高考数学全真模拟冲刺试卷及答案

高考数学全真模拟冲刺试卷

第I卷（选择题共60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知集合用=｛。,0｝,N=｛%,2-3%<0,》62｝,若MCNH。，则。等于（）

A.1B.2C.1或2D8

2.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”,

那么函数解析式为y=/,值域为｛1,4｝的“同族函数”共有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个

3.数列｛风｝中，％=2，%=】，且数列・丁\•是等差数列，则等于（）

212

A.B.—C.—D.5

523

4.把函数y=cosx-JJsinx的图象沿向量。=（一〃?,/"）（加>0）的方向平移后，所得的图

象关于y轴对称，则m的最小值是（）

71„71C2万r57

A.—B.—C.---D.—

6336

5、。是平面上一定点，A,B、C是平面上不共线的三个点，动点。满点

OP=OA+〃尸产一+尸产一）,几6[0,+8）,,则P点的轨迹一定通过A46C的

AflcosfiAGcosC

A.重心B.垂心C.内心D.外心（）

6.过点（一4,0）作直线/与圆/+y+2》—4y—20=0交于A、B两点，如果|A8|=8,

则（）

A./的方程为5x+12y+20=0或x+4=0;

B./的方程为5x-12y+20=0或x:+4=0；

C.2的方程为5x+12y+20=0；

D./的方程为5x—12y+20=0；

22

7.F,>F2是双曲线日一一二=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点B的距离等于9,

则点P到焦点F2的距离为()

B.17C.1或17D.6

------7

2

8.已知复数Z1=a+i,z2=l+ai,若」是实数，则实数a的值等于

B.-1C.-2

10.条件中能使命题“a〃b且"/c=a〃c”为真命题的条件的个数是()

①a,b,c都表示直线；②a,b,c中有两个表示直线，另一个表示平面；

③a,b,c都表示平面；④a,b,c中有两个表示平面，另一个表示直线；

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数①

y=/(X)的部分图像，则/(X)可能是()八

A.xsinxB.xcosx八

C.X2cosxD.x2sinxUIVH

12.一机器猫每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器猫以

前进3步，然后再后退2步的规律移动。如果将此机器猫放在数轴的原点，面向正方向，以

1步的距离为1单位长移动。令P(n)表示第n秒时机器猫所在位置的坐标，且P(0)=0,

则下列结论中错误的是()

A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(101)=21D.P(101)>P(104)

第II卷(非选择题共120分)

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.

13.在平面直角坐标系中，x轴的正半轴上有2006个点，y轴的正半轴上有2007个点，这

4013个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有个.(用式

子作答)

14.若不等式J4x—炉>公的解集为{卅0<%44},则实数的取值范围是

211

15.若年+1卜一2)“=a°+aj(x-l)+a2(x-l)H--Faj^x-l),则

+3a3+,,,+1laH)—(2a2+4a4+,,,+10a10=(用数字作答).

16.对于直角坐标平面内的任意两点A(F，M)、B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:

|A@=%一引十回一%|。给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则

|Aq+|C@=MM②在AABC中，若NC=90°,则|AC|「+|C叫之=慎.『③在4ABC中

MI+WI>IM-其中真命题的是

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本题12分)在AABC中，已知角4,B,C所对的三条边分别是mb,c,且满足从=

ac.

(1)求角B取值范围；(2)求函数y=1+sin23的取值范围.

'sinB+cosB

18.(本题12分)小张有一只放有a个红球，b个黄球，c个白球的箱子，且a+b+c=6(a,b,

cwN),小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任

取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.

(1)用a、b、c表示小张胜的概率；

(2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求

小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.

19.(本题12分)设函数/(x)=ax?+Zzx+c,其中aeN+，〃eN,ceZ.

(1)若匕>勿，且函数/(sinx)(xeR)的最大值为2,最小值为一4,求/(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下设函数g(x)=-/(x)+7x—2在同〃］上的值域是［―5,4］,试求

加2+〃2的取值范围.

20.（本题12分）直四棱柱ABCD-A\B\C\D］中，底面ABCD是边长为a的菱形，且

ZABC=60,侧棱AAi长等于3m。为底面A8CD对角线的交点.

（1）求证：04〃平面BCG；

（2）求异面直线AC与A1所成的角；

（3）在棱A4|上取一点凡问4尸为何值时，Ci八L平面8。尸?

21.（本题12分）已知双曲线M：/一9=1，直线/与双曲线M的实轴不

垂直，且依次交直线）=x、双曲线V、直线y=-x于A、B、C、D四点，。

为坐标原点.

(1)若ABBC=CD,求△4。。的面积;

⑵若△BOC的面积等于△AOD面积的;，求证：

AB=BC=CD.

22.(本题14分)已知数列｛4｝满足>0,且对一切“6N+,有自al=S?,其中S”=£

Qi,

(1)求证：对一切〃£N+,有i-an+i=2Sn；

(2)求数列｛4｝的通项公式；

⑶求证:£*<3。

答案

一、选择题

1、答案C。由集合N中的不等式得0<x<3,又由于xeZ,故7={1,2},所以a=l或2

2、答案C。分别令x2=l和4得*=±1和±2。要使得值域为{1,4},定义域必含±1中的至

少一个和±2中的至少一个。所以组合起来有如下9种：{1,2},

{1,-2}{-1,2}{-1,-2){1,-1,2}{1-1-2}{1,2,-2}{-1,2,-2){-1,1,-2,2}

1______

3、答案B。数列」」一的公差为&+I,所以=-J—+4x=2,

%+17—324q]+1%+1243

因此4」

4、答案C。y=cosx-V3sinx=2cos(x+y),按a平移得y=2cos(x+机+5)+m，

TT7T27r

令m+—=k兀，得加=kr,当k=l时m取得最小正值——。

333

AR

5、答案Bo由结构j二一.想到向量的数量积，原式即为

AqcosB

——►=AR—+产A令C—)，等式两边同时点——乘►,得

AficosBACcosC

AP*BC=A(|BC|-|BC|)=O,所以P过AABC的垂心。

6、答案A。由d=._(g)2得圆心到直线/的距离为3,再由点到直线的距离公式得直

线/的斜率是-』，得到一个解，说明可能存在的另一条直线的斜率不存在，故去验证

12

得A答案。

7、答案D。由于双曲线中a+c=4+6=10>9,所以点P只能在靠近焦点F,的那一支上，故

|*=2a+|P6|=2x4+9=17

8、答案Bo上二^-----尸-----"故a3+1=0,得a=-l.

Z1a+1

9、答案Co由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线，但两点连线不能与纵轴平行,

CA-2X43

故其概率为—=-

10、答案B。①由公理4可得，③是两平面平行的判定定理，②和④可通过一一验证来否定。

11、答案A。由图知此函数是偶函数，故排除B与D,又函数图象落在区域内，所以

选Ao

12、答案D。由于“机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动”，因此可以认为机器

猫的运动以5为周期向前前进1步。易推A与B成立，101除以5得20余1,所以P（101）

=21,而104除以5得20余4,i^P（104）=22>P（101）

二、填空题：

13、答案为c；0G6.Cio7。构造凸四边形，凸四边形对角线的交点在凸四边形内，故最多

有C；o/C4o7个点。

14、答案为。<0。令必=^4x-X2,它表示以（2,0）为圆心、2为半径的上半个圆；

令力=。》，它表示一条过原点的直线。现要使得y>必在0<xW4成立，即在0<xW4时

直线落在半圆下方，故斜率。<0。

15、答案为0。两边求导，再分别把x赋值x=2,x=0,最后把所得两式相乘即得.

16、答案为①。设A（x「y）、B（Z，为）、C（%3，乂），利用定义知①成立；②③验证可

以先这样建系：以C为原点，CA为x轴的正向建系，则

伊球二总,|。⑼2=只,恒欧=区+%）2,故②不成立，③不成立。

三、解答题：

17.（1）由/=ac和由余弦定理，得

2分

2ac

lac—ac1

.4分

lac2

71

又：Be(0,n),：.OVBW—.6分

3

1+sin2B(sinB+cosB)~

(2)y=-------------=----------------

sin3+cos3sinB+cosB

=cos3+sinB=V2sin(B+^),......................8分

八一九.乃兀兀

又0VBW—,•■—VBHW.......................10分

34412

Al<V2sin（B+^）<V2）即原函数的值域是（1，V2）..............12分

18、解：（1）P（小张胜）=P（两人均取红球）+P（两人均取黄球）+P（两人均取白球）

a3b2c13a+2b+c

=­X—+—X---F—X——--------------5分

66666636

(2)设小张的得分为随机变量则

“c1”b2上a3

P(J=3)=-X-,P(J=2)=—X—,P(J=1)=-X—,

666666

I_i_「

P(^=O)=1一P(小张胜)=1-——,.........................................9分

36

；.E3x2x2+1—(I3a+2b+c

36)

666666

3Q+4/7+3C3(Q+/?+C)+81b

----------------=--------------------=—।

3636236

a,b,c《N,a+b+c=6,b=6,此时a=c=O,

,当b=6时，Ej=—H-----=—+—=—,此时a=c==O,b=612分

236263

Ab

19.解：(1)因为/(sinx)=a(sina+-)2-------

2a4a

b

又b>2a,所以----<-1,因为cz>0,-1<sinx<1,2分

2a

所以当sinx=l时，/(sinx)max=〃+〃+c=2,

当sinx=-l时，/(sinx)min=a-b+c=-4；..........................4分

解得：h=3,v2。<b,aG7V+,.\a=l,c=-2

所以/(X)=X2+3X-2；..........................6分

(2)因为g(x)=—(x-2)2+4<4

又/(—1)=一5,/(5)=-5..........................8分

因为当工£麻,〃］时，值域为［-5,4］.

所以〃2=-1且2<〃45或一14m<2且〃=5,..........................10分

所以5<m2+n2<26^25<m24-n2<29,

所以5<m2+«2<29...........................12分

故异面直线AC与AjB所成的角为arccos爷•...........................7分

(3)是菱形，；.5£>J_AC又AA，BO,，3。，平面AAgC.

•；C、Fu平面AA,C,C,；.BD1C[F......................................................................9分

故GF_L平面BOFOC,F1OF.：.tanZ^C,F=tanZAFO...................10分

a

设则4F=3a-x.；.=3a-x,即2/-6以+/=0,

xa

解得彳=延立4.

2

故当4尸=3士ya时,G尸J■平面BOF.....................................12分

(方法二)以。为原点，0C、0。所在直线分别为

x轴、y轴，贝1]。(0,0,0),C号，0,0),A(-|,0,0),

8(0,-4a,0),Q(0,0,3a),A,(--1,0,3a),B0一4a,3a),

D,(0,坐a,3a),D(0,乎40),R(g,0,3。)..........3分

⑴0c=(1,0,0)-(0,0,-3a)=(1,0,—30,

OA=(--1,0,3a).

•••OA,=—QC，。4〃QC，℃u平面B、CD1,。4u平面Bg,

.♦.04〃平面BiCDi.............................................................................................................5分

(2)AC=(1,0,0)-(-1,0,0)=(a,0,0),

A1B=(0,-^-a,0)-(—^,0,3a)=~^~a,-3a),

AC-AB

于是cos〈AC，AB〉=t

故异面直线AC与A\B所成的角为arccos3k.8分

⑶设尸（一彳，0,z）为例上任意一点，则G尸=（一彳，0,z）-号，0,3«）=（-a,0,z-3。）.

•:C、FBD=Q,于是CIF,平面BOFOGFOF=0=4+z(z-3a)=0.

解得z=3土由a.即4尸=3±"a时,GFJ_平面80F....................................12分

22

21.(1)设/:y=fcc+b代AA，-y?=1,

^(l-k2)x2-2bkx-b2-1^0.(1)................................................................2分

显然2H±1,A^4b2k2+4(\+b2)[\-k2)>0,

即6+(1-/)>0.

设B(x,,y,),C(x2,y2),则%,x?是方程⑴的两个根，有

2hk-(+/)

x.=—,X,X4分

1+22}-k2

设A(W，K),D(x4,y4)

由产"+"得寸上；由'='得l2。

y=x,\-k[y=-x,[+%

|AM=|8C|=|C£)|,所以卜一&1=学刍_%|。.........................6分

所以，（豫J+好Ml卷〉整理’得七件F

■,b2>0,k2>1.又|OA|=&--,\OD\=V2,ZAOD=90°,

1〃29

S^OB=-|OA|-|OD|=p—="-............................................................................8分

（2）设BC的中点为尸.AD的中点Q,则勺=与上=上,％=±要=4,

2\-k-02\-k2

xP=xQ,又P,。都在