2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）二次根式的应用

二次根式的应用10．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4则S2﹣S1＝（a+b）2﹣a＝[（a+b）+a]•[（a+b）﹣＝（2a+b）•＝b+2ab例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+23根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23，S4﹣S3＝15+23；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；证明见解析；（3）7500+1003．【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab＝2ab+3b当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23；S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab−＝2ab+5b当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+23；故答案为：9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；证明：Sn+1﹣Sn＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]＝[2+（2n﹣1）3]×＝3（2n﹣1）+23＝6n﹣3+23；（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50＝S51﹣S1＝（1+503）2﹣1＝7500+1003．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．二次根式的应用2．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4则S2﹣S1＝（a+b）2﹣a＝[（a+b）+a]•[（a+b）﹣＝（2a+b）•＝b+2ab例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+23根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23，S4﹣S3＝15+23；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．【答案】（1）9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；证明见解析；（3）7500+1003．【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．【解答】解：S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab＝2ab+3b当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23；S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab−＝2ab+5b当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+23；故答案为：9+23；15+23；（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；证明：Sn+1﹣Sn＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]＝[2+（2n﹣1）3]×＝3（2n﹣1）+23＝6n﹣3+23；（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50＝S2﹣