③将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解．【例1】下列方程组是三元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；B、含未知数项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；C、未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误；D、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选：A．【例2】方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，①+②+③得：2x+2y+2z=0，x+y+z=0④，④-①得：z=1，④-②得：y=0，④-③得：x=-1，所以原方程组的解为：．故选：D．【例3】若且，则k的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】：解：∵，∴，∴①＋②＋③得：3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，3（x＋y＋z）（3−k）＝0，因为x＋y＋z不等于0，所以3−k＝0，即k＝3．故选：C．【例4】解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（）A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数【答案】C【解析】解：，②+③得：7x-11y=6④，④与①即可组成二元一次方程组，∴要使解法较为简单，应先消去z，故选：C.一、单选题1．下列方程组中是三元一次方程组的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、a的最高次数是2，选项错误；B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误；C、每个方程都是分式方程，选项错误；D、符合题意，选项正确．故选：D2．已知方程组，则的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：方程组，三个方程相加得：，∴，故选：A．3．在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买支，若钢笔每支元，相册每本元，笔记本每本元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【解析】解：设购买钢笔x支，相册y本，笔记本z本，根据题意得20x+10y+5z=100，化简，得4x+2y+z=20，∵钢笔最多买2支，∴x可以取1、2，当x=1时，4+2y+z=20，即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7种；当x=2时，8+2y+z=20，即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5种；∴一共有买法7+5=12(种)，故选：D．4．有一个男孩的假期有11天在下雨，这11天如果上午下雨下午就不会下雨，下午下雨上午就不下，他的假期里9个上午和12个下午是晴天，他的假期共有几天？（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】解：设上午下雨是x天，下午下雨是y天，假期z天，则晴天为：（z﹣x﹣y）天由题意可得：解得：故选：C．5．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（

）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x【答案】B【解析】解：由②3+③得：11x+10z=35，∴转化为二元一次方程组为，故选：B．6．运用加减消元法解方程组，较简单的方法是（

）A．先消去x，再解B．先消去z，再解C．先消去y，再解D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解【答案】C【解析】解：，②×3＋③，得11x＋7z＝29④，④与①组成二元一次方程组．故选：C．二、填空题7．已知，，那么__________．【答案】-4【解析】解：∵，，∴①，②，用①-②得，故答案为：-4．8．若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5＝15，7△3＝﹣5，求5△4的值___．【答案】5【解析】解：∵3△5＝15，7△3＝﹣5，∴，①+②，可得：10a+8b+2c＝10，∴5a+4b+c＝5，∴5△4＝5a+4b+c＝5，故答案为：5．三、解答题9．解方程组：．【答案】【解析】解：由①得：将④代入②和③中整理得：得：将代入⑤中得：将，代入④中得：∴该方程组的解为10．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【解析】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：，解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．一、单选题1．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（

）．A．11支 B．9支 C．7支 D．5支【答案】D【解析】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得①×4-②×5得，所以，将代入①，得．即．∵，∴，∴x为小于6的正整数，四个选项中只有D符合题意；故选D．2．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则，解得这对夫妇共有3个子女．故选C．3．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（

）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】B【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，则，可得y+2z=7，即y=7-2z∵x、y、z为非负整数∴当z=1时，y=5，x=3；当z=2时，y=3，x=4；当z=3时，y=1，x=5当z=4时，y=-1（不符合题意，舍去）∴租房方案有3种．故选B．4．若实数满足，则（

）A． B． C． D．不能确定值【答案】A【解析】①×3得：③，②×2得：④，③-④得：=-3，故选：A．5．如图所示的三阶幻方，其对角线、横行、纵向的和都相等，则根据所给数据，可以确定这个和为（

）A．12 B．4 C． D．【答案】A【解析】解：如图，设对角线上的三个数字为x、y、z，三阶幻方的和=中心数字×3，由题意得，解得，∴三阶幻方的和10+2+0=12，故选A．6．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（）A．87 B．84 C．81 D．78【答案】A【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，由题意得：有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．令②×3－①得：7x+4y=100；所以令=t,(t为整数)所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=75+3t所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3tA.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;故选A．二、填空题7．为隆重庆祝建党一百周年，某学校欲购买，，三种花卉各100束装饰庆典会场．已知购买4束花卉，7束花卉，1束花卉，共用45元；购买3束花卉，5束花卉，1束花卉，共用35元．则学校购买这批装饰庆典会场的花卉一共要用__元．【答案】1500【解析】解：设A种花朵元束，种花朵元束，种花朵元束，则，①②，得，③，①③，得，④，③④，得，，（元．故答案为：1500．8．有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，如果放牧16头牛，则__________天可以吃完牧草．【答案】18【解析】解：设每头牛每天吃草x千克，牧场的草每天生长y千克，如果放牧16头牛，则m天可以吃完牧草，依题意，得：，由①可得出：y＝12x③，将③代入②中，得：16mx﹣12mx＝24×6x﹣6×12x，解得：m＝18．故答案为：18．三、解答题9．解方程组：．【答案】【解析】方法一：，把①代入②得，④联立方程③④得，解得，把代入①，得．所以原方程组的解是．方法二：，①+②，得，，④联立方程③④，得，解得，所以原方程组的解是