直线和平面所成角

关于直线和平面所成角如图,点Q是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是点P到平面的垂线段pQ

过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；

这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。四.斜线在平面内的射影１.垂线、斜线、射影(１)垂线点P在平面内的射影线段PQ第2页,共18页，2024年2月25日，星期天（2）斜线

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．

斜线和平面的交点叫做斜足。

从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段PR第3页,共18页，2024年2月25日，星期天说明：①平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？PRQST第4页,共18页，2024年2月25日，星期天如图：＿＿＿＿是斜线AC在内的射影，线段BC是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ACB

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．(３)射影直线BC斜线段AC在内的射影第5页,共18页，2024年2月25日，星期天ACBFE说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？第6页,共18页，2024年2月25日，星期天思考：①从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？②从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？ACBDE几何画板测量第7页,共18页，2024年2月25日，星期天如图，AO是平面

的垂线段，AB、AC是平面的斜线段，OB、OC分别是______________________，则有ACBOOB=OC

OB＞OC

AB=AC

AB＞AC

AB、AC在平面内的射影AB=ACAB＞ACOB=OCOB＞OC第8页,共18页，2024年2月25日，星期天ACBO从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短2．射影定理第9页,共18页，2024年2月25日，星期天1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的＿

心。PCBAO练习外第10页,共18页，2024年2月25日，星期天练习2.判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线（）（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线（）（3）两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线，要么是相交直线（）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等（）第11页,共18页，2024年2月25日，星期天

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。五.直线和平面所成的角１.定义ABO第12页,共18页，2024年2月25日，星期天①一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；②一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0

的角。③直线和平面所成角的范围是[0

，90

]说明：第13页,共18页，2024年2月25日，星期天AlBOD

l是平面

的斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是平面

的垂线，B是垂足，直线OB是l在

内的射影，∠AOB(记作θ）是l与平面

所成的角.θ与∠AOD的大小关系如何？COD是内不同于OB的任一直线，过点A引AC垂直于OD，垂足为C.第14页,共18页，2024年2月25日，星期天AlBODθ与∠AOD的大小关系如何？在Rt△AOB中，在Rt△AOC中，∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD∴θ＜∠AOD

拓展：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内任意的直线所成的一切角中最小的角。C２.定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。第15页,共18页，2024年2月25日，星期天例1.如图，AO是平面π的斜线，AB⊥平面π于B，OD是π内不与OB重合的直线，∠AOB=

，∠BOD=

，∠AOD=

，求证：cos

=cos

cos

ABODC

第16页,共18页，2024年2月25日，星期天例2.在正方体