考点 圆锥曲线的综合应用数学（理）个黄金考点精析精训

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2018届高三30个黄金考点精析精训考点25圆锥曲线的综合应用【考点剖析】1。最新考试说明：（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。(3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.(4）了解圆锥曲线的简单应用.（5)理解数形结合的思想.2。命题方向预测：直线与圆锥曲线的综合考查,主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力．同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目。预测本节内容仍是2018年高考的热点之一,题型仍以解答题为主,难度可能会偏难．内容会围绕直线与圆锥曲线的位置关系，展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查．设计出探究性、存在性问题也属正常．分值12～16分．会更加注重知识间的联系与综合，更加注重对综合应用知识解决问题的能力的考查，更加注重对数学思想方法尤其是函数思想、数形结合思想及分类讨论思想的考查。3。名师二级结论:一种方法点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．直线与椭圆的相交弦长问题:弦长公式:设直线与椭圆有两个公共点SKIPIF1〈0则弦长公式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0．直线与抛物线的相交弦长问题：已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线交抛物线于A、B两点.设A（x1，y1),B（x2,y2），则：①焦点弦长SKIPIF1〈0②SKIPIF1〈0③SKIPIF1<0,其中|AF|叫做焦半径，SKIPIF1〈0④焦点弦长最小值为2p.根据SKIPIF1〈0时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1）重视定义在解题中的作用；（2)重视平面几何知识在解题中的作用;（3）重视根与系数的关系在解题中的作用；（4）重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．求参数的取值范围根据已知条件建立等式或不等关系,再求参数的取值范围．4.考点交汇展示：(1）与基本不等式的应用交汇已知是抛物线的焦点，点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是(）A．B．C．D．【答案】B【解析】据题意得，设，则,或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.（2）与解三角形交汇设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1〈0的两个焦点,SKIPIF1〈0为椭圆上任意一点，当SKIPIF1<0取最大值时的余弦值为SKIPIF1<0．则（Ⅰ）椭圆的离心率为;（Ⅱ)若椭圆上存在一点SKIPIF1〈0，使SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为坐标原点)，且SKIPIF1<0,则SKIPIF1〈0的值为．【答案】SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0(3）与平面向量交汇过双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1〈0的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A,B两点，若SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0，则双曲线的离心率为(）A.SKIPIF1<0B。SKIPIF1〈0C。2 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1〈0∴SKIPIF1〈0，又∵SKIPIF1〈0∴点B为FA的中点,∴可得SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0∴SKIPIF1〈0∴双曲线的离心率为：SKIPIF1〈0.【考点分类】热点一直线与圆锥曲线的位置关系1.【2016高考四川文科】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.（Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为EQ\F(1,2)的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D,证明：．【答案】（1）；（2)证明详见解析。【解析】（=1\*ROMANI）由已知，a=2b.又椭圆过点,故，解得。所以椭圆E的方程是.（=2\＊ROMANII）设直线l的方程为，，由方程组得，①方程①的判别式为，由，即,解得.由①得.所以M点坐标为，直线OM方程为，由方程组得。所以。又。所以.2。如图,曲线SKIPIF1〈0由上半椭圆SKIPIF1〈0和部分抛物线SKIPIF1<0连接而成，SKIPIF1<0的公共点为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1〈0。求SKIPIF1〈0的值；过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1〈0（均异于点SKIPIF1〈0),若SKIPIF1〈0,求直线SKIPIF1〈0的方程.【答案】（1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;（2)SKIPIF1〈0（2）由（1)知，上半椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1〈0，SKIPIF1〈0易知，直线SKIPIF1〈0与SKIPIF1<0轴不重合也不垂直，设其方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0的方程中，整理得:SKIPIF1<0（*）设点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0由韦达定理得SKIPIF1〈0又SKIPIF1〈0，得SKIPIF1〈0，从而求得SKIPIF1〈0所以点SKIPIF1〈0的坐标为SKIPIF1<0同理，由SKIPIF1〈0得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1〈0SKIPIF1〈0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1〈0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1〈0，解得SKIPIF1<0经检验,SKIPIF1<0符合题意，故直线SKIPIF1〈0的方程为SKIPIF1〈0。【方法总结】1。直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求"的技巧．研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，要注意消元后方程的二次项系数是否含参,若含参需讨论，同时充分利用根与系数的关系进行整体运算变形．有时对于选择，填空题,也常利用几何条件,利用数形结合的方法求解．2。涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题．若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率．比较两种方法，用“点差法”计算量较小,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验．热点二轨迹问题1.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；(2）设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】（1）。(2)证明略。【解析】（2)由题意知。设,则，。由得,又由(1）知，故。所以,即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。2。【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(=2\＊ROMANII）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ）（）（=2\＊ROMANII）【解析】试题分析:根据可知轨迹为椭圆，利用椭圆定义求方程；(=2\＊ROMANII）分斜率是否存在设出直线方程，当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数，再求最值。(Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为，,.由得。则，.所以。过点且与垂直的直线:，到的距离为,所以。故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为，，，四边形的面积为12。综上,四边形面积的取值范围为。【方法总结】求轨迹方程的常用方法（1)直接法:直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0;（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;（4）代入转移法：动点P(x，y）依赖于另一动点Q(x0,y0）的变化而变化,并且Q（x0,y0）又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；热点三最值与范围问题1。【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S。（1）求椭圆C的方程。（2）试判断是否为定值?若是,求出这个值；若不是，请说明理由?（3）求S的范围.【答案】（1)(2）5(3)【解析】试题分析：根据椭圆：的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求出椭圆的方程。设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，根据、、恰好构成等比数列,求出，进而表示出，即可得出结论.表示出的面积，利用基本不等式，即可求出的范围。解析：（1)由题意可知,且，所以椭圆的方程为

（2）依题意，直线斜率存在且，设直线的方程为（），、由，因为、、恰好构成等比数列，所以，即；所以

此时得,且（否则:，则,中至少有一个为,直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）

所以；所以所以是定值为5;

(3）（，且）所以

2。【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图,已知抛物线x2=y，过直线l:y=-1（I)求证:MA⊥（II）求△MAB【答案】（1）见解析（2）ΔMAB面积取最小值1试题解析：（I）设Mx0,-1过点M的切线方程为y由y+1所以k1k（II）由（I）得Ak1MA=1+所以S=综上，当x0=0时，ΔMAB面积取最小值【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法（1）圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2）求最值常见的解法有两种:①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值．热点四定值和定点问题1.【2016年高考北京理数】已知椭圆C：（)的离心率为,,，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值。【答案】（1）;（2）详见解析.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为。(2）由（Ⅰ）知，，设，则.当时,直线的方程为。令，得.从而。直线的方程为.令,得。从而.所以.当时,，所以。综上，为定值。2.【2017课标1,理20】已知椭圆C：SKIPIF1<0（a〉b〉0)，四点P1（1,1）,P2（0,1)，P3(–1，SKIPIF1<0），P4（1，SKIPIF1<0)中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明:l过定点.【解析】试题解析:（1）由于SKIPIF1〈0,SKIPIF1<0两点关于y轴对称，故由题设知C经过SKIPIF1〈0，SKIPIF1<0两点。又由SKIPIF1〈0知,C不经过点P1，所以点P2在C上。因此SKIPIF1〈0，解得SKIPIF1<0。故C的方程为SKIPIF1<0.【方法总结】1．求定值问题常见的方法有两种(1）从特殊入手,求出定值，再证明这个值与变量无关．（2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b,然后利用条件建立b、k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点．（2)从特殊情况入手,先探求定点，再证明与变量无关．热点五探索性问题1。【2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系中，点,圆，以动点为圆心的圆经过点,且圆与圆内切。（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点,则在轴上是否存在一点，使得轴平分?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）（2）在轴上存在一点，使得轴平分。【解析】试题分析：（1)根据两圆内切得，再根据椭圆定义得动点的轨迹的方程;（2）轴平分，就是直线的斜率相反，设直线，根据斜率坐标公式得,将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得，即得试题解析：解：（Ⅰ）圆的方程可化为：，故圆心，半径，而，所以点在圆内。又由已知得圆的半径，由圆与圆内切可得，圆内切于圆,即,所以,故点的轨迹,即曲线是以为焦点,长轴长为的椭圆。显然，所以，故曲线的方程为(Ⅱ）设，当直线的斜率不为时，设直线，代入得：,恒成立。由根与系数的关系可得,，设直线的斜率分别为，则由得,.∴，将代入得,因此,故存在满足题意。当直线的斜率为时,直线为轴，取，满足，综上，在轴上存在一点，使得轴平分。2.【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知点在椭圆内，过的直线与椭圆相交于A，B两点，且点是线段AB的中点,O为坐标原点．（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补?若存在，求出的值,若不存在,试说明理由；（Ⅱ）求面积S的最大值．【答案】(Ⅰ)存在;(Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出直线方程为，代入椭圆方程得关于的一元二次方程，设，则可得，利用可建立的关系,即，上面的一元二次方程有两个不等实根，即判别式，由此可得的范围．注意特殊情形的讨论，最后由直线和直线的倾斜角互补，即斜率和为0可求得,若不能求出，说明不存在）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）得直线方程为,关键是由表示出，，这是的函数，可函数知识易求最值.试题解析:（Ⅰ）存在.由题意直线的斜率必存在，设直线的方程是代入得：.(1）设，，则,即，解得：,此时方程(1)即由解得，，（或由解得,)当时，显然不符合题意；当时,设直线的斜率为,只需，即，解得，均符合题意。(Ⅱ)由(1）知的方程是,所以，,因为，所以当时，。【方法总结】化解探索性问题的方法(1)先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾,则否定了存在性．若证明某结论不存在，也可以采用反证法．(2）根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明就是由特殊到一般的指导思想．【热点预测】1。【2016高考新课标Ⅲ文数】已知为坐标原点,是椭圆:的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为（）（A） （B） （C） (D）【答案】A2。【2016高考天津】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由题意得,选A。3.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为（）（A）（B）（C)（D）【答案】D【解析】根据对称性,不妨设A在第一象限，,∴,∴，故双曲线的方程为，故选D.4。【2017届河北省石家庄市二模】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，,则的最小值是（)A。B。C.D。【答案】C【解析】，∴点的轨迹为以为以点为圆心,1为半径的圆，，越小，越小，结合图形知,当点为椭圆的右顶点时，取最小值最小值是故选：C．5.【2018届广西钦州市高三上学期第一次检测】抛物线y2=4x的焦点为F，点Px,y为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则A。12B。22C.3【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1,A（﹣1,0）,过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA,当PA是抛物线的切线时，PFPA设在PA的方程为：y=k（x+1），所以y=k（解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，PFPA=cos∠NPA=2故选B．6.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线(）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为()A。B.C。D.1【答案】A【解析】由题意可得,设,则,可得．当且仅当时取得等号,选A。7.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考（五）】已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l，抛物线的对称轴与准线交于点Q，P为抛物线上的动点，|PF|=m|A。3-22B。2-2C.3-【答案】D【解析】由已知，F(0，  1)，  Q(0，  -1)，过点P作PM垂直于准线，则PM=PF．记∠PQM=α,则m=|PF||PQ|=8.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校联考】已知是抛物线的焦点，过的直线与直线垂直，且直线与抛物线交于，两点,则__________．【答案】9。【2017届山西省太原市高三三模】已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点,若直线与圆相切,则直线与的交点的轨迹方程为__________.【答案】【解析】设直线AC，BD的斜率分别为，则直线AC,BD的方程分别为：，据此可得：,则：，直线CD的方程为：,整理可得：直线与圆相切,则:，据此可得：，由于：,两式相乘可得：即直线与的交点的轨迹方程为。10。【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆x2a2+y2b2=1(（1）求椭圆的方程；(2）是否存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为ΔPQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点)?若l存在，求出直线l的方程；若【答案】（1）x22【解析】试题分析：（1）由题意可求得b=1，a=2b=2(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程,结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为3x-3试题解析：(1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1,a=2故椭圆方程为x（2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（x1,y1)，Q（x2因为M（0,1），F（1，0),故kMF=-1于是设直线l的方程为y由y=x由题意知△＞0,即m2＜3，且由题意应有MP⋅FQ故22×解得m=-4经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m当m=-43综上,存在直线l，且直线l的方程为311。【江苏省苏州市2017届高三暑假自主测试】已知抛物线C的方程为，点在抛物线C上．（1)求抛物线C的方程;（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交直线于M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．【答案】（1）(2）【解析】（1)将代入抛物线中，可得,所以抛物线方程为……3分（2）设所在直线方程为，与抛物线联立得：，所以 ……5分设：，由得，而可得，同理 所以……8分 令,则 所以此时,所在直线方程为： ……10分12。【2017届宁夏石嘴山一中高三第二次模拟】已知椭圆C：x24+y2=1,斜率为32（1)设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；（2）设F1、F2为椭圆C的左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足PF【答案】（1）x+23y=0【解析】试题分析：(1)设出点的坐标,结合中点坐标公式和题意可得动点M的轨迹方程