数学-天津市南开区2023-2024学年高三下学期一模试题试题和答案

2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（一）数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共1501、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、.如果事件A，B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)..对于事件A，B，P(A)>0，那么P(AB)=P(A).P(BA).一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。ð（2）若b子0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的()（B）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件（A）2（B）a（CD）3（4）函数y=sin2x.ln+2的图象可能为()（AB）（CD）=log23，则()4（A）a＜b＜c（B）c＜b＜a（C）b＜a＜c（D）b＜c＜a（6）已知随机变量X~N(μ,σ2)（ABCD）(π)(π)①-π为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线x=对称③将该函数的图象向左平移个单位长度得到y=3cos2x的图象：所有正确结论的序号是()（A）①②（B）③④（C）①②④（D）①③④（8）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AC1」BD，其外接球体积为36π,则其外接球被平面AB1D1截得图形面积为()（A）π（B）π（C）π（D）π 点P是C的右支上异于项点的一点，过F2作经F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，MO=，则点P到C的两条渐近线距离之积为()（ABC）2（D）4（10）i是虚数单位，复数=，则的虚部为______(a)63x)|的展开式中x2的系数为160，则实数(a)6（13）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，第二次抽到3号球的概率为π------（14）平面四边形ABCD中，AB=2，经ABC=3，AC」AB，E为BC的中点，用AB和AE表示---------AC=；若ED=2，则AD.AB的最小值为（15）已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=ex一x3，若函数x2024λf(x2024)2λ2有唯一零点，则实数λ的值为三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16本小题满分14分）（17本小题满分15分）E是棱PC上靠近P端的三等分点，点P是棱PA上一点.（1）证明：PA∥平面BDE（II）求点F到平面BDE的距离；（1II）求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.（18本小题满分15分）(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的线段长为.（I）求椭圆C的方程；（II）过点F作直线l交C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使.为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.（19本小题满分15分）=f(bn)，neN*.（i）求证：数列{}为等差数列，并求{bn}的通项公式（ii）设cn=anbn，证明：<，neN*（20本小题满分16分）已知a2，a为函数f(x)=(x2+mx+n)ex的极值点，直线l过点A(a2,f(a2))，B(a,f(a)(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间：(Ⅱ)证明：直线l与曲线y=f(x)交于另一点C： 63 632023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案数学学科一、选择题本题共9小题，每题5分，共45题号答案CBDAADCBB二、填空题本题共6小题，每题5分，共30（10）（11）212）2；（13第一个空3分，第二个空2分------1（14）2AE2AB，2（第一个空3分，第二个空2分151或2三、解答题其他正确解法请比照给分）由正弦定理得(Ⅰ)sinA=2sinB另解：因为cosA=b22a22bc=1一9=31一96PD」AD.因为PA丈平面BDE，所以PA∥平面BDE.(Ⅱ)因为PA∥平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.=(0,2,0)，------3(x,y,z)，.故平面BDE与平面PBC的夹角的余弦值为.解得a2=2，b2=1，所以椭圆C的方程为+y2=1.(Ⅱ)假设存在符合条件的点M(m,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，2-m,y2)，||L2.3k1k2]1m21y2，①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，t222，2y1y2+t2m22)t2+2m24m+1，若对于任意的t值，上式为定值，t2+2m2222(5)综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为|（4,(5)（19）解：(Ⅰ)因为正项等比数列{an}中，a2a4=a32324，所以a3=18.+12，*，所以数列{}是以=1为首项，公差为1的等差数列.=N*. 1c142c2n(nk2k1k2]<.2||]<.2|||||32321]2.2.3n-(n2LL2.31-2244综上：当neN*时，<-)单调递增，在(a-2,a)单调递减.(Ⅱ)直线AB的方程为y-f(a)=(x-a)，即y=-2ea-2(x-a).设g(x)=(x-a)ex+2ea-2，则g,(x)=(x-a+1)ex，令g,(x)=0得x=a-1，所以g(x)有且仅有2个零点a-2，x0，其中x0e(a-1，a)，即直线AB与