13.3.2等边三角形原卷版

等边三角形知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究等边三角形的定义与性质等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.题型一：等边三角形的性质【例题1】（2022·河北沧州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（）A．105° B．95° C．85° D．75°变式训练【变式1-1】（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2022·湖南永州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论：①AB⊥ED，②EF=FD，③BE=DB，其中正确的是（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【变式1-3】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，和是两个等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，连接，，，下列三个结论：①；②；③点在线段的中垂线上；④；⑤；⑥．其中正确的结论的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-4】（2021·山东九年级期末）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（）A．1 B． C． D．【变式1-5】（2021·江苏八年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．等边三角形的判定等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．题型二：等边三角形的判定【例题2】（2022·四川乐山·八年级期末）如图，在△ABC中，已知D是边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形．变式训练【变式2-1】（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式2-2】（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．【变式2-3】（2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在△中，，，，，与相交于点．(1)求∠BOC的度数；(2)求证：△ABC为等边三角形．【变式2-4】（2019·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）已知:在中,,为的中点,,,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.题型三：等边三角形的判定与性质【例题3】（2019·宁南三峡白鹤滩学校八年级月考）图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论.图1图2变式训练【变式3-1】（2020·雷州市第八中学八年级期末）如图，等腰中，分别为上的点，且，则的度数为（）A． B． C． D．【变式3-2】（2021·广西南宁三中九年级开学考试）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．【变式3-3】（2020·全国八年级课时练习）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.题型四：含30°的直角三角形【例题4】（2021·陕西铜川·八年级期末）如图，在中，AD是边BC的垂直平分线，，，那么AC的长度是________．变式训练【变式4-1】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，，则的长是________．【变式4-2】（2020·辽宁锦州·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，若AD＝4，则BC的长为_____．【变式4-3】（2021·四川成都·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长为___．【变式4-4】（2020·西安市教育局八年级月考）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2.△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【真题2】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【真题3】（2022·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·山东七年级期中）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（