高一数学新教材同步教学讲义 正弦函数、余弦函数的性质（解析版）

正弦函数、余弦函数的性质

【知识点梳理】

知识点一：周期函数

函数y=∕(x),定义域为/,当xe∕时，都有/(x+T)=/(x),其中T是一个非零的常数，则y=∕(x)

是周期函数，T是它的一个周期.

知识点诠释：

1、定义是对/中的每一个X值来说的，只有个别的X值满足/(x+T)=f(x)或只差个别的X值不满足

/(x+T)=/(x)都不能说T是y=f(x)的一个周期.

2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的

周期一般都指最小正周期.

知识点二：正弦函数性质

函数正弦函数y=sinx

定义域R

值域Fni

奇偶性奇函数

周期性最小正周期2;T

增区间［2Z〃-C,2Qr+%］

22

单调区间(AeZ)

减区间［2Z∕r+工,2br+网］

22

最值点(ZGZ)最大值点(2%)4—,1);最小值点(2%)---1)

22

对称中心(AeZ)(kπ,Q)

.π

对称轴(AreZ)x=kπ+-

2

知识点诠释：

(1)正弦函数的值域为[-1,1],是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实

数，那么正弦函数的值域就可能不是卜1,1],因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域.

(2)求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

y=sin(-x)的单调递增区间时，应先将y=sin(-x)变换为y=-sinx再求解，相当于求y=sinx的单调递减

区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定

义域.

知识点三：正弦型函数y=Asin((υx+e)的性质.

函数y=ASin(0x+s)与函数y=Acos(eυx+e)可看作是由正弦函数γ=sinx,余弦函数y=cosx复合

而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数y=Sinx,余弦函数y=8sx类似地得到：

(1)定义域：R

(2)值域：[-A,A]

(3)单调区间：求形如y=Asin(ox+⑼的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把

OX+9视为一个“整体”，分别与正弦函数y=Sinx的单调递增(减)区间对应解出x,即为所求的单调递

增(减)区间.比如：由2%r-1≤0x+442丘+/(AwZ)解出X的范围所得区间即为增区间，由

2版■+1≤ox+。≤2幺万+与(keZ)解出X的范围，所得区间即为减区间.

(4)奇偶性：正弦型函数y=Asin((υx+e)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin((υx+e),当

9=Qr(keZ)时为奇函数，当0=kτ±g√Z;eZ)时为偶函数.

知识点诠释：

判断函数y=Asin(ox+s)的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视

“定义域关于原点对称''这一前提条件.

(5)周期：函数y=Asin(ox+⑼的周期与解析式中自变量X的系数有关，其周期为T=生.

ω

(6)对称轴和对称中心

与正弦函数y=sinx比较可知，当蛆+9=JbF±搭(k∈Z)时，函数y=Asin(s+°)取得最大值(或最

小值)，因此函数y=Asin(〃)x+0)的对称轴由妙+G=ZTr±微(％∈Z)解出，其对称中心的横坐标

ωx+φ=kπ{k≡Z)，即对称中心为——,0∣(⅛∈Z).

知识点四：余弦函数的性质

函数余弦函数y=Cosx

定义域R

值域Ful

奇偶性偶函数

周期性最小正周期24

增区间[2左4-πt2kπ]

单调区间(AeZ)

减区间∖2kπ,2kπ+τr]

最值点(Z∈Z)最大值点(2br,l)

最小值点(2hr+%,-l)

TT

对称中心GteZ)(^+ɪ,θ)

对称轴(ZeZ)x=kπ

知识点诠释：

(1)余弦函数的值域为[-1』，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实

数，那么余弦函数的值域就可能不是[-1,1],因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域.

(2)求余弦函数的单调区间时，应先将y=cos(-x)变换为y=cosx再求解，所求的单调区间必须在函

数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域.

知识点五：余弦型函数y=Acos(<wx+S)(A,。>0)的性质.

函数y=ACoS(OX+⑼可看作是由余弦函数y=cosx复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦

函数y=Cosx类似地得到：

(1)定义域：R

(2)值域：[~A,A]

(3)单调区间：求形如y=Acos(5+e)(AM>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,

即把。x+S视为一个“整体”，余弦函数y=cosx的单调递增(减)区间对应解出X,即为所求的单调递增

(减)区间.

(4)奇偶性：余弦型函数y=Acos(αλr+e)(A,o>0)不一定具备奇偶性，对于函数y=Acos(αλr+/),

当9=kτ(Λ∈Z)时为偶函数，当9=Z%±j∣√k∈Z)时为奇函数.

(5)周期：函数y=Acos(ox+e)的周期与解析式中自变量X的系数有关，其周期为T=生.

ω

(6)对称轴和对称中心

与正弦函数y=sinx比较可知，当的+9=女乃±](%∈Z)时，函数y=Asin(3r+0)取得最大值(或最

小值)，因此函数y=ASin(的+°)的对称轴由5+0=攵"士(k∈Z)解出，其对称中心的横坐标

ωx+φ=kπ{k≡Z),即对称中心为——,θj(A-∈Z).同理，y=Acos(ωxΛ-φ)的对称轴由

JT

ωx+φ=kπ[keZ)解出，对称中心的横坐标由<υx+g=女方土耳/eZ)解出.

知识点诠释：

判断函数y=Acos(ox+⑼的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视

“定义域关于原点对称''这一前提条件.

若XWR,则函数y=Acos(ωx+φ)不一定有对称轴和对称中心.

【题型归纳目录】

题型一：正余弦函数的周期问题

题型二：正余弦函数的奇偶问题

题型三：正余弦函数的对称问题

题型四：正余弦函数的单调问题

题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题

题型六：比较大小

题型七：正余弦函数的最值与值域问题

题型八：正余弦函数的综合应用

【典型例题】

题型一：正余弦函数的周期问题

例1.（2022•全国•高一专题练习）/（x）=lSinXl+1CoSXl的最小正周期是（）

Tt

A.—B.reC.2〃D.3〃

2

【答案】A

【解析】因为/（x）=ISinXI+1cosx∣=J（ISinX∣+∣COSXly=JSin2x∣+1,

因为y=sin2x的最小正周期为乃，所以y=卜也2目的最小正周期为/,

所以〃x）的最小正周期为

故选：A.

TT

例2.（2022.陕西汉中.高一期末）下列四个函数中，在区间仁,兀）上单调递增，且最小正周期为兀的是

2

（）

X

A.y=-sinxB.y=|cos%IC.y=∣sinx∣D.y=sin-

【答案】B

T=二=4

【解析】y=-sinx的最小正周期是27，y=sin；的最小正周期是‘一丁一包，排除，

22

BC两个函数的最小正周期是万，

Xeq,乃）时，y=∣cosx∣=-COSX单调递增，y=kinx∣=sinx单调递减.

故选：B.

例3.（2022•山东德州•高一期末）设函数/（x）=2sin（0x+e）,χeR,其中&＞（）,冏＜π.若

/[γ]=2,等）=-2,且/（χ）的最小正周期大于2π,则（）

A2πB.行2,联-电

A.ω=-,φ=—

312312

。-比C17π

C.Jj=D.ω=-,φ=——

324324

【答案】A

5π5π5兀π

【解析】因为了2,所以2sin(G----+φ)=2=ω-----+φ=2kπ+-(k∈Z)(l),

882

17TiC亡匕Ce/17兀、—17兀C3TC.f~7∖∕c∖

因为了=-2,所2SIn(G-------F夕)=-2=>G-----+φ=2mπ+—(加∈Z)(2),

882

22

(2)-(1),得。=§(2机-2Z+1),而<υ>0,所以。=](2%-2Z+l)>0,

2兀

因为/S）的最小正周期大于2%，所以有一>2兀=口<1,

ω

2π

因为〃2,Z∈Z,所以G=j,即e=2Zπ+;∙(k∈Z),而冏vπ,

π

所以Z=O,即。=已，

故选：A

变式1.（2022•陕西渭南•高一期末）函数"x）=sin[2x+q）的最小正周期为（）

A.nB.lfπC.3πD.44

【答案】A

O-

【解析】根据解析式可知：/（x）最小正周期T=告77=".

故选：A.

变式2.（2022・广东•珠海市斗门区第一中学高一阶段练习）下列函数中周期为"，且为偶函数的是（）

A.y=CosxB.y=sin2x

C.y=sin^2x+yjD.y=cosgx

【答案】C

【解析】对于A：y=cos∙r为周期为27的偶函数，故A错误；

对于B：V=sin2x为周期为左的奇函数，故B错误；

对于C：y=sin（2x+^）=cos2x为周期为1的偶函数，故C正确；

对于D：y=cosgx为周期为47的偶函数，故D错误；

故选：C

πIT

变式3.（2022・全国•高一课时练习）已知函数/（x）=sin（ox+夕）（A>0,<y>0）在区间上单调，且

o2

7Γ

A.-B.%C.2万D.44

2

【答案】B

TTTT

【解析】：函数/(x)=Sin(0X+e)，A>0,<υ>O,若/(x)在区间—上单调,

O2_

.冗π,T11ππππ.八C

..-------≤—------------,UnPn一≤—，..O<a)≤3♦

2622Gty3ω

∙∙∙GM卦-9

_π_I_2_π_

_23_7乃为f(x)=sin(α∙x+s)的一条对称轴，

212

，π*π、

且ɪ^ɪ,θ即0)为/(X)的一个对称中心，

故选：B.

【方法技巧与总结】

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法，对形如y=Asin(<υx+s)或y=Acos(<υx+e)(A，ω)9是常数，AxO,ω≠0)的函

数，

(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.

题型二：正余弦函数的奇偶问题

例4.(2022•浙江・杭州四中高一期末)在区间仁，向上为减函数，且为奇函数的是()

A.y=sinxB.y=sin2x

C.y=COSXD.y=cos2x

【答案】B

TTTT

【解析】由函数为奇函数，可得C,D错误；因为函数N=Sinx在-],万上单调递增，

且x∈ɪɪ,2x∈夕乃,易知函数y=sin2x在H上单调递减，

故A错误，B正确.

故选：B.

例5.(2022•全国•高一课时练习)已知函数/(x)=Sin(x+⑼为偶函数，则9的取值可以为()

B.πCuD.0

【答案】A

【解析】因函数/(X)=Sin(X+9)为偶函数，则*=E+]7Γ,A∈Z,显然及=T时，*=-T]r，即A满足,

B,C,D都不满足.

故选：A

例6.(2022.全国•高一专题练习)若函数"x)=2sin(2x-∣→0)是奇函数，则夕的值可以是()

【答案】C

【解析】若函数〃x)=2sin(2x-。+”是奇函数，

TTTT2元

则一耳+0=kπ,Z∈Z,得0=耳+kπ,keZ=k=-∖φ=---

故选：C

变式4.(2022•全国•高一专题练习)已知函数=Sin(OX+0)(o>(ψ∣<f图象的两相邻对称轴之间的距

离为且/(x+∣J为偶函数，则9=()

ππ

B.C.D.

【答案】B

【解析】因为/(X)图象的两相邻对称轴之间的距离为∣∙,所以最小正周期7=1=称,

则<y=2,所以/(x+?)=sin(2r+与+s)

因为/(x+()为偶函数，

所以9+—^―=—I-kτr,&eZ,

32

所以0=-1+版7,%€2.因为|同＜1,

62

所以e=-g.

O

故选：B.

变式5.(2022・全国•高一专题练习)己知函数/(x)=αχ3+8SinX+∙-2022(。，b,C为实数)，且

X

/(2022)=1,则/(—2022)=()

A.-1B.1C.-4045D.4045

【答案】C

【解析】设g(x)=/(x)+2022=加+6sinx+f,χ≠0,

X

贝∣Jg(-x)=α(-x)3+bsin(-x)+*=-0r3_6SinX_£=_g(x),是奇函数，

-XX

(2022)=/(2022)+2022=2023,所以g(-2022)=/(-2022)+2022=-g(2022)=-2023,

/(-2022)=-4045.

故选：C.

变式6.(2022•北京・北师大实验中学高一期中)下列函数中为奇函数的是()

A.y=∣sinx∣+cosxB.y=∣cosx∣+sinxC.y=卜injφcosxD.y=∣cosx∣∙sinx

【答案】D

【解析】对A,由/(-x)TSin(τ)∣+cos(-X)=/(x),/(X)=卜inR+cosx不是奇函数；

对B,由/(-x)=∣cos(-x)∣+sin(-ɪ)=∣cosʌj-sinx≠-/(ɪ),/(x)=∣COSXI+sinx不是奇函数；

对C,由/(-x)=∣sin(-X)∣∙cos(-x)=∣sinx∣-cosx=f(x),/(X)=卜inx∣∙cosx不是奇函数；

对D,由/(-x)TCOS(-x)∣∙sin(f)=TCOSxI∙sinX=-/(X),又/(x)=φin∙φcosx的定义域为R关于原点对

称，所以D正确.

故选：D

变式7.(2022•江苏•高一单元测试)已知函数y="x)为一次函数，若对任意的SJeR,都有

/(5+f)=∕(∆∙)+∕(r)-l,当x∈[-π,可时，函数g(x)=siru+∕(x)的最大值与最小值之和为M,则M的

值为()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】因为函数y=∕(χ)为一次函数，令/(X)=辰+仇狂0)

对任意的s,feR,都有〃s+r)=/(s)+/⑺一l,,

所以％(s+r)+Z>=依+6+公+8一l,解得6=1,

所以一次函数为f(χ)=h+1,

令∕ι(x)=SinX+for,x∈[-π,π],则g(x)=∕z(x)+l

则=sin(-x)+Λ(-x)=-(SinX+Ax)=-Λ(x)

则∕ι(x)=Sinr+H为[τt,π]上的奇函数,则MX)m⅛,+人(力—=°>

所以函数g(x)=shu+∕(x)的最大值与最小值之和为

g(x*n+g(x)mω=MX)min+1+。(力,皿+[=2,所以M的值为2.

故选：D.

变式8.(2022.全国•高--课时练习)设函数〃x)为定义在R上的奇函数，当XWo时，

/(x)=sin2x+cosx+∕n(m为常数)，则〃F)等于()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】因为函数/(x)为定义在R上的奇函数，

当x≥0时，/(x)=sin2x+cosx÷w,

所以/(0)=SinO+8s0+∕%=m+l=0,解得：∕∏=-1,

所以x≥0时，/(x)=sin2x+cosx-l,

/(;T)=Sin2τr+cos万一1=0—1一1=一2,

所以/(一乃)=一/(7)=2,

故选：D.

变式9.(2022・上海∙r¾一专就练习)已知x,y∈[-;,7],awH,且｛,八，则

44[4y+sιnycosy+α=0

cos(2x+y)=()

A.——B.ɪC.1D.—1

【答案】C

【解析】x3÷sinx=2a,8)2+2SinyCoSy+2。=0,

(2>,)3+sin2y=-2a,

/(x)=V+sinX为奇函数，f(-x)=f(2y)=-2a,

-x=2ytx+2y=0,/.cos(2x+y)=l.

故选:C

变式10.(2022・贵州・遵义航天高级中学高一阶段练习)设/(无)=。5出("+二)+人8$(兀¥+/)；其中

。也α,α都是非零实数,若/(2019)=T,那么“2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】f(ɪ)=asin(πx+a)+bcosQπx+Q,其中。，bta,4都是非零实数，

若f(2019)=asin(2019π∙+a)+bcos(2019江+s)=-asina-bcosβ=-1,则Qsi“g+bcos4=1,

那么/(2020)=asin(2020π+a)+bcos(2020π+β)=asina+bcosβ=1,

故选C.

【方法技巧与总结】

判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数F(X)的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②

/(T)与/(X)的关系；

(2)判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法.

题型三：正余弦函数的对称问题

例7.(2022•湖南•武冈市教育科学研究所高一期末)关于函数f(x)=2sin(2x-])图象的对称性，下列说

法正确的是()

A.关于直线x=gTT对称B.关于直线X=JTT对称

36

C.关于点信0)对称D.关于点管,0卜称

【答案】D

【解析】对A,2xW-f=[*W+%r,keZ,故A错误；

3332

对B,2×--------=0≠—Fkτr,火∈Z,故B错误；

632

TT7ΓTT

对C,2×y-y=y≠te,左∈Z,故C错误；

TTTT

对D,2×-------=0=kπ,此时Z=O,故D正确，

63

故选：D

TT

例8∙(2022∙全国•高一课时练习)函数y=sin(2x+;)的图象的一个对称轴方程是()

4

πcπCπ〜π

A.X=—B.X=——C.X=-D.X=一

8484

【答案】C

【解析】对于函数y=sin(2x+f),令2x+E=g+%r,%eZ,

442

解得x=f+W,%∈Z,故函数的对称轴方程为x=£+W，keZ,

o282

令％=0,可知函数的一条对称轴为X=?.

O

故选：C

例9.(2022・陕西西安•高一期末)已知函数/(x)=2sin(2x-6+l,则下列说法正确的是()

A.函数"x)的图象关于点弓,0)对称B.函数/(x)图象的一条对称轴是直线X=-I

C./(X+至是奇函数D.⅛0<xl<x2<π,则，(XJ<∕(Λ2)

【答案】B

【解析】对于A,因域)=2s呜+1=√5+1,则函数/(x)的图象关于点除0)不对称，A不正确；

对于B因/(q)=2sin(—乡+1=-1,而〃x)min=T,则数/(x)图象的一条对称轴是直线X=W,B

正确；

TrJTTTTT

对于C,/(%+q)=2sin[2(x+q)-Q]+1=2sin(2x+q)+l不是奇函数，C不正确；

Sir7τrTrSir

对于D,取Xl=芸显然有0<±<X2<π,而/(N)=2sin2+l=3,/(x2)=2sin-+1=2,D

121226

不正确.

故选：B

变式11.(2022・辽宁抚顺•高一期末)函数f(x)=sin(2x-：),xe(O,7r),若方程〃X)=弓的解为

Λ⅛,X2(0<X1<X2<TΓ),则sin(%一%2)二()

A.-立B.-立C.-也D.-包

3336

【答案】C

【解析】因为0<x<π,

所以2X一∙ς∈(-∙ς,H).

OOO

TTTT

令2x----=一■Fkπ{k∈Z),

62

可得X=。+弩(MeZ)；

因为方程/(x)=弓的解为王,々(0<%,<Λ2<Æ),

所以工产=?,

所以为专f，

所以Sin(Xl-X,)=sin(2x∣­-)=-cos(2x--).

3l6

因为X<x,,x,=^-ΛI,

所以0<%,

所以2玉一会(一亲》

由/(X1)=Sin(2xl.g)=零,

63

得cos(2x∣­—)=,

63

所以Sin(Xl-X,)=-Y∑.

3

故选：C.

变式12.（2022•全国•高一课时练习）已知/（x）=Sin（5+9）（3>O,O<9≤7r）是R上的奇函数，若/（X）

ππ内是单调函数，则/闱=（）

的图象关于直线X=（对称，且〃x）在区间

,^22,∏,

A.-在B.--

C.ɪD.—

2222

【答案】A

【解析】因为∕∙(x)=sin(5+c)(0>O,O<e≤ι)是R上的奇函数,则6=万,

所以，/(x)=Sin(<υx+√r)=-sinox,

因为/（x）的图象关于直线X=（对称，则詈=版∙+3^eZ）,可得o=4A+2,

πππω//兀ω

当Xe时,——≤ωx≤——

22,H2211

因为函数“X）在区间-ɪ,ɪ内是单调函数，贝IJ112,解得o<0≤?,

''2211τ_τ_ω_、>_π__2

、22-2

所以，k=0,0=2,故/（X）=-Sin2x,因此，H-Si吟=-冬

故选:A.

变式13.（2022・湖南•长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知函数

/（x）=sinf→4xLcosf4x-^+l,则下列判断错误的是（）

A./(x)的最小正周期为gB.〃x)的图象关于直线X=刍对称

L

C.“X)的值域为[τ,3]D./(X)的图象关于点EO卜寸称

【答案】D

【解析】H⅜∕(^)=sin^→4x^+cos^4x-^+l=sin^y+4A'j+cos^4x+y-^+l

π

=2sin(4x+y)+l

所以T=也=?=9,A正确；

ω42

由©+A=]+""'""，得X=去+朱keZ,所以X=合是/(x)的对称轴，B正确；

因为T≤sin(4x+gwi,所以-l≤2sin(4x+g+143,即—l≤∕(x)≤3,C正确；

由4x+(=%r,%∈Z,得χ=q+今#eZ,所以/(χ)的对称中心为珀+存)，D错误.

故选：D

22

【答案】D

【解析】函数/'")=sin(5+∕)+b(3>0)的最小正周期为7,

4

f∣E2412τrE/口2424

则T=,由<T<71得<<TC2<69<3,

ω3f3ωf

y=f(x)的图像关于点(段,2)中心对称，=2,

且sin(3口+?)=0,贝1」与6?+7=%乃，ZeZ.

215

.∙.ω=-(k---),ZeZ,取2=4,可得G=

342

.∙./(x)=sin(∣x+ɪ)+2,则/篇)=si呜*咛)+2=Sinl→2=l+2=3.

故选：D.

变式15.(2022•全国•高一课时练习)已知函数"x)=Sinl2》+部Xe(Ow).若方程小)='的两个

解为为，*2，则Sina+々)=()

A.--B.史C.-D.--

2222

【答案】B

【解析】由题意可得，ɪefθ,ɪ],则2x+∕G,当，

\ɔ√666

令2X+F=1,X=J,即函数"x)=sin(2x+g],Xe(O,孚关于直线x=∙^对称，

626kθ√∖3√6

则/(x)在［。高上单调递增，在仁向上单调递减，所以％+-2x^=5，

故sin(Xl+x2)=sinɪ=,

故选：B

变式16.(2022.北京市第十二中学高一阶段练习)已知函数/(x)=sin®x+s)(0>O，M4~|

为/(x)的零点，X=；为y=∕(χ)图象的对称轴，I/(x)在区间［而,段上单调，则。的最大值为()

A.9B.5C.7D.3

【答案】B

【解析】函数/(x)=sin(0x+e)[0>O,M∣≤5),

X=-：为“X)的零点，X=；为y=〃x)图象的对称

轴，

2H+1π(π∖2π+l2ππ

・•.--------T=————，即---------,

44I4j4ω2

∙,∙ω=2n+l,"∈N,即①为正奇数.

ΛΞΓ4X⅛⅛^⅞'HP^IO∙

①当。=9时，9χ-?)+s=k乃，kwZ,

此时,/(x)=sin(5x+?),在区间儒马上,5x+(∈仔当),

故满足题意.

则。的最大值为5.

故选：B.

变式17.(2022・全国•高一专题练习)已知函数/(x)=sin(2x+0)的图象关于点仔,0)中心对称，则网的

最小值为()

πC兀_2π〜4兀

A.-B.-C.—D.—

6333

【答案】B

【解析】因为函数f(x)=sin(2x+⑼的图象关于点A,(ŋ中心对称，

(Tt∖TTTT

所以sin2χ2+9=0,则2x—+e=E,A∈Z,β∣Jφ=——+E,R∈Z,

I6J63

故助的最小值为∣∙.

故选：B

变式18.(2022・江西•高一期中)已知函数"x)=αsinx+cosx的图象关于直线x=q对称，则/(f=

()

A.√3B.丑业C.-√3D.应二逅

22

【答案】B

【解析】因为“X)的图象关于直线X=?对称，所以"0)=∕(与)，即I=乎α-g,

解得4=6,则/⑶=Kx巫+正=®.

UJ222

故选：B

变式19.(2022.北京.中关村中学高一期中)若点(4,0)是函数y=sin(x+［图象的一个对称中心，贝心

的值可以是()

πππ

A.—B.C."D.

326^3^

【答案】C

7ΓTT

【解析】依题意可得。+9=E,Λ∈Z,所以。=E-9，Z∈Z,

66

当&=O时∙，a=-y.

故选：C

变式20.（2022.陕西.西安中学高一期中）己知直线Xq是函数F（X）=Sin（S+£|（0<0<8）图像的一条

对称轴，则。的值为（）

A.3B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】依题意得，（少=疝（。9+令=±1,

OOO

所以3•生+生=k;r+生,ZeZ,

662

即0=6/+2,ZeZ,又O<0<8,

所以。=2.

故选：C.

变式21.（2022.全国.高一专题练习）已知函数/（x）=sin（0x-T（3>。）在（兀，2兀）内不存在对称中心，则。

的取值范围为（）.

A,[ɪ|1B,fθ,ɪlC.层]D∙星U

l_33jI3」I6」I6J|_33j

【答案】D

【解析】因为在（兀,2兀）内不存在对称中心，故2τ-ι≤工=至，解得<a≤l,又Xe（Tr,2π）,

22ω

ωπ----≥κπ

π(ππ∖01b7

ωx----∈ωπ-----,2ωπ-----故,(&eZ),解得无+g≤0≤5+WkeZ),又0<<υ≤l,

3(33)

2ω^∙-y≤(⅛+1)Λ^

121fl12

所以&=0,-≤ω≤-^ιk=-∖.0<co≤-,故0的取值范围为I0»~U.

33i6I6」|_33_

故选：D.

【方法技巧与总结】

（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形：

（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦

值（余弦值）取最大值或最小值；

（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与X轴的交点，即此时的正弦值

（余弦值）为0.

题型四：正余弦函数的单调问题

例10.(2022•内蒙古・阿拉善左旗第一中学高一期末(文))函数y=sin(-2x+/)的单调递减区间是

()

Jr5JT

A.[kπ一-—,⅛π÷-],⅛∈ZB.[2kπ--,2kπ+-],k≡Z

12121212

Jt.5兀

C.rIAfTI—,kitH-----],κf∈ZD.[2⅛π--,2Λπ+-]Λ∈Z

6666

【答案】A

【解析】函数y=sin(-2x+g=-sin(2x-1),故求函数y=sin(2x-g)的单调递增区间即可,

JI'Ji'Ji'JIɔTT

令——+2kπ≤2x——≤—÷2kπk∈Z,解得x∈[Λπ-----,左兀4-----],⅛∈Z

232y1212

故选：A

例11.(2022・全国•高一课时练习)函数"X)=SinG-2x)在[(),句上的增区间是()

【答案】C

【解析】由题知/(x)=-sin(2x-g],又xe[(),句，所以2x-±e~^∑,~^∑^

\6J6[_66

ʌTFATC31./口TV5兀

令7≤2x-瓷?，^W-≤x<-,

26236

所以函数/(x)=sin[32x)在[0,句上的增区间是.

故选：C.

TT

例12.(2022♦陕西・宝鸡市渭滨区教研室高一期末)函数y=sin(丁-2x)的单调减区间是()

4

τr3τt713万

A.[kτr——,kτc÷∈Z)B.[21kτr—",2Rττ+-^-],(Z∈Z)

3TT7TT3兀74

C.[2kπ+——,2kπ+——],(⅛∈Z)D.[kπ+——,kπ+——],(k∈Z)

8888

【答案】A

【解析】y=sin(?-2x)=-sin(2x-?),要求函数y=sin(7-2x)的单调减区间，即求函数

y=sin(2x-的单调增区间.

TTTTTT

令---+2kπ<2x-----≤-+2kπ,k≡Z,

2