高三数学第一轮复习《数系的扩充与复数的引入》讲义

数系的扩充与复数的引入

自主梳理

1.数系的扩充

数系扩充的脉络是：--,用集合符号表示为U

£，实际上前者是后者的真子集.

自然数系有理数系实数系NQR

2.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如。+历伍，匕CR)的数叫复数，其中“，人分别是它的和.

实部虚部

'实数S=o)

复数a+b\\(20)

〔虚数空"纯虚数5=0)

(2)复数相等：a+/?i=c+5=(a,b,c,R).

a=c,b=d

(3)共貌复数：a+bi与c+"i共貌c(a,b,c,dCR)."为z的共辄复数。

a=c,b=­d

3.复数的几何意义

(1)建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做虚轴.实

轴上的点表示；,虚轴上的点(除原点外)都表示；各象限内的点都表示

x轴y轴实数纯虚数非纯虚数

(2)复数z=a+历-一一对应一复平面内的点Z(a,b)(a,6GR).-一对应.平面

向量莅________

(3)复数的模

向量龙的模r叫做复数2=〃+府的模，记作或,即|z|=|a+Z?i|=.

\z\\a+h\\y]a2+h2

4.复数的运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+hi,Z2=c+di(。，b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=(。+bi)+(c+di)=；

②减法：Z]—Z2=(〃+bi)—(c+di)=；

③乘法：z「Z2=(a+bi),(c+di)=；

④除法：”=?="然T

Z2c+dl(c+dl)(c-1/1)

=(c+M#0)•

①(a+c)+(b+mi②(a-c)+(/?-d)\®(ac—bd)+(ad-\-bc)\3+)

⑵复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zl、Z2、Z3ec,有Z|+Z2=,

(zi+z2)+z3=.

Z2+Z\Z|+(Z2+Z3)

5.进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程

(1)(a±bi)2=a2±2abi-b^a2-b2±2abi,3+历)(0一历)=层+户

(2)i4/,=l,i4,,+l=i,i4w+2=-l,i4w+3=-i,in+iw+1+iw+2+iw+3=0(neN)

）1+i1-i

（3）（l+i）29=2i,（l-i）2=-2i,=i,币=T

复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算（合并同类项），复数的乘除运算是复数运

算的难点，在乘法运算中要注意i的嘉的性质，区分3+4）2=巒+2“万一〃与（〃+32=/+

2而十廿；在除法运算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以分母的共鞄复数），此时

要注意区分（。+4）（。一历）=巒+/与（a+b>（a—6）=。2—〃

失误与防范

两个虚数不能比较大小.z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z=3i时Z2=-9<0.

自我检测

F+i'+i'

1.复数FT]-等于（）

；；

A.D.+i

[2+13+产一l—i+l—i(一i)(l+i)l-i1」.

C【I=--=1^=(1-i)(l+i)="2-=2-2,]

2.复数z=l+i,三为z的共辗复数，则z三一z—1等于()

A.-2iB.-iC.iD.2i

B[Vz=1+i,/.z=1-i,/.z-z=|Z|2=2,

/.z-z—z-1=2—（1+i）-1=­i.]

3.设复数z满足i（z+l）=—3+2i（i为虚数单位），则z的实部是.

解析设z=〃+力i（〃、0£R）,由i（z+1）=-3+2i,

得一b+（a+l）i=-3+2i,1=2,.\a=\.

4.在复平面内，复数z满足士=2—i（i为虚数单位），则复数z对应的点的坐标为

Z十1

5.已知复数z满足1=1—2i,则复数z=_「|+]i,

题型一复数的分类

例1已知复数+（分+2/〃-3）i,当〃?为何值时，（l）zGR；（2）z是纯虚

数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（4）z对应的点在直线工+了+3=0上.

11.解（1）当z为实数时，则有切2+2”?-3=0且m-IWO

得加=—3,故当m=-3时，z£R.

〃?（6一2）

杨一1一解得m=O,或巾=2.

（m2+2m~3^0.

二当m=0或〃?=2时，z为纯虚数.

（3）当z对应的点位于复平面第二象限时，则有，，，"一1

7M2+2/H—3>0

解得m<—3或故当相<—3或1<m<2时，z对应的点位于复平面的第二象限.

（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时，

则有）+（,"2+2m-3）+3=0,

m—1j

得吟尹=0,解得片。或“74.

当m=0或，〃=一1斗6时，点Z在直线x+y+3=0上.

点评：（1）本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，

否则应先化为代数形式，再依据概念求解.

（2）判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.

TYT-IT1-6

变式训练1当实数机为何值时，z=------7—+（^2+5/n+6）i,（1）为实数；（2）为虚数；（3）

十3

为纯虚数；（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限.

解得加=-1.

解（1）若z为实数，

/n2+5n?+6=0

则「一c，解得m=-2.

欣+3W0

加2+5m+6W0

（2）若z为虚数，则，，解得加#—2且mW—3.

/??2+5/n+6#:0

（3）若z为纯.虚数，则「小一m―6,解得旭=3.

〃?+3°

（4）若z对应的点在第二象限,

<0m<—3或一2<m<3

则^+5-/.;«<—3或一

tn<-3或加>-2

/?Z2+5/H+6>0

题型二复数的代数运算

例2计算：.

（2+2i）4

⑴（1—病5；

也+小i

小一gi'

_16（l+i）4_16（2庁

解（1）原式

一（1一小i＞（l-巾i）一（一2-2巾iRl-小i）

______—64____________-16______-4

l+V3i.

4（1+V5i）2（l—小i）—（1+小i）X4—1+小厂

Q）原式=髄晋+［（咅XH=i+（寻‘口+心

=i+i4X251+1=i+i=2i.

~（l+i）2l（A+小i）（小+小i）

（3）方法一原式=12」十（木）2+（派）2

_F+#+2i+3i_q^__

1+i.

方法二（技巧解法）

席式_「&±4+（也+于i）i—i6+（*+小十一_I+i

原式一L2『+（小—正说―1+-1+1-

上2+2/2、[门垃1+iHYi—1

(4)原式=三｛引।期二号"阳=丁.1=—]+i.

点评：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数

化的过程.运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为。+历(a,b6R)的形式.

要记住一些常用的结果，如i、一!+坐i的有关性质等可简化运算步骤提髙运算速度.

变式训练2(l)i是虚数单位，表表扌等于()

A.iB.-iC.1D.-1

(2)已知复数z=(1综：2,T是Z的共辗复数，则Z

(3)复数i+J；的值是一一16.

题型三复数的几何意义

例3如图所示，平行四边形0A8C,顶点。，A,C分别表示0,3+2i,—2+4i,试求:

(1)45所表示的复数，反•所表示的复数；

(2)对角线a所表示的复数；

⑶求B点对应的复数.

解(1)石=一须，二/所表示的复数为-3-2i.

•：BC^AO,二花所表示的复数为一3-2i.

(2)乙=豆一32,.,.须所表示的复数为

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

(3)7)B=OA+1\B=OA+OC,

...而表示的复数为(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,即8点对应的复数为l+6i.

点评：根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复

数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.

在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往

和加法、减法相结合.

变式训练3

(1)在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C

对应的复数是()

A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i

复数6+5i对应4点的坐标为(6,5),—2+3i对应8点的坐标为(一2,3).由中点坐标公式知

C点坐标为(2,4),...点C对应的复数为2+4i.

(2)复数zi=3+4i,Z2=0,Z3=c+(2c—6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若NBAC

是钝角，则实数c的取值范围为.

解析在复平面内三点坐标分别为4(3,4),6(0,0),C(c,2c-6),

由/8AC是钝角得油•病＜0且&A、C不共线，

由(一3,-4)-(c-3,2c-10)<0,解得c淵,

其中当c=9时，AC=(6⑻=—2彳方，三点共线，故cW9.

c>普且cW9

(3)已知复数2=》+力且以一2|=小，则的最大值为_小.

妙解］由上一2|=小可得，|z—2卩=。-2)2+尸3.设卜&,即得直线方程为心一y=0,

.,.圆(X-2)2+)，2=3的圆心(2,0)到直线辰一尸0的距离"=-/第=〈小.解得AGL小,小］,

"+1

即得三的最大值为小.

题型四用待定系数法解决复数问题

例4(1)已知x,y为共施复数,且(x+y)?-3xyi=4—6i,求x,y.

(2)己知关于x的方程f+(H7+2i)x+2+2i=0(,〃GR)有实数根，求m.

解设x=a+bi(a,Z?£R),则y=a—Z?i,x+y—2a,xy—a2+b2,

代入原式,得(2a)2—3(o2+Z>2)i=4—6i,

故所求复数为

x=l+i[x=l—i[A-=—l+ifx=-1—i

,或

i

点评复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法,其依据是复数相等的

充要条件.利用复数相等a+6i=c+"i列方程时，注意a,b,c,dGR的前提条件.应用

复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题。对于复系

数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般

都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

变式训练4(1)若2=35。+1而仇则使z2=T的。值可能是()

解析：z2=cos20—sin2^+isin20=cos29+isin29,

兀

当8=2时,z2=cosn+isinn=—1.

(2)已知|z|-z=l-2i,求复数z.

解设z=〃+/?i(a、0£R),则二层+序——2i.

由两复数相等的充要条件得

解得卜=爹3

^y]a2+b2-a=1,-

[一6=一2,所以所求复数为2

厶=2,

一、选择题

2+i_

1.若复数z=E，则复数z等于（）

33

A.-pB.pC.-iD.i

2.若复数鬻（“GR,i为虚数单位）是纯虚数，则实数”的值为（）

A.2B.4C.-6D.6

3.对任意复数z=x+yi（x,y£R）,i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.\z-z\=2yB.z2=x2+y2

C.\z-~\^2xD.|z|W|x|+|y|

4.复数zi=a+2i,Z2=-2+i,如果Z|v|z2|,则实数〃的取值范围是（）

A.一\<a<\B.a>\C.ci>QD.a<—1或。>1

5.若，W号，竽），则复数（cos9+sin9）+（sinJ-cos6）i在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

B[由三角函数线知识得当g苧，季时，

sin0+cos0<0,sincos0>0,故选B.]

6.下面四个命题：

①0比一i大；

②两个复数互为共转复数，当且仅当其和为实数；

③x+yi=l+i的充要条件为x=y=l；

④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

A[（1）中实数与虚数不能比较大小；

（2）两个复数互为共朝复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共

鞄复数；

（3）x+yi=l+i的充要条件为x=y=l是错误的，因为没有标明x,y是否是实数；

（4）当a=0时，没有纯虚数和它对应.]

7.在复平面内，向量蒜对应的复数是2+i,向量芯对应的复数是一l-3i,则向量之对

应的复数为（）

A.l-2iB.-l+2iC.3+4iD.-3~4i

二、填空题

8.已知复数z与（z+2）2-8i均是纯虚数，贝Uz=-2i

9.若复数zi="+2i,Z2=l+bi,a,bCR,且zi+z?与z「Z2均为纯虚数，则型=

22

86

-十-

55

10.己知复数z1=m+2i,Z2=3—4i,若差为实数，则实数根=______.

Z2

釧士匚zim+2i(,w+2i)(3+4i)

=

解析rZ73a—一"41--------文23-----

3n?-8+(6+4m)iU宀丄丄3

=----------5--------^是实数，..6+4w=0,故，”=一2.

11.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位)，则z的模为_2.

i+z,

12.已知zi=2+i,Z2=l—3i,则复数—的虚部为____.

Z]

i+z2i+1-3i(1—2i)(2—i)

解析W=』-=-5=一|，

故虚部为一1.

13.已知复数zi=-l+2i,Z2=l—i,Z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C.若太=

xOA+yOB,贝1Jx+y的值是_5.

14.复数z=x+yi(x,ydR)满足|z-l|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为.

解析由|z-l|=x得|。-1)+)川=》，

故(x—1)2+/=*,x20,整理得产=2%—1.

三、解答题

15.已知复数zi满足⑵-2)(l+i)=l—i(i为虚数单位),复数Z2的虚部为2,且“Z2是实数,

求Z2.

解(zi-2)(l+i)=l—i=zi=2—i.(4分)

设Z2=