2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份）

第1页（共1页）2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣2．（4分）2023年济南（泉城）马拉松于10月29日成功举办．图①是此次泉城马拉松男子组颁奖现场示意图．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分．把“4500000“用科学记数法表示应为（）A．4.5×105 B．4.5×106 C．45×104 D．0.45×1064．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，则∠2等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°5．（4分）二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”（）A． B． C． D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则b﹣a的结果可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（4分）春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（）A． B． C． D．8．（4分）小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，小明开始出现错误的那一步是（）原式＝…①＝…②＝…③＝2…④A．① B．② C．③ D．④9．（4分）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，交OM于点A，交ON于点B，B为圆心，大于，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP，AP，BP，PF⊥ON于点F，则以下结论错误的是（）A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．S△AOB＝S△APB10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点P（a，b）满足，例如点（﹣3，﹣6）与都是“半分点”．有下列结论：①一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”是（2，4）；②若双曲线上存在“半分点”（t，4），且经过另一点（m+2，m）；③若关于x的二次函数y＝x2﹣2x+n的图象上恰好有唯一的“半分点”P，则n的值为4；④若点P（2，4）是二次函数y＝mx2﹣2x+n的半分点，若点Q的坐标为（m，n），则OQ的最小值为．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝．12．（4分）如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．13．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝．14．（4分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为，于是可以用表示，的小数部分可以表示为．15．（4分）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．如果小明同学乘坐出租车5km付车费14元元．16．（4分）如图，矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，连接CE，将△DCE沿CE翻折得到△FCE，点G为BF的中点，连接AG．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣3|．18．（6分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，AD上，AF＝CE20．（8分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：收集数据：甲校成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70，70，70，72，73，73，74，76，77整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：组别50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲41113102乙6315142分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：统计量平均数众数中位数方差甲74.586m47.5乙73.1847623.6根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是度：本次测试成绩更整齐的是校（填“甲”或“乙”）；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名校的学生（填“甲”或“乙”）；（3）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩达到75分（≥75分）可以参加第二轮比赛21．（8分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；（2）若BF＝1，，求BC的长．23．（10分）某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，B种图书每本30元．（1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A（2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用．24．（10分）直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数（1，3）、B（3，m）．（1）求a的值及直线l1的解析式；（2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标；（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝﹣x+t与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围．25．（12分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AE＝DE，点B，D，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，，当点B，D，E三点在同一直线上时26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（1，0），过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限内抛物线上的点，直线BP与DE交于点Q，当时，求点P的坐标；（3）坐标轴上是否存在点F，使得∠DEF＝75°，若存在；若不存在．请说明理由．

2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣，∴1＞，∴﹣1＜﹣，在﹣1，0，，﹣这四个数中，∵﹣7＜﹣＜8＜，∴最小的数是﹣1，故选：A．2．（4分）2023年济南（泉城）马拉松于10月29日成功举办．图①是此次泉城马拉松男子组颁奖现场示意图．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的，中间的矩形是最高的，故选：A．3．（4分）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分．把“4500000“用科学记数法表示应为（）A．4.5×105 B．4.5×106 C．45×104 D．0.45×106【解答】解：450000＝4.5×103，故选：A．4．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，则∠2等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°【解答】解：如图，∵∠CAD＝90°，∠1＝20°，∴∠BAD＝20°+90°＝110°，∵a∥b，∴∠BAD+∠2＝180°，∴∠2＝70°，故选：B．5．（4分）二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；选项D中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；故选：D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则b﹣a的结果可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵0＜b＜1，﹣4＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜3，∴1＜b﹣a＜3，而﹣5，1，2，6四个数中只有2在b﹣a的取值范围内，故选：C．7．（4分）春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，∴琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为＝，故选：B．8．（4分）小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，小明开始出现错误的那一步是（）原式＝…①＝…②＝…③＝2…④A．① B．② C．③ D．④【解答】解：原式＝＝＝＝﹣2，∴小明开始出现错误的那一步是第④步，故选：D．9．（4分）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，交OM于点A，交ON于点B，B为圆心，大于，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP，AP，BP，PF⊥ON于点F，则以下结论错误的是（）A．△AOB是等边三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．S△AOB＝S△APB【解答】解：∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，交ON于点B，∴OA＝OB，∵∠MON＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴A的结论正确，不符合题意；∵分别以点A，B为圆心AB的长为半径画弧，∴PA＝PB，在△OPA和△OPB中，，∴△OPA≌△OPB（SSS），∴∠POA＝∠POB．∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE＝PF．∴B的结论正确，不符合题意；∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠PEA＝∠PFB＝90°．在Rt△PAE和Rt△PBF中，，∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．∴C的结论正确，不符合题意；由作图过程可知：OB与PB不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，∴S△AOB不一定等于S△APB．∴D的结论错误，符合题意，故选：D．10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点P（a，b）满足，例如点（﹣3，﹣6）与都是“半分点”．有下列结论：①一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”是（2，4）；②若双曲线上存在“半分点”（t，4），且经过另一点（m+2，m）；③若关于x的二次函数y＝x2﹣2x+n的图象上恰好有唯一的“半分点”P，则n的值为4；④若点P（2，4）是二次函数y＝mx2﹣2x+n的半分点，若点Q的坐标为（m，n），则OQ的最小值为．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①由题意，设一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”为（a，∴4a﹣2＝2a．∴a＝4．∴“半分点”为（2，4）．故①正确．②∵点（t，6）为反比例函数y＝，∴t＝2．把（2，5）代入y＝．∴y＝．∵双曲线经过（m+2，m）∴m（m+4）＝8，解得：m1＝6，m2＝﹣4，∴m的值为2或﹣4．故②错误．③联立，整理得：x2﹣7x+n＝0，∵抛物线y＝x2﹣2x+n（m，n均为常数）上恰好有唯一的“半分点”，∴方程x2﹣4x+n＝5有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣4）2﹣7n＝0，∴n＝4．故③正确．④由题意，∵点P（22﹣2x+n的半分点，∴6m﹣4+n＝4．∴n＝7﹣4m．又Q的坐标为（m，n），∴OQ＝＝＝．∵对于函数y＝17m4﹣64m+64，当m＝﹣＝时＝，∴OQ有最小值为．故④错误．综上，正确的有①③．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．【解答】解：a2﹣4b8＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+3b）（a﹣2b）．12．（4分）如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．【解答】解：设小正方形边长为a，则阴影部分面积为2a2，图案总面积7a2﹣a2＝6a2，因此这个点取在阴影部分的概率是＝．故答案为：．13．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝2．【解答】解：则根据根与系数的关系得：x1+x2＝3+x2＝＝3，解得：x2＝7，即方程的另一个根为2，故答案为：2．14．（4分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为，于是可以用表示，的小数部分可以表示为．【解答】解：∵，即，∴的整数部分是2，故答案为：．15．（4分）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．如果小明同学乘坐出租车5km付车费14元27元．【解答】解：设CD段的函数解析式为y＝kx+b，把C（10，24），30）代入得：，解得，∴CD段的函数解析式为y＝2x﹣6，当x＝11时，y＝11×3﹣6＝27．∴张老师应该付的车费是27元．故答案为：27．16．（4分）如图，矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，连接CE，将△DCE沿CE翻折得到△FCE，点G为BF的中点，连接AG3．【解答】解：延长BA到H，使AH＝AB＝4，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴CH＝＝＝10，∵将△DCE沿CE翻折得到△FCE，∴CF＝CD＝AB＝6，当H，F，C共线时，FH的最小值为CH﹣CF＝10﹣4＝6；∵点G为BF的中点，AH＝AB，∴AG是△BHF的中位线，∴AG＝HF，∴AG的最小值为×6＝3；故答案为：2．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣3|．【解答】解：|﹣3|＝8﹣2×﹣2+2＝3﹣1﹣8+2＝5．18．（6分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤8，得：x≤3，解不等式x﹣1＜，得：x＜2，则不等式组的解集为x≤3．所有正整数解有：1、5、3．19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，AD上，AF＝CE【解答】证明：解法一：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，又∵AF＝CE，∴AD﹣AF＝CD﹣CE，∴DF＝DE，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．解法二：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，在△ACE和△CAF中，，∴△ACE≌△CAF（SAS），∴AE＝CF．20．（8分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：收集数据：甲校成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70，70，70，72，73，73，74，76，77整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：组别50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲41113102乙6315142分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：统计量平均数众数中位数方差甲74.586m47.5乙73.1847623.6根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝72.5；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是135度：本次测试成绩更整齐的是乙校（填“甲”或“乙”）；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名甲校的学生（填“甲”或“乙”）；（3）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩达到75分（≥75分）可以参加第二轮比赛【解答】解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，故中位数m＝．乙校成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是．由于甲校的成绩的方差47.6＞乙校的成绩的方差23.6，所以本次测试成绩更整齐的是乙校．故答案为：72.5；135°；乙．（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，由表中数据可知该学生是甲校的学生．理由：甲校的中位数是72.8，乙校的中位数是76＞72.5．故答案为：甲．（3）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：＝240（人）．21．（8分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，∠A＝30°，DF＝600m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，∴BM＝AB＝150m＝EF，∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），答：登山缆车上升的高度DE为450m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，∴BD＝≈＝562.5（m），∴需要的时间t＝t步行+t缆车＝+≈19.7（min），答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；（2）若BF＝1，，求BC的长．【解答】（1）证明：连接OE，则∠EOF＝2∠EAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵EF与⊙O相切于点E，∴EF⊥OE，∴∠OEF＝∠C＝90°，∵∠AFE＝∠ABC，∴△OFE∽△ABC，∴∠EOF＝∠CAB，∴∠CAB＝2∠EAB．（2）解：∵∠OEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠ABC，∴＝sin∠ABC＝sin∠AFE＝＝，∴OE＝OFAB，∵BF＝5，OE＝OB，∴OB＝（OB+8），解得OB＝4，∴AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝AB＝，∴BC的长是．23．（10分）某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，B种图书每本30元．（1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A（2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用．【解答】解：（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，得：，解得，答：购买了A种图书100本，B种图书200本；（2）设购买A种图书a本，则购买B种图书（300﹣a）本，根据题意，得300﹣a≥a，解得a≤150，∴0＜a≤150，且a为整数，设购买两种图书的总费用为w元，则w＝20a+30×（300﹣a）＝﹣10a+9000，∵﹣10＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝150时，w取最小值，此时300﹣a＝150，答：当购买A、B两种图书各150本时，为7500元．24．（10分）直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数（1，3）、B（3，m）．（1）求a的值及直线l1的解析式；（2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标；（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝﹣x+t与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数，∴将点A的坐标代入，得，∴a＝3，∴反比例函数为y＝（x＞0），又∵B（3，m）在反比例函数y＝，∴m＝1，即B（3，∵点A（2，3），1）在直线y＝kx+b上∴，∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵直线l1为y＝﹣x+4，∴C（0，4）．∵，∴，设E（d，0），如图，E在射线DO上，d＜0，∴S△AOE+S△ACE＝S△COE+S△AOC．∴，∴d＝﹣2．∴E（﹣5，0）；（3）依据题意，直线l2：y＝﹣x+t平行于直线l5，l2与封闭图形有交点，l2下端与y＝相切于点G，G、H关于点E对称．由题意，，∴x2﹣tx+3＝0．∵相切，∴Δ＝t2﹣12＝3．∴t＝2（负数舍去）．∴此时y＝﹣x+6．与y轴的交点E为（0，3），∵C（0，2），∴CE＝4﹣2，∴CF＝4﹣2，OF＝4+4﹣5，∴此时y＝﹣x+7﹣．与y轴的交点F为（0），∴．25．（12分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，CE之间的数量关系为BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AE＝DE，点B，D，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，，当点B，D，E三点在同一直线上时【解答】解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案为：BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∴