2024年高考数学一轮复习讲练测：集合（讲义）

第01讲集合

目录

考点要求考题统计考情分析

高考对集合的考查相对稳定，考查内

容、频率、题型、难度均变化不大.重

点是集合间的基本运算，主要考查集合

2022年I卷H卷第1题，5分

的交、并、补运算，常与一元二次不等

(1)集合的概念与表示2021年I卷II卷第1题，5分

式解法、一元一次不等式解法、分式不

(2)集合的基本关系2020年I卷H卷第1题，5分

等式解法、指数、对数不等式解法结合.

(3)集合的基本运算

同时适当关注集合与充要条件相结合

的解题方法.

集合

夯基•必备基础知识梳理

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：e和-

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5},可知1GA，在该集合中，6走A，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合■4={。,"。}应满足4工人二0

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号汽『’括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖

线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合8中的元

素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集，记作（或8卫4），读作“A包含

于8”（或“5包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合AqB，但存在元素xeB，且x走A，我们称集合A是集合5

的真子集，记作（或.读作“A真包含于8”或“B真包含A”•

（3）相等：如果集合A是集合8的子集（A=且集合8是集合A的子集（BqA），此时，集合4

与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=a

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本运算

（1）交集:一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作AB，

即A8={k|xeA,月/e8}•

(2)并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集，记作AlB，

即A8={x|xeA,或xeB}•

(3)补集：对于一个集合A，由全集0中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集

U的补集，简称为集合A的补集，记作C〃A，即C“A={x|xeU,.且rem.

4、集合的运算性质

⑴AcA=A，An0=0'AoB=Br>A-

⑵ADA=A，AU0=A，A<JB=B<JA-

(3)Ac(C04)=0,A3gA)=U,Cv(Ct,A)=A.

【解题方法总结】

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真

子集有2"-2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

(3)AcA3=A=AB=B<=>C(BcQ,A-

(4)C“(AB)=(Cb.A),(Q,B),Q(AiB)=(QA)(Cb.B)■

一提升・必考题型归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.(2023•广东江门•统考一模)已知集合A={-1,0,1},8={训/-leAm-leA}，则集合B中所

有元素之和为()

A.0B.1C.-1D.0

【答案】C

【解析】根据条件分别令苏7=_1,0,1，解得相=0,±1,土血，

乂机―1eA,所以〃?=-1,+>/2'3={-1,>/2,—',

所以集合B中所有元素之和是t,

故选：C.

例2.(2023•江苏•高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合

但x=a+〃,aeA力eB}记作A*B.若集合A={0,l},8={0,-l}，则4*B中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A={0,l},B={0,-l}.则A*B={0,-l,l},则A*3中元素的个数为3

故选：C

例3.（2023•全国•高三专题练习）定义集合4+8={x+），keA且yeB}.已知集合人={2,4,6}，

8={—1,1},则A+3中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根据题意，因为A={2,4,6}，8={-1,1}，

所以A+3={1,3,5,7}.

故选：C.

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合M={2机-1,^-3},若-3wM，则实数〃?=（）

A.0B._[C.0或7D.0或1

【答案】C

【解析】设集合M=—m-3}，若一3eM，

■_-3eM'2/M-I=-3/n-3=-3>

当2加—1=一3时,m=一1，此时例={-3,-4};

当根一3=—3时,m=0,此时M={-3,—1};

所以加=7或0.

故选：C

例5.（2023•江西•金溪一中校联考模拟预测）已知集合4={1,〃,.，B={a2,a,ah}，若A=8,则

产+/022=（）

A.TB.0C.1D.2

【答案】A

【解析】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到I/=1或,,又根据集合互异性，可知

[ab=b[ab=\

解得4=1（舍），（“"I和F=l（舍），所以。=一1，〃=0,则*3+产2=（_i严3+o2O22=_i,

H=°=i

故选：A

例6,（2023•北京东城•统考一模）已知集合4={才/—2v0}，且awA，则〃可以为（）

A.-2B.-1C.2D.后

【答案】B

【解析】"""X2-2<0,->/2<x<>/2,A-^x\-\[2<x<>/2^<

可知一2eA」比A,0eA，故A、C、D错误；_iwA，故B正确.

2

故选：B

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

题型三：元素与集合间的关系

例7.（2023•河南•开封高中校考模拟预测）已知A={xid—⑪+]<0},若2W且3史A，贝U〃的

取值范围是（）

A（5）口（510]「「510、（101

A.-,+ocB.—C.—Dn.-00,—

（2Jl23J[23）I3」

【答案】B

【解析】由题意,22-2«+1<0^-32-3«+1>01

解得3<心12,

23

故选：B

例8.（2023•吉林延边•统考二模）已知集合4={r加令+2=0}的元素只有一个，则实数。的值为（）

9

Oc.2或o

A.8-B.D.无解

8

【解析】集合A有一个兀素，即方程4-3x+2=0有一解，

当4=0时,人=卜辰2一31+2=（）}=3-3犬+2=0}={g},符合题意’

当4工0时，加-3%+2=0有一解，

则A=9-8a=0，解得：a=->

8

综上可得：a=o或〃=2,

8

故选：C.

例9.（2023•全国•高三专题练习）己知集合4=“苍y）t+]vi,xeZ,yez],则A中元素的个数

为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得-242,-应<y<>/2>

又xeZ,yeZ,

所以集合人=｛（一2,（）1（2,0）,（TO）,（1。,（（）,1）,（0,-1卜（（）,（））,（Tl）,（T-l）,（1,1）,（1,-1）｝

共有H个元素.

故选：C

【解题方法总结】

1>一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

题型四：集合与集合之间的关系

例10.（多选题）（2023•山东潍坊•统考一模）若非空集合M,N,尸满足：McN=N,M5=P，则

（）

A.PqMB.MfP=M

C.N2P=PD.McbpN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：N=M，山M_P=P，可得M=则推不出P=M，故选项A错误；

由M=P可得AfP=M，故选项B正确；

因为N=M且M=所以NqP，则NuP=P，故选项C正确；

由N=M可得：Med。代不一定为空集，故选项D错误；

故选：BC

例U.（2023•江苏•统考一模）设M=卜卜=*4ez1,N=卜x=%+g,kez）,则（）

A.M\jNB.NUMC.M=ND.McN=0

【答案】B

【解析】因为x=/+g=g（2Z+l），因为AGZ，

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合M是由所有整数的一半组成，故NUM.

故选：B

例12.（2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测）已知集合4=卜|%2-》-1240｝，

|x|X2-3//ZX+2m2+m—\<0｝>若"xwA''是"xe8”的必要不充分条件,则实数，"的取值范围为（）

A-[-3,2]B,[-1,3]C,-1,|D.2,|

【答案】C

【解析】由题意集合A={x|x2-x-1240}=[—3,4],

B|x2-3mx+2m2+/w—1<0}={x|(x—/«—l)(x—2w+l)<0}>

"m>2，则，此时B=+，

因为“xeA”是"xe8”的必要不充分条件，故5$A，

2m-1<4

故”"?+12—3,2<〃？4*;

2

m>2

行〃2V2，则2/n—1v/72+1，此时3=(2w—1,加+1)，

因为“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，故

w+1<4

故,2m-1>—3,-1</n<2：

m<2

若m=2,则2加一1=加+1，此时3=0，满足3)A，

综合以上可得加”,|

故选：c

例13.(2023•广东茂名•统考二模)已知集合4=卜料41},B={x\2x-a<0},若则实数a

的取值范围是()

A.(2,+00)B.[2,+oo)C.(-oo,2)D.(-co,2]

【答案】A

【解析】集合A={x"j41}={x|—14x41}，B=|XL<4.

要使AuB，只需1<@，解得：a>2.

一2

故选：A

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14.(2023•广东广州•统考二模)已知集合4=上卜=3”-2,〃€1>}*},B={6,7,10,11},则集合Ac3

的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为4=,卜=3〃-2,"€底}，8={6,7,10,11},则AnB={7,10},

故集合AcB的元素个数为2・

故选：B.

例15.(2023•河北张家口•统考二模)已知集合人={刈"-2)(4_力>0},8止>0卜则

(瘠4)5*)=()

A.(2,3)B.[3,4]C.(-8,2卜[3,+8)D.(-8,3卜[4,+8)

【答案】C

【解析】A={x|(x-2)(4-x)>0}={x[2<x<4},8={x|y^—>o]={x|x<3}，

即A=(2,4),B=(-oo,3),

所以，\A=(-8,2]34,+e),\B=[3,+8),

所以，僭4)U(RB)=(-8,2]33,+8).

故选：C.

例16.(2023•广东•统考一模)己知集合用={川*(*-2)<0},'={川*-1<0},则下列Venn图中阴

【答案】B

【解析】x(x-2)<0n0<x<2,x-l<0nx<l,

选项A中Venn图中阴影部分表示MN=（O,l），不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示&（MN）=[l,2）,符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示金（M0%）=（70,0]，不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示MN=（-oo,2）,不符合题意，

故选：B

例17.（2023•全国•高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：

看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之

歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看

了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和

《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和

《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人,则没有观看任何一支短视频的人数为.

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为A,B,C,依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有21_4-6-3=8（人），

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看「《建党伟业》的有23-4-7-3=9（人），

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10（人），

因此，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47（人），

所以没有观看任何一支短视频的人数为50-47=3.

故答案为：3

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例18.（2023•全国•高三专题练习）设集合X={《吗吗吗}项N*，定义：集合

Y={q+at\ai,aieX,i,jeN\i力/}，集合S={x-ey},集合T=（2ewy卜分别用|S|,

|T|表示集合S,T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）

A.|S|=6B.151=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】不妨设14ale生<%<为,则q+勺的值为4+生，4+%吗+%，/+4吗+4，

显然，4+%v4+/<4+&<%+4v4+4，所以集合y中至少有以上5个元素，

不妨设％=4+a2,x2=4+a3,Xy-at+（z4,x4=a2+a4,x5-a3+aA，

XRXJC

则显然不々<<XjX4<x,x5<,5<x,x5<x4x5>则集合S中至少有7个兀素，

所以|S|=6不可能，故排除A选项；

其次，若4+4二生+/，则集合丫中至多有6个元素，则|5|皿=或=15<16,故排除B项；

对于集合7,取*={1,3,5,7}，则丫={4,6,8,10,12},此时7=也.22，"黑，2,"话提，嗅，31，

［35235453643252J

|T|=16.故D项正确：

对于C选项而言，尸为，则三与2一定成对出现，%—I生—1<0,所以|T|•定是偶

XJxtH人士）

数，故C项错误.

故选：D.

例19.（2023•全国•模拟预测）已知集合4B满足A|J8={1,2,3},若AWB，且［A&8］，［B&4］

表示两个不同的“4B互衬对“，则满足题意的“A8互衬对”个数为（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】当.=0时,集合B可以为{1,2,3};

当4={1}时,集合8可以为{2,3},{1,2,3};

当4={2}时,集合8可以为{1,3},{1,2,3};

当4={3}时,集合B可以为{1,2},{1,2,3};

当4={1,2}时,集合8可以为⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3}:

当4={1,3}时,集合8可以为⑵,{1,2},{2,3},{1,2,3};

当4={2,3}时，集合B可以为⑴,{1,2},{1,3},{1,2,3}:

当-={1,2,3}时，集合8可以为A{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“A8互衬对”个数为27.

故选：C

例20.（2023•北京•中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足:①AgN，②Vx,yeA,x工y,

必有|x-y|22,③集合A中所有元素之和为100,则集合A中元素个数最多为（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】对于条件①A=N，②必有卜-乂22,

若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}.集合中有11个

元素，

X0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>l（X）,（）+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90<l（X）

则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中兀素个数最多不能超过1。个，

故若要集合A满足：①A=N，②必有|x-y|22,③集合A中所有元素之和为100,

最多有10个元素，

例如A={0,2,4,6,8,10,12,15,18,25}.

故选：B.

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

题型七：集合的创新定义

例21.（2023•全国•校联考模拟预测）对于集合A8,定义4-8={x|xeA,且x/邛.若

A={x|x=2上+1,&WN},8={x|x=3A+l,keN},将集合A-B中的元素从小到大排列得到数列{““}，则

%+%）=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因为A={1,3,5,7,9,11,},B={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以A—3={3,5,9/1,15,.}，所以%=21.A―3，相当十集合A中除去x=6〃—5（〃eN*）形式的数,其

前45项包含了15个这样的数，所以/。=89.

则％+aM=110>

故选：C.

例22.（多选题）（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19

世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金

分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2（X）0

多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集。划分为两个非空的子集M与M且满

足MuN=Q,McN=0，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割•试

判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x|x<（）},N={xk>（）}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.例有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【解析】对于A,因为M={xk<0},N={x|x>0},MUN={X|XHO}WQ，故A错误；

对于B,若加="€。次<0}”={》6。次20},则满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N有一个最小元素0,故B正确；

对于C,若M有-一个最大元素，设为a,N有一个最小元素，设为6,则a<6，

则M={xeQ|x4a},N={xeQ\x>b^,而（_a,b）内也有有理数，

则MiN#Q，故C错误；

对于D,若M斗eQ|x<码，N={xeQ\x>>/2\'

则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，

故选：BD

例23.（2023•湖北•统考二模）已知X为包含v个元素的集合（peN*，v>3）.设A为由X的一些

三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一

的一个三元子集中，则称（X,4）组成一个v阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则

集合A中元素的个数为.

【答案】7

【解析】由题设，令集合X={a,b,c,d,e,fg},共有7个元素,

所以X的三元子集，如下共有35个：

{a,b,c}-{a,b,d}>[a,b,e}>[a,b,f}-{a,b,g）>[a,c,d]>{a,c,e}、{a,c,f}>{a,c,g}、{a,d,e}、[a,d,f}>

{a,d,g]>{a,e,f]>[a,e,g)-{a,f,g}>{b,c,d}>{b,c,e)-{b,c,f}>[b,c,g}-{b,d,e)>{b,d,f}>{/?,”,g}、

{b,e,f}>{b,e,g}>[b,f,g)>[c,d,e}>{c,</,/}>[c,d,g)>{c,e,f}>{c,e,g}>[c,f,g}>{d,e,f}>[d,e,g]>

因为月中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以月中元

素满足要求的有:

{a,b,c]>{a,d,e}、{a/g}、也d,f\、{A,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7个;

{a,b,c}>{〃，"、{a，e,g}、{b,d,e}>{bj,g}、{c,d,g}、[c,e,f],共有7个;

{a,b,c}>{a,d,g}、{b,d,e]>{h,f,g].[c,d,f]，[c,e,g),共有7个;

{a,b,d}>{a,c,e}、{b,c,f}，{b,e,g}>[c,d,g)，{d,e,f},共有7个;

{a,b,d}>{a,c,g}>{a,e,f}>{b,c,e}>gJ，g}、{c,d,f}>[d,e,g}>共有7个

{a,b,d}>{a,c,f}>[a,e,g]