14.2.1乘法公式（一）平方差公式（解析版）

14.2.1平方差公式知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究知识点一：平方差公式平方差公式:题型一：判断能否使用平方差公式【例题1】（2022·山西晋中·七年级期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式是两个数的和乘以这两个数的差判断即可．【详解】解：A.，表示两个数的和相乘，不符合题意；B.，表示两个是的和与这两个数和的相反数相乘，不符合题意；C.，表示两个数的和与这两个数的差相乘，符合题意；D.，表示两个数的差与另外两个数的和相乘，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式的理解，解题关键是熟记平方差公式．变式训练【变式1-1】（2022·湖南怀化·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算．【详解】解：A．，符号都相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；B．前后字母不同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；C．符号相反，的符号相同，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；D．，符号都相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查平方差公式：．应用平方差公式计算时，应注意：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．理解和掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．【变式1-2】（2022·广西崇左·七年级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式逐项判断即可得．【详解】解：A、不能用平方差公式计算，则此项不符合题意；B、不能用平方差公式计算，则此项不符合题意；C、能用平方差公式计算，则此项符合题意；D、不能用平方差公式计算，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键．【变式1-3】（2022·山西运城·七年级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式定义：，即可得到答案．【详解】A、没有同类项，两个二项式没有互为相反数，不合题意；B、，不合题意；C、，不合题意；D、，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查平方差公式的定义和特点，解题的关键是掌握平方差公式的定义和特点．题型二：利用平方差公式计算【例题2】（2022·广东梅州·七年级期末）计算：_________．【答案】##【分析】利用平方差公式计算，即可求解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2022·山东济南·七年级期中）化简（x+3）（x﹣3）的结果是_____．【答案】x2-9．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：原式=x2-9，故答案为：x2-9．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．【变式2-2】（2022·河北保定·八年级期末）________．【答案】##【分析】利用平方差公式计算，即可求解．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式：是解题的关键．【变式2-3】（2022·山东济南·期末）________．【答案】##【分析】运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．题型三：利用平方差公式化简求值【例题3】（2022·江西景德镇·七年级期末）先化简，再求值：．其中，b＝7．【答案】，6【分析】先根据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．【详解】解：(8a2b2−4ab3)÷(4ab)−(2a−b)(2a+b)=2ab−b2−(2a+b)(2a−b)＝2ab−b2−4a2+b2=2ab−4a2，当a=，b=7时，原式=2××7−4×（）2＝7－1=6．【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用．变式训练【变式3-1】（2022·广西崇左·七年级期中）已知，求代数式的值．【答案】【分析】先计算平方差公式、多项式除以单项式，再计算整式的加减，然后将已知等式的值代入计算即可得．【详解】解：原式，∵，∴．【点睛】本题考查了平方差公式、多项式除以单项式以及求值，熟练掌握整式的运算法则和平方差公式是解题关键．【变式3-2】（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校七年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，－4【分析】先将所给代数式依据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可．【详解】原式＝，当时，原式＝－3－1＝－4．【点睛】本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用是关键．【变式3-3】（2022·浙江绍兴·七年级期中）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】根据平方差公式，多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解．【详解】解：原式＝；当时，原式．【点睛】本题考查了整式混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．题型四：利用平方差公式简便运算【例题4】（2021·湖南七年级期中）利用简便方法计算：20192﹣2018×2020．【答案】1【分析】利用平方差公式计算．【详解】20192﹣2018×2020＝20192﹣（2019﹣1）（2019+1）＝20192﹣（20192﹣12）＝20192﹣20192+1＝1．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，关键是把2018×2020表示成两个数和与这两个数的差的积的形式．变式训练【变式4-1】（2021·湖南七年级期中）利用简便方法进行计算（1）（2）【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先将转化为，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将变形为，再运用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查了运算定律与简便运算、四则混合运算、平方差公式．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算．【变式4-2】（2021·湖南）计算：799×801﹣8002＝_____．【答案】-1【分析】先将799×801转化为（800﹣1）×（800+1），再利用平方差公式，即可解答．【详解】解：799×801﹣8002＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002＝8002﹣1﹣8002＝﹣1，故答案为：-1【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【变式4-3】（2021·天津南开翔宇学校九年级月考）计算（3+）（3﹣）的结果等于_____．【答案】7【分析】根据平方差公式进行计算即可求解.【详解】解：（3+）（3﹣），=，=9-2，=7.故答案为：7.【点睛】本题主要考查平方差公式，解决本题的关键是要熟练运用平方差公式进行计算.题型五：平方差公式与图形面积【例题5】（2022·安徽宣城·七年级期中）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中的阴影部分的面积是，图2中阴影部分，请直接用含，的代数式表示，；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式：(3)试利用这个公式计算：【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；（2）根据面积相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．（1）解：s1=，s2=，故答案为：，；（2）解：由题意，得，故答案为：；（3）解：原式=======264-1+1=264．【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．变式训练【变式5-1】（2021·山东七年级期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【详解】解：由图可知，图1的面积为：（x+1）（x-1），图2的面积为：x2-12，所以（x+1）（x-1）=x2-1．故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式5-2】（2022·陕西西安·七年级期中）小芳同学将一块长为（3a＋3b）分米，宽为（3a＋b）分米的长方形纸板的四个角都剪去一个边长为b分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子作为收纳盒．(1)用含a、b的代数式表示收纳盒的容积；(2)若a＝1，b＝0.5，求收纳盒的容积．【答案】(1)立方分米(2)4.375立方分米【分析】（1）含a、b的代数式表示出收纳盒的长、宽、高，再相乘即可求出容积；（2）将a＝1，b＝0.5代入（1）中结论即可．（1）解：收纳盒的长为3a＋3b－b－b＝3a＋b，宽为3a＋b－b－b＝3a－b，高为b，收纳盒的容积为：立方分米．（2）解：当a＝1，b＝0.5时，（立方分米），故收纳盒的容积为4.375立方分米．【点睛】本题考查代数式的实际应用，观察所给图形，用含a、b的代数式表示出收纳盒的长、宽、高是解题的关键．【变式5-3】（2021·全国八年级专题练习）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4a+4【答案】C【分析】根据图形中各个部分的面积之间的关系得出答案.【详解】如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选：C．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出答案关键．题型六：平方差公式应用【例题6】（2021·湖北宜昌·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定【答案】C【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为所以面积变小了，故选C．【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．变式训练【变式6-1】（2021·广东）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么：（1+2i）（1﹣2i）＝___．【答案】5【分析】直接利用平方差公式将原式变形，再利用新定义把i2=-1代入得出答案．【详解】解：（1+2i）（1-2i）=1-4i2=1-4×（-1）=1+4=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了新定义运算，正确运用平方差公式是解题关键．【变式6-2】（2021·广东七年级期中）一个长方体文具盒，长、宽、高如图所示（单位：cm），该文具盒的体积是________．【答案】（a2-16）【分析】根据长方体的体积公式以及平方差公式，直接求解，即可．【详解】解：根据题意得：文具盒的体积=（a+4）（a-4）×1=（a2-16）（），故答案是：（a2-16）【点睛】本题主要考查整式运算的应用，掌握平方差公式，是解题的关键．【变式6-3】（2021·全国七年级课时练习）如果与的乘积为15，那么的值为__．【答案】4【分析】根据题意列出等式，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【详解】解；与的乘积为15，，，即，解得：（负数舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查了平方差公式，能求出（m2+n2）2=16是解此题的关键．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（

）A．13 B．8 C．－3 D．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵∴∴故选：A．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．【真题2】（2022·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2【答案】C【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；B、（﹣3x）2=9x2原计算错误，该选项不符合题意；C、3y•2x2y=6x2y2正确，该选项符合题意；D、（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．（2020·浙江杭州·中考真题）（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2【答案】C【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．【详解】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故选：C．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．【真题4】（2022·广西·中考真题）先化简，再求值，其中．【答案】x2-2y，0【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．【详解】解：=x2-y2+y2-2y=x2-2y当x=1，y=时，原式=12-2×=0．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．【真题5】（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；2【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．【详解】当时，原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2021·青岛经济技术开发区第四中学七年级月考）观察：已知．…（1）猜想：；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①；②；（3）拓广：①；②判断的值的个位数是几？并说明你的理由．【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②个位上数字是7，理由见解析．【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可；（2）①令，代入上面规律计算即可；（2）②将式子变形为：，计算即可；（3）①提取，将原式变形为：，按照规律计算即可；（3）②由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果．【详解】解：（1）（2）①==②==（3）①===②==∵…结果是以2、4、8、6循环∴∴的个位数字为8，∴的个位数字为7【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键．【拓展2】（2021·陕西省西咸新区秦汉中学八年级开学考试）乘法公式的探究及应用．（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差形式）．（2）若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（如图②），面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得到乘法公式（用式子表示）．（4）运用你所得到的公式，计算下列各题；①（n+1﹣m）（n+1+m）；②1003×997．【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①n2+2n+1﹣m2；②999991．【分析】（1）阴影部分的面积等于大小正方形的面积差，用代数式表示大小正方形的面积即可；（2）拼成的是长为，宽为的长方形，因此面积为；（3）由（1）（2）