2023年高考数学理一轮复习教学案第6章6-6数列中的综合问题

6.6数列中的综合问题

题型一数学文化与数列的实际应用

例1（1）（2020・全国∏）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心

有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增

加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层

环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

答案C

解析设每一层有〃环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为4=9,首项为m=9的

等差数列.由等差数列的性质知Sll,SZLS.,S3“一52”成等差数列，且（S3“一S2”）一（S2“一S”）

=n2d,则9/=729,解得n=9,

27义26

则三层共有扇面形石板S3"=S27=27X9+∖—X9=3402（块）.

（2）（2021・新高考全国I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称

轴把纸对折.规格为20dmX12dm的长方形纸,对折1次共可以得到IOdmXl2dm,20dm×6

dm两种规格的图形，它们的面积之和S=24Odm2,对折2次共可以得到5dmX12dm,10

dm×6dm,20dmX3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=I8Odn?,以此类推，则对

n

折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次,那么ESk=dm2.

k=∖

解析依题意得，Si=120×2=240；

§2=60X3=180；

53

当〃=3时，共可以得到5dm><6dm,2dmX12dm,IodmX3dm,20dmX]dm四种规格的

图形，且5X6=30,,X12=30,10X3=30,

3

20×2=30,所以$3=30X4=120；

5533

当〃=4时，共可以得到5dm×3dm,⅛dm×6dm,jdm×12dm,10dm×^dm,20dmX[dm

五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且5X3=15,∣X6=

533

15,12=15,10×2=15,20×^=15,

所以§4=15X5=75；

所以可归纳&二等(A+1)=24*+1).

即£&=240(1+奈+*H------①

所以;X∑Sk

2=1

(2I3I4InH+1A

=240l25+23÷24÷-----(■于+∙prrj,②

1n

由①一②得，"ESk

lk=1

n(〃+3、2

所以∑lSk=240^3--^-Jdm.

思维升华数列应用问题常见模型

(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值.

(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数.

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么

应考虑如与斯+∣(或者相邻三项)之间的递推关系，或者5“与S,+∣(或者相邻三项)之间的递推

关系.

跟踪训练1(1)(2022•佛山模拟)随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络

化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注∙5G基站建设就是

“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将

进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆

盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国

累计开通500万个5G基站时要到（)

A.2022年12月B.2023年2月

C.2023年4月D.2023年6月

答案B

解析每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列,

设预计我国累计开通500万个5G基站需要〃个月，则70+5〃+若0义1=500,

化简整理得，n2+9n-860=0,

解得〃«=25.17或〃ρ一34.17(舍),

所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月,也就是到2023年2月.

（2）（2022.潍坊模拟）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状,

后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，

设各层球数构成一个数列｛斯｝,则（）

A.〃4=12

B.Cln+∖=C加+IT

C.防00=5050

D.2aπ+ι=a,raft+2

答案C

解析由题意知，41=1,42=3,〃3=6,…,

故小=迎/

4×(4+l)u皿3

“4=2=10,故A错1天;

an+↑=arι+n+1,故B错误;

100X(100+1)

故正确;

000='2=5050,C

2〃〃+i=(〃+l)(n+2),

Hn+1)(〃+2)(〃+3)

Z∙4n+2=4

显然2。〃+IWma?+?,故D错误.

题型二等差数列、等比数列的综合运算

例2（2022•滨州模拟）已知等差数列｛斯｝和等比数列｛儿｝满足αι=2,b2=4,%=2k>g2b",

"∈N".

(1)求数列｛〃〃｝,｛d｝的通项公式；

⑵设数列｛斯｝中不在数列｛儿)中的项按从小到大的顺序构成数列｛c“｝,记数列｛c〃｝的前〃项和

为Sn,求Si(M).

解(1)设等差数列｛m｝的公差为d,

因为岳=4,所以G=21og2岳=4,

所以d=〃2—α∣=2,

所以斯=2+(〃一1)X2=2几

又a〃=21og2九，即2π=21og2⅛,

所以n=log2⅛w,

n

所以bn=2.

⑵由⑴得小=2"=2∙2"∣=O2"T,

即儿是数列｛斯｝中的第2〃「项.

设数列｛斯｝的前n项和为Pn,数列｛/?“｝的前n项和为Q〃，

因为历=。26=。64,68=427=4128,

所以数列｛6｝的前100项是由数列｛〃〃｝的前107项去掉数列M〃｝的前7项后构成的,

所以SIOo=P107-。7

107X(2+214)2—28

11302.

21-2

【备选】

(2020•浙江)已知数列⑷，也｝,｛6｝满足S=O=C=1，…+L斯，cn+i=-^cn,n∈N*,

⑴若｛瓦｝为等比数列,公比q>0,且下+岳=6①,求q的值及数列｛为｝的通项公式;

,

(2)若｛瓦｝为等差数列，公差d>0,证明：C∣÷C2÷C3H------Fcw<l+^,∏∈N∖

⑴解由加=1,⅛I+⅛2=6⅛3,且出〃｝为等比数列，得l+g=6∕,解得夕=；(负舍).

•∙bn—2〃一1•

∙*∙C∏+IɪɪʒC"=4C",∙'∙C"=4"1.

。〃+2

•,斯+1-(In-4"I

1—4〃1

%=0+1+4+→4L2=-PΓ

4〃」+2

=~3~

bn

(2)证明由cw+1=FSeN)

bn+2

可得b”+2，c"+i=b"∙C",

两边同乘bn+↑,

,

可得bn+J∙bπ+2cn+1=bn∙bn∙¥1∙cn9

•：b1b2c1=b2=1+d,

，数列｛为瓦+g｝是一个常数列，

且此常数为l+d,即b必〃+]Czι=l+d,

1~∖~d1~∖~dd

又∙"ι=Ld>0,Λ⅛w>0,

，Cl+C2+…+。〃

，Cl+C2+…+Cfl<1+)

思维升华对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列

的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项

相消法求数列的和，然后利用力=1,d>0证明不等式成立.另外本题在探求｛如｝与｛金｝的通

项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.

跟踪训练2已知等差数列｛〃〃｝和等比数列｛儿｝满足a↑=b↑=∖,"2+44=10,b2b4=a5∙

⑴求｛小｝的通项公式；

(2)求⅛1÷⅛3÷⅛5∏----∣^⅛2n-1.

解(1)设等差数列｛斯｝的公差为d∙

因为αι=1,s+44=10,

所以2αι+4J=10,

解得d=2.

所以an=2∏-l.

(2)设等比数列｛5｝的公比为q.

因为⅛2⅛4=fl5,

所以bιq∙bιq3=9.

又加=1,所以q2=3.

2n2nl

所以b2n-ι=biq_=3~.

则⅛1+⅛3÷⅛5÷∙∙∙+⅛2Λ-I

3"-1

=1+3+32+…+3"f='—.

题型三数列与其他知识的交汇问题

命题点1数列与不等式的交汇

例3已知数列卸”｝满足—L=1+2("∈N*).

⑴求数列｛a,J的通项公式；

(2)求证：山+晶+屑-|----

(1)解因为一J-=:+2("∈N*),

所以7L—十=2("∈N*),

因为0=4，所以；=2,

ZCl∖

所以数列是以首项为2,公差为2的等差数列，所以；=2+2(〃-l)=2〃(〃GN*),

lɑnjCl∏

所以数列｛小｝的通项公式是α∙=±("WN*).

⑵证明依题意可知

足=(⅛M⅛⅛÷τ

T±T",

所以∏τ+⅛+⅛H------卜忌

出i+i—H4γ+∙→尚—3

=K2-n)4

故曷+元+屑-1—("若

命题点2数列与函数的交汇

例4(2022・淄博模拟)已知在等比数列｛斯｝中，首项αι=2,公比q>l,Z，。3是函数兀0=*

-6Λ2+32X的两个极值点，则数列｛”,,｝的前9项和是.

答案1022

解析由J(x)=∣x3-6X2+32X,

得/(x)=∕-12x+32,

又因为a2,田是函数/(X)=¥—6『+32X的两个极值点，

所以。2,的是函数/(X)=/—12x+32的两个零点，

〃2+。3=⑵

故《一C

32,

因为q>l,所以。2=4,6=8,故q=2,

则前9项和Sg=2?-,)=2H)-2=I022.

1—2

【备选】

1.已知函数兀O=Iog2%,若数列｛斯｝的各项使得2,Xai),共。2)，…，fian),2〃+4成等差数

列，则数列｛%｝的前〃项和Sn=.

答案y(4n-l)

解析设等差数列的公差为乩

则由题意，得2"+4=2+("+l)d,解得d=2,

于是10g241=4,Iθg242=6,10g243=8,…，

β

从而0=24,a2=2903=28,…，

易知数列｛〃“｝是等比数列，其公比4=^=4,

”,24(4,,-l)16

所以Sn=_Tj=T(4”-1).

2∙求证：2+l+22+2+23+3-1l^2"+“<2("GN)•

证明因为任一<为，

Z十〃Z

所以不等式左边<1+苴+*+…

人41.2.3.ln

令A=]+M+RH---F2»,

两式相减得TAu+*+*H------Hg-/F

1-±__«_

12,12“+ɪ,

所以A=2——ɔ,,<2,即得证.

思维升华数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求

出数列的通项或前〃项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进

行不等式的证明.

跟踪训练3(1)(2022・长春模拟)已知等比数列｛”“｝满足：α∣+fl2=20,α2+α3=8O.数列｛瓦,｝满

足与=log2%,其前〃项和为S“，若E⅛7W%恒成立，则2的最小值为________.

ðwI11

答案⅛

解析设等比数列｛小｝的公比为q,

∖a↑+a↑q=20,

由题意可得,∖fin

3q+α∣q'=80,

解得0=4,q=4,

故｛斯｝的通项公式为m=4〃，n∈N*.

rt

bn=IOg2如=log24=2n,

1

Sn=2n+^n(n-∖)∙2=n+n9

6_2”_2*

,

S〃+11/+几+11Iɪ1I1〃'

〃十一

n-ri

令兀T)=X+甘，

则当x∈(0,小1)时，yu)=χ+?•单调递减，

当χd(∙∖∕Γi,+8)时，yζr)=χ+4■单调递增，

I1201I27

又；旭)=3+卞=丁，14)=4+丁=彳，

且〃£N*,苧，

即—Ih_V---=—

1,

S,,+∣1^2O+1^23

故22台，故人的最小值为战.

⑵若S〃是公差不为。的等差数列｛斯｝的前〃项和，且$,S2,S成等比数列，S2=4.

①求数列｛”“｝的通项公式;

②设儿=-ɪ,7“是数列｛儿｝的前n项和，求使得TS系对所有“CN*都成立的最小正整数

a，1。”+1ZU

解①设｛0,,｝的公差为d(d≠O),

则SI—flI,S2=24∣+4,S4=44∣+6</.

因为Si,S2,S4成等比数列，

2

所以ar(4al+6d)=(2al+d).

所以2aιd=cP.

因为d≠0,所以d=24ι.

又因为S2=4,所以0=l,d=2,

所以an=2n-∖.

要使G嗡对所有“GN*都成立，

则有为巧，即∕n≥30.

因为∕n∈N*,

所以m的最小值为30.

课时精练

I.(2022•青岛模拟)从''①Sl="("+号)；②$2=。3，44=功。2；③口=2,。4是“2,a8的等比

中项.”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答.

已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”公差4W0,,∕ι∈N*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

⑵若bn^S2n+ι-S2n,数列｛儿｝的前n项和为W“，求Wn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解⑴选①：

S,,=〃(〃+?)=n2+^n,

令〃=1,得0=1+5，即0=2,

2

所以Sfl=n+n.

2

当时，Sw-ι=(«—1)+M—1,

当〃22时，an=Sn-Sn-ι=2n,又m=2,满足上式,

所以an=2n.

选②：

由S2=S,得。1+。2=。3，得αι=d,

又由44=。1。2,得〃]+3d=〃](〃i+d),

因为d≠0,则αι=d=2,所以斯=2〃.

选③：

由《4是。2,。8的等比中项,得屈=。2。8,

则(oι+3⑨2=3+①3+7公

因为。1=2,dW6,所以d=2,则斯=2几

2w+12π1rt2

(2)Stj=n+n9bn=(2)+2'-(2)-T

2π

所以卬”=3X22+2+3X24+22H-----F3×2+百二•?丁)+2x(1二2)--十n

1—4I—2

-l)=4n+,+2n+,-6.

2.(2022・沈阳模拟)已知正项数列｛〃〃｝的前〃项和为S”且届+i=2S〃+〃+1,。2=2.

⑴求数列｛斯｝的通项公式斯；

(2)若勾=W・2〃,数列｛九｝的前〃项和为7；,求使7›2022的最小的正整数〃的值.

解(1)当相22时，

由晶+1=2S”+∕z+1,怎=2,

得aτl=2Sn-∖+n-1÷1,

两式相减得居+】一若=2CM+1,

2

即c&+∖=d｝t+2an+1=(aw÷1).

1｛斯｝是正项数列，.∙.4rH=%+L

当〃=1时，尾=2αι+2=4,

•=∙∙ci2-0=1,

；•数列｛m｝是以S=I为首项，1为公差的等差数列，，%=〃.

(2)由⑴知儿=加2"=〃0,

Λ7；,=1×2l+2×22+3×23H------∖-n∙2",

27],=1×22+2×23H------F(H-l)∙2π+n∙2π+l,

两式相减得一乙=斗二^一，"2"+1

1—2

=(l-n)2n+1-2,

Λ7],=(n-l)2π+'+2.

,n

..Tl-Tn-↑=n-2>0,

...北单调递增.

8

当〃=7时，r7=6×2+2=l538<2022,

当〃=8时，78=7X29+2=3586>2022,

，使T,,>2022的最小的正整数n的值为8.

3.(2022・大连模拟)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S,”Ss=25,且处一1，a4+l,0+3成

等比数列.

⑴求数列｛小｝的通项公式；

(2)若。=(-1)%+1,〃是数列｛与｝的前〃项和，求乃

解(1)由题意知，等差数列｛斯｝的前〃项和为S“由S5=25,可得S5=5G=25,所以S=5,

设数列｛斯｝的公差为d,

由“3—1,fl4÷1>s+3成等比数列，

可得(6+t∕)2=4(8+4√),

整理得法一4d+4=0,解得"=2,

所以a,ι=43+("-3)4=2〃—1.

⑵由⑴知

⅛=(-1),⅛+l=(-l)π(2n-l)+1,

所以72n=(-l+l)+(3+l)+(-5+l)+(7+l)H-----F[-(4n-3)+l]+(4n-l+l)=4n.

4.(2022.株洲质检)由整数构成的等差数列｛4,,｝满足43=5,a↑a2=2a4.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

⑵若数列｛儿｝的通项公式为儿=2",将数列｛斯｝,｛儿｝的所有项按照“当”为奇数时，为放在

前面；当n为偶数时，如放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛c,,｝,⑦，

a∖