应用时间序列分析课件

时间序列的预处理2.1平稳性检验

本节结构概率分布与特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性的检验

概率分布概率分布的意义随机向量的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定时间序列概率分布族的定义实际应用的局限性{特征统计量均值

方差自协方差自相关系数平稳时间序列的定义严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。

平稳时间序列的定义宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。定义2.2如果{X_t}满足如下三个条件：严平稳与宽平稳的关系一般关系严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立特例不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳平稳时间序列的统计性质

常数均值

自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关

延迟自协方差函数

延迟自相关系数自相关系数的性质规范性对称性

非负定性

非唯一性

一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳时间序列。时间序列数据结构的特殊性传统统计分析的数据结构有限个变量，每个变量有多个观察值时间序列数据结构可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值平稳性的重大意义在平稳序列场合，序列的均值等于常数，这意味着原本含有可列多个随机变量的均值序列变成了只含有一个变量的常数序列。原本每个随机变量的均值（方差，自相关系数）只能依靠唯一的一个样本观察值去估计，现在由于平稳性，每一个统计量都将拥有大量的样本观察值。这极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样本容量。极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度平稳性的检验（图检验方法）

时序图检验

根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征自相关图检验

平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零例题例2.1检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性例2.2检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例2.3检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平稳性例2.1:中国纱年产量时序图例2.1自相关图例2.2:奶牛月产奶量时序图例2.2自相关图例2.3：北京市每年最高气温时序图例2.3自相关图本章结构平稳性检验1.纯随机性检验2.2.2纯随机性检验

本节结构纯随机序列的定义纯随机性的性质纯随机性检验纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条性质

标准正态白噪声序列时序图

白噪声序列的性质

纯随机性

各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列

方差齐性

根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的纯随机性检验

检验原理假设条件检验统计量

判别原则Barlett定理

如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布假设条件原假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间有相关性

检验统计量Q统计量

LB统计量

判别原则拒绝原假设当检验统计量大于分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点，或该统计量的P值大于时，则认为在的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定

例2.4：标准正态白噪声序列纯随机性检验样本自相关图检验结果延迟统计量检验统计量值P值延迟6期2.360.8838延迟12期5.350.9454由于P值显著大于显著性水平，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。例2.5对1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验

例2.5时序图例2.5自相关图例2.5白噪声检验结果延迟阶数LB统计量检验LB检验统计量的值P值675.46<0.00011282.57<0.0001本章SAS操作指导绘制时序图gplot程序的使用平稳性和随机性检验Identify语句的使用多元时间序列分析6.1平稳多元序列建模ARIMAX模型结构例6.1在天然气炉中，输入的是天然气，输出的是，的输出浓度与天然气的输入速率有关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序列，建立的输出百分浓度模型。

输入/输出序列时序图输入序列输出序列一元分析拟合输入序列拟合输出序列多元分析Cross-correlation图拟合ARIMAX模型模型结构模型口径残差序列分析自相关图和偏自相关图残差拟合模型拟合模型比较模型结构比较一元模型AIC=196.3SBC=211.1多元模型AIC=8.3SBC=34.0ARIMAX模型拟合效果图本章结构平稳时间序列建模1.虚假回归2.单位根检验3.协整4.误差修正模型5.6.2虚假回归假设条件检验统计量虚假回归伪回归随机模拟试验1974年，Granger和Newbold进行了非平稳序列伪回归的随机模拟试验，检验结果说明在非平稳的场合，参数显著性检验犯第一类错误的概率远远大于显著性水平，伪回归显著成立。这导致多元非平稳序列的分析埋有隐患。试验设计思想：分别拟合两个随机游走序列：其中：构建关于的回归模型：，并进行参数显著性检验。试验结果由于这是两个独立的随机游走模型，所以理论上它们应该没有任何相关性，即模型检验应该显著支持的假设。如果模拟结果显示拒绝原假设的概率远远大于拒真概率，即认为伪回归显著成立。大量随机拟合的结果显示，每100次回归拟合中，平均有75次拒绝的假设，拒真概率高达75%。这说明在非平稳的场合，参数显著性检验犯拒真错误的概率远远大于，伪回归显著成立。伪回归产生原因本章结构平稳时间序列建模1.虚假回归2.单位根检验3.协整4.误差修正模型5.单位根检验的重要性由于虚假回归问题的存在，所以在进行动态回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性。只有当各序列都平稳时，才可以大胆地使用模型拟合多元序列之间的动态回归关系。在前面我们已经介绍过序列平稳性的图检验方法，由于图检验带有很强的主观色彩，为了客观起见，人们开始研究各种序列平稳性的统计检验方法，其中应用最广的是单位根检验。单位根检验的定义单位根检验通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性方法DF检验ADF检验PP检验DF检验（AR(1)模型为例）假设条件原假设：序列非平稳备择假设：序列平稳检验统计量时时DF检验的等价表达等价假设检验统计量DF检验的三种类型第一种类型第二种类型第三种类型DF统计量时时DF检验的等价表达记AR(1)模型等价为平稳性检验的假设条件为DF统计量为DF检验的三种类型第一种类型：无漂移项自回归过程这种类型的序列称为不带漂移项的差分平稳（differencestationary）序列，简记为DS序列。该序列均值非平稳，方差非齐，但一阶差分平稳。第二种类型：带漂移项自回归过程这种类型的序列称为带漂移项的差分平稳序列。整理该序列可以发现这是一个有趋势，且波动性不断增加的非平稳序列第三种类型：带趋势回归过程这种类型的序列称为趋势平稳（trendstationary）序列，简记为TS序列。对趋势平稳序列最好是通过拟合线性模型提取序列中的相关关系，实现残差序列平稳例6.2拟合趋势平稳序列考察该序列差分后残差序列和提取线性趋势后残差的波动性。序列时序图及趋势残差序列时序图例6.3拟合趋势平稳序列考察该序列差分后残差序列和提取线性趋势后残差的波动性。序列时序图差分后残差序列时序图差分后残差序列时序图残差序列95%的点在（-28,28）之间波动趋势拟合后残差序列时序图残差序列95%的点在（-20,20）之间波动例6.4对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列和生活消费支出对数序列进行检验

输入序列的DF检验收入序列单位根检验结果对于收入序列的检验结果显示，无论考虑何种类型的模型，单位根检验的P值显著大于显著性水平，所以可以认为中国农村居民家庭人均纯收入对数序列显著非平稳，且这六种处理均不能实现残差序列平稳。输出序列的DF检验支出序列单位根检验结果对于支出序列的检验结果显示，无论考虑何种类型的模型，单位根检验的P值均大于显著性水平，所以可以认为中国农村居民家庭人均支出对数序列显著非平稳，且这六种处理均不能实现残差序列平稳。ADF检验DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检验。为了使检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，人们对检验进行了一定的修正，得到增广检验（AugmentedDickey－Fuller），简记为ADF检验ADF检验的原理若AR(p)序列有单位根存在，则自回归系数之和恰好等于1ADF检验等价假设检验统计量ADF检验的三种类型第一种类型：无常数，无趋势第二种类型：有常数，无趋势第三种类型：有常数，有趋势例6.6续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列和生活消费支出对数差分后序列进行检验

例6.4序列的ADF检验例6.4序列的ADF检验PP检验ADF检验主要适用于方差齐性场合，它对于异方差序列的平稳性检验效果不佳Phillips和Perron于1988年对ADF检验进行了非参数修正，提出了PP检验统计量。PP检验统计量适用于异方差场合的平稳性检验，且服从相应的ADF检验统计量的极限分布

残差序列的三个条件均值恒为零方差有至少一个高阶矩存在非退化极限分布存在PP检验的构造原理如果序列不满足方差齐性的假设，则条件方差不等于无条件方差。以AR(1)为例说明PP检验统计量PP检验就是利用在方差非齐场合，条件方差和无条件方差的不等性，对ADF检验统计量进行非参数修正，修正后的检验统计量为其中：例6.4续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列和生活消费支出对数差分后序列进行PP检验

例6.4序列的pp检验例6.4序列的PP检验例6.4二阶差分后序列的PP检验本章结构平稳时间序列建模1.虚假回归2.单位根检验3.协整4.误差修正模型5.6.4协整单整的概念如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为假如原序列一阶差分后平稳，说明序列存在一个单位根，这时称序列为一阶单整序列，简记为假如原序列至少需要进行d阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为阶单整序列，简记为单整的性质若，对任意非零实数a，b，有若，对任意非零实数a，b，有若，对任意非零实数a，b，有若，对任意非零实数a，b，有协整的概念假定自变量序列为，响应变量序列为，构造回归模型假定回归残差序列平稳，我们称响应序列与自变量序列之间具有协整关系。协整检验假设条件原假设：多元非平稳序列之间不存在协整关系备择假设：多元非平稳序列之间存在协整关系检验步骤建立响应序列与输入序列之间的回归模型

对回归残差序列进行平稳性检验

例6.4续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列和生活消费支出对数序列进行EG检验。

构造回归模型拟合模型一元线性模型估计方法最小二乘估计拟合模型口径残差序列单位根检验我们以91.55%（1－0.0845）的把握断定残差序列平稳且具有一阶自相关性最终拟合模型协整模型拟合效果图本章结构平稳时间序列建模1.虚假回归2.单位根检验3.协整4.误差修正模型5.误差修正模型误差修正模型（ErrorCorrectionModel）简称为ECM，最初由Hendry和Anderson于1977年提出，它常常作为协整回归模型的补充模型出现协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而ECM模型则解释序列的短期波动关系

短期影响因素分析响应序列的当期波动主要会受到三方面短期波动的影响输入序列的当期波动上一期的误差纯随机波动误差修正模型模型结构负反馈机制以例6.4的应用背景对误差修正模型的负反馈机制进行直观解释当时，即上期真实支出比估计支出大，这种误差反馈回来，会导致下期支出适当压缩当时，即上期真实支出比估计支出小，这种误差反馈回来，会导致下期支出适当增加例6.4续对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列和生活消费支出对数序列构造ECM模型

例6.4构造ECM模型拟合长期协整关系拟合短期波动（ECM模型）上机指导单位根检验ARIMAX模型建模平稳时间序列分析3.1方法性工具

本节结构差分运算延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分阶差分

步差分延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻

记B为延迟算子，有

延迟算子的性质

，其中

用延迟算子表示差分运算阶差分

步差分线性差分方程

线性差分方程齐次线性差分方程齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合非齐次线性差分方程的解

非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和时序分析与线性差分方程的关系常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.3.2ARMA模型本节结构AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型

AR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

自回归系数多项式AR模型平稳性判别

判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的

判别方法单位根判别法平稳域判别法自回归方程的解任一个中心化模型都可以视为一个非齐次线性差分方程，它的通解求法如下（1）求齐次线性差分方程的一个通解（2）求非齐次线性差分方程的一个特解（3）求非齐次线性差分方程的通解

单位根检验自回归序列平稳，要求成立的条件平稳域判别对于一个模型而言，如果没有平稳性的要求，实际上也就意味着对参数向量没有任何限制，它们可以取遍维欧氏空间的任意一点如果加上了平稳性限制，参数向量就只能取维欧氏空间的一个子集，使得特征根都在单位圆内的系数集合对于低阶自回归模型用平稳域的方法判别模型的平稳性通常更为简便。AR(1)模型平稳条件方程结构特征根平稳域AR(2)模型的平稳条件方程结构特征根平稳域AR(2)的平稳域例3.1:考察如下四个模型的平稳性例3.1平稳序列时序图例3.1非平稳序列时序图例3.1平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出Green函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数Green函数递推公式原理方法：待定系数法例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的Green函数Green函数为平稳AR(1)模型的方差方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为自相关系数自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型AR模型自相关系数的性质AR模型自相关系数的表达式是一个齐次差分方程，设它的通解形式为呈指数衰减拖尾性例3.5:考察如下AR模型的自相关图例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数按复指数单调收敛到零例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数呈正负相间衰减例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数呈现出“伪周期”性例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数不规则衰减偏自相关系数定义

对于平稳序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是偏自相关系数的计算Yule-Walker方程组在方程等号两边同时乘以，并取期望，得取前k个方程构成的方程组即Yule-Walker方程组解Yule-Walker方程组可以得到参数的解，最后一个参数的解即为延迟K偏自相关系数Yule-Walker方程求解AR模型偏自相关系数的截尾性AR(1)模型偏自相关系数的计算AR(1)模型Jule-Walker方程偏自相关系数的解AR(2)模型偏自相关系数的计算例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图理论偏自相关系数样本偏自相关系数图MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶移动平均系数多项式MA模型的统计性质常数均值常数方差MA模型的统计性质自协方差函数q阶截尾自相关系数q阶截尾常用MA模型的自相关系数MA(1)模型MA(2)模型例3.6:考察如下MA模型的相关性质MA(1)模型的自相关系数1阶截尾

不同的MA(1)模型，相同的自相关系数考察上面两个MA(1)模型的自相关图，可以发现这两个不同的MA模型具有相同的自相关图容易验证它们的理论自相关系数也正好相等MA(2)模型的自相关系数2阶截尾

不同的MA(2)模型，相同的自相关系数考察上面两个MA(2)模型的自相关图，可以发现这两个不同的MA模型具有相同的自相关图容易验证它们的理论自相关系数也正好相等MA模型的可逆性例3.6演示了不同的MA模型，可能具有完全相同的自相关系数的现象。产生这种现象的原因就是我们在第二章中提到的：自相关系数有可能不唯一。这种自相关系数的不唯一性，会给我们将来的工作增加麻烦。因为，将来我们都是通过样本自相关系数显示出来的特征选择合适的模型拟合序列的发展，如果自相关系数和模型之间不是一一对应关系，就将导致拟合模型和随机序列之间不会是一一对应关系。为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的模型，我们就要给模型增加约束条件。这个约束条件称为模型的可逆性条件。可逆的定义可逆MA模型定义若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。可逆MA(1)模型MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外逆函数的递推公式原理方法：待定系数法递推公式例3.6续:考察如下MA模型的可逆性(1)—(2)

逆函数逆转形式(3)—(4)

逆函数逆转形式MA模型偏自相关系数拖尾对于一个可逆模型，可以等价写成模型形式其中AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾，所以可逆MA(q)模型偏自相关系数阶截尾，即具有偏自相关系数拖尾属性。一个可逆MA(q)模型一定对应着一个与它具有相同自相关系数和偏自相关系数的不可逆MA(q)模型，这个不可逆MA(q)模型也同样具有偏自相关系数拖尾特性。例3.7求MA(1)模型偏自相关系数的表达式MA(1)模型表达式：根据偏自相关系数的定义，我们知道延迟k阶偏自相关系数是如下方程组的最后一个系数对依次求方程，可以得到MA(1)模型任意k阶偏自相关系数的通解为例3.6续绘制下列MA模型的偏自相关系数图，直观考察MA模型偏自相关系数的拖尾性MA(1)模型偏自相关系数拖尾MA(2)模型偏自相关系数拖尾ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为

阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定传递形式与逆转形式传递形式逆转形式ARMA(p,q)模型的统计性质均值协方差自相关系数ARMA模型的相关性自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾例3.8:考察ARMA模型的相关性拟合模型ARMA(1,1)

并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。

自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本偏自相关图ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.3.3平稳序列建模

本节结构建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数模型识别基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数，与都会衰减至零值附近作小值波动当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？

样本相关系数的近似分布BarlettQuenouille模型定阶经验方法95％的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。例3.9选择合适的模型拟合1950年－2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列。序列时序图白噪声检验时序图显示序列没有显著非平稳特征。白噪声检验显示序列值彼此之间蕴含着相关关系，为非白噪声序列。序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别样本自相关图显示除了延迟1-3阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据自相关系数的这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。考察自相关系数衰减向零的过程，可以看到有明显的正弦波动轨迹，这说明自相关系数衰减到零不是一个突然的过程，而是一个有连续轨迹的过程，这是相关系数拖尾的典型特征考察偏自相关系数衰减向零的过程，除了1-2阶偏自相关系数在2倍标准差范围之外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内做小值无序波动，这是一个典型的相关系数2阶截尾特征本例中，根据自相关系数拖尾，偏自相关系数2阶截尾属性，我们可以初步确定拟合模型为AR(2)模型。例3.10美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列

序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)

例3.111880-1985全球气表平均温度改变值差分序列

序列自相关图序列偏自相关图拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列参数估计待估参数个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计矩估计原理样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差例3.12:求AR(2)模型系数的矩估计AR(2)模型Yule-Walker方程矩估计（Yule-Walker方程的解）例3.13:求MA(1)模型系数的矩估计MA(1)模型方程矩估计例3.14:求ARMA(1,1)模型系数的矩估计ARMA(1,1)模型方程矩估计对矩估计的评价优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合）缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值

极大似然估计原理在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值

似然方程由于和都不是的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值

对极大似然估计的评价优点极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质缺点需要假定总体分布最小二乘估计原理使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值

条件最小二乘估计实际中最常用的参数估计方法假设条件残差平方和方程解法迭代法对最小二乘估计的评价优点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高条件最小二乘估计方法使用率最高缺点需要假定总体分布例3.9续确定1950年－2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型的口径。拟合模型：AR(2)估计方法：极大似然估计模型口径例3.10续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径

拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径例3.11续确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径

拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径模型的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列

反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列检验统计量LB统计量模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简例3.9续检验1950年－2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型的显著性残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论62.340.6736拟合模型显著有效123.270.9744184.070.9988参数显著性检验目的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简

假设条件检验统计量例3.9续检验1950年－2008年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数序列拟合模型参数的显著性参数检验结果检验参数t统计量P值结论3.500.0005显著非零6.46<0.0001显著非零-4.75<0.0001显著非零例3.10续:对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验

残差白噪声检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值－3.75<0.0004显著非零10.60<0.0001显著非零延迟阶数LB统计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.6171例3.11续:对1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型进行检验

残差白噪声检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论16.34<0.0001显著非零3.50.0007显著非零延迟阶数LB统计量P值结论65.280.2595模型显著有效1210.300.4247模型优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化的目的选择相对最优模型例3.15:拟合某一化学序列序列自相关图序列偏自相关图拟合模型一根据自相关系数2阶截尾，拟合MA(2)模型参数估计模型检验模型显著有效

三参数均显著

拟合模型二根据偏自相关系数1阶截尾，拟合MA(1)模型参数估计模型检验模型显著有效

两参数均显著

问题同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？

解决办法确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优AIC准则最小信息量准则（AnInformationCriterion）

指导思想似然函数值越大越好

未知参数的个数越少越好

AIC统计量SBC准则AIC准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多

SBC统计量例3.15续用AIC准则和SBC准则评判例3.15中两个拟合模型的相对优劣

结果AR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.序列预测线性预测函数预测方差最小原则序列分解预测误差预测值误差分析估计误差期望方差AR(p)序列的预测预测值预测方差95％置信区间例3.16已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月）今年第一季度该超市月销售额（万元）分别为：101，96，97.2请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间例3.14解：预测值计算四月份五月份六月份例3.14解：预测方差的计算GREEN函数方差例3.14解：置信区间公式估计结果预测时期95％置信区间四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

六月份（81.84，113.35）

例3.9续根据1950年－2008年的观察值序列预测2009-2013年我国邮路及农村投递线路每年新增里程数MA(q)序列的预测预测值预测方差例3.17已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万人）：最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109例3.17解：随机扰动项的计算例3.17解：估计值的计算例3.15解：预测方差的计算例3.17解：置信区间的计算预测年份95％置信区间2005（99，119）

2006（83，109）

2007（87，115）

2008（86，114）

2009（86，114）

ARMA(p,q)序列预测预测值预测方差例3.18已知ARMA(1,1)模型为：且

预测未来3期序列值的95％的置信区间。例3.18解：估计值的计算例3.16解：预测方差的计算Green函数方差例3.16解：置信区间的计算时期95％置信区间101（0.136，0.332）

102（0.087，0.287）

103（0.049，0.251）

修正预测定义所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值

方法在新的信息量比较大时——把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型

在新的信息量很小时——不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度修正预测原理在旧信息的基础上，的预测值为假设新获得一个观察值，则的修正预测值为修正预测误差为预测方差为一般情况假设新获得p个观察值，则的修正预测值为修正预测误差为预测方差为例3.16续假如四月份的真实销售额为100万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值计算四月份的预测误差计算修正预测值计算修正方差修正置信区间预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

（87.40，110.92）

六月份（81.84，113.35）

（85.79，113.21）

非平稳序列的确定性分析4.1时间序列的分解Wold分解定理HermanWold，(1908-1992),瑞典人1938年提出Wold分解定理。1960年提出偏最小二乘估计方法(PLS)Cramer分解定理HaraldCramer,

(1893-1985)，瑞典人，斯德哥尔摩大学教授，Wold的指导教师。Wold分解定理（1938）对于任何一个离散平稳过程它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一个为随机性的，不妨记作其中：为确定性序列，为随机序列，它们需要满足如下条件（1）（2）

（3）确定性序列与随机序列的定义对任意序列而言，令关于q期之前的序列值作线性回归其中为回归残差序列，。确定性序列，若随机序列，若ARMA模型分解确定性序列随机序列Cramer分解定理（1961）任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即确定性影响随机性影响对两个分解定理的理解Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。Cramer分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。本章结构时间序列的分解1.确定性因素分解2.趋势分析3.季节效应分析4.综合分析5.确定性因素分解传统的因素分解长期趋势（Trend）循环波动（Circle）季节性变化（Season）随机波动（Immediate）四种因素的相互作用模式加法模型乘法模型混合模型模型结构不唯一因素分解模型的部分改进如果观察时期不够长，循环波动因素可能不考虑如果交易日有显著影响（比如每日股指序列，日销售量序列等），会增加交易日因素（Day）新的四种因素的相互作用模式加法模型乘法模型

确定性时序分析的目的克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响本章结构时间序列的分解1.确定性因素分解2.趋势分析3.季节效应分析4.综合分析5.4.3趋势分析目的有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测

常用方法趋势拟合法平滑法趋势拟合法趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法

分类线性拟合非线性拟合线性拟合使用场合长期趋势呈现出线形特征模型结构例4.1澳大利亚政府1981——1990年每季度的消费支出序列线性拟合模型参数估计方法最小二乘估计参数估计值拟合效果图非线性拟合使用场合长期趋势呈现出非线形特征参数估计指导思想能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计

常用的部分非线性拟合模型模型变换变换后模型参数估计方法线性最小二乘估计线性最小二乘估计－－迭代法－－迭代法－－迭代法例4.2：对我国1949-2008年化肥产量序列进行曲线拟合

非线性拟合模型变换参数估计方法线性最小二乘估计拟合模型口径拟合效果图平滑法平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律

常用平滑方法移动平均法指数平滑法移动平均法基本思想假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值

分类n期中心移动平均n期移动平均n期中心移动平均5期中心移动平均n期移动平均5期移动平均移动平均的使用在本世纪初，保险精算师使用15期中心移动平均，用来修匀死亡率，得到消除随机波动的生命表。现在，股市中普遍使用的5日均线，10日均线，30日均线，60日均线，250日均线等指标，帮助交易者确认股票或大盘的现有趋势，预测未来短期、中期或长期的走向。这些均线其实也就是中心移动平均线。N期移动平均是一种常用的平稳序列预测方法。移动平均预测移动平均期数确定的原则事件的发展有无周期性以周期长度作为移动平均的间隔长度，以消除周期效应的影响对趋势平滑的要求移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑对趋势反映近期变化敏感程度的要求

移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感例4.3某一观察值序列最后4期的观察值为：5，5.5，5.8，6.2（1）使用4期移动平均法预测。（2）求在二期预测值中前面的系数等于多少？例4.3解（1）（2）

在二期预测值中前面的系数等于

指数平滑法指数平滑方法的基本思想在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想

分类简单指数平滑Holt两参数指数平滑简单指数平滑基本公式等价公式经验确定初始值的确定平滑系数的确定一般对于变化缓慢的序列，常取较小的值对于变化迅速的序列，常取较大的值经验表明的值介于0.05至0.3之间，修匀效果比较好。简单指数平滑预测一期预测值二期预测值期预测值所以简单指数平滑只适合做1期预测例4.4已知我国2000-2008年，批发和零售业产值占GDP的比重为（单位：%）：8.2 8.3 8.3 8.2 7.8 7.4 7.3 7.3 7.7使用平滑系数的指数平滑法，预测到2012年批发和零售业产值占GDP的比重。解：4期指数平滑值就等于1期指数平滑值，所以Holt两参数指数平滑使用场合适用于对含有线性趋势的序列进行修匀

构造思想假定序列有一个比较固定的线性趋势

两参数修匀Holt两参数指数平滑预测初始值的确定平滑序列初始值趋势序列的初始值期预测值例4.5对1967-1999年中国纱年产量序列进行Holt两参数指数平滑，并预测未来10年的中国纱年产量：例4.5预测效果图本章结构时间序列的分解1.确定性因素分解2.趋势分析3.季节效应分析4.综合分析5.季节效应在日常生活中，我们可以见到许多有季节效应的时间序列，比如：四季的气温、每个月的商品零售额、某自然景点每季度的旅游人数等等。它们都会呈现出明显的季节变动规律。我们还可以把“季节”广义化，凡是呈现出固定的周期性变化的事件，我们都称它具有“季节”效应。现在“季节”效应已经变成周期效应的代名词。而“季”也变成周期内每一期的代名词。例4.6以北京市1995年——2000年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析的基本思想和具体操作步骤。

季节指数季节指数的概念所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数

季节模型季节指数的计算计算周期内各期平均数计算总平均数计算季节指数季节指数的理解季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应

例4.6季节指数的计算例4.6季节指数图例4.6季节指数的理解本例中，七月份的季节指数最大，这说明7月份是北京最热的月份；1月份的季节指数最小，这说明1月份是北京最冷的月份；最接近于年平均气温的是10月份，这个月的平均气温是13.62℃，和年平均气温的差异只有4.5%由任意两个季节指数，我们可以得到单纯的“季节”变动对事件影响的大小。比如3月份的季节指数为0.551，而6月份的季节指数为1.919，这说明6月份的平均气温一般是3月份的3.48倍，假如明年3月份北京市的平均气温为7℃，那么根据季节效应我们有理由预测在大气环境不发生大的改变的前提下，北京市6月份的平均气温应该在21℃左右。本章结构时间序列的分解1.确定性因素分解2.趋势分析3.季节效应分析4.综合分析5.综合分析常用综合分析模型加法模型乘法模型混合模型例4.7对1993年——2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性时序分析。(1)绘制时序图(2)选择拟合模型对于一个同时受到趋势和季节因素影响的序列，首先要判断趋势和季节之间的相互影响关系。常用的经验如果季节波动的振幅不受到趋势变动的影响，那么季节与趋势之间通常没有交互影响关系，可以认为是可加关系。如果季节波动的振幅随着趋势的变化而变化，那么季节与趋势之间意味着有交互影响关系，可以认为是乘法关系。本例中，周期的振幅随着零售总额趋势的递增而加大，也就是说季节与趋势之间有交互影响关系，可以尝试使用乘积模型或者是混合模型，我们在此使用混合模型（b）(3)计算季节指数月份季节指数月份季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季节指数图(3)拟合趋势拟合图(4)残差检验(5)因素分解拟合综合输出图示非平稳序列的随机分析5.1差分运算本节结构差分运算的实质差分方式的选择过差分差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

例5.1【例5.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取2001年1月——2014年11月中国月度出口额序列中的确定性信息

差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分

从理论上而言，足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息。但应当注意的是，差分运算的阶数并不是越多越好。因为差分运算是一种对信息的提取、加工过程，每次差分都会有信息的损失。在实际应用中差分运算的阶数得适当，应当避免过度差分的现象。例5.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.2ARIMA模型本节结构ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel随机游走模型(randomwalk)模型结构模型使用场合KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？这个醉汉的行走轨迹就是一个随机游走模型。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机游走模型，随机游走模型也是有效市场理论的核心。ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合ARMA模型偏自相关图建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值63.630.60362.390.0223127.860.7262－<0.00011811.030.8552ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式预测值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

预测值等价形式计算预测值预报方差与置信区间广义自相关函数为Green函数为方差为95%置信区间为例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列的预测

疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

一阶差分自相关图偏自相关图建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著季节模型简单季节模型乘积季节模型

简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.00013年期预测效果图乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

差分平稳一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

Auto-Regressive模型结构对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

趋势拟合效果图残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042例5.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验例5.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合残差序列自相关图残差序列偏自相关图模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

异方差直观诊断——残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图异方差直观诊断——残差图递减型异方差综合型异方差异方差直观诊断——残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

例5.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变换5.条件异方差模型6.5.5方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定常用转换函数的确定在实践中，许多金融时间序列都呈现出异方差的性质，而且通常序列的标准差与其水平之间具有某种正比关系，即序列的水平低时，序列的波动范围小，序列的水平高时，序列的波动范围大。对于这种异方差的性质，最简单的假定为转换函数的确定例5.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换对数序列时序图一阶差分后序列图1阶差分后残差平方图白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452本章结构差分运算1.ARIMA模型2.Auto-Regressive模型3.异方差的性质4.方差齐性变化5.条件异方差模型6.5.6条件异方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型条件异方差模型的提出方差齐性变换为异方差序列的精确拟合提供了一个很好的解决方法，但要使用方差齐性变换必须得事先知道异方差函数的形式，而这通常是不可能的。实践中，在进行金融时间序列分析时，由于金融序列的标准差与水平之间通常具有某种正相关关系，所以异方差函数经常被假定为继而导致对数变换在进行金融时间序列分析时被普遍采用。但大量的实践证明这种假定太简单化了,对数变换通常只适用于方差随均值变化而变化的部分序列。异方差的特征千变万化,对数变换并不能将所有的异方差序列转换为方差齐性。本节介绍一种在宏观经济领域和金融领域被广泛采用的异方差处理方法：条件异方差模型。集群效应在宏观经济领域或者是金融领域，