2024年“极光杯”线上测试（二） 数学试题含答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试

数学

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.=sin—+icos—,贝！Jz：

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.设｛%｝是公差不为0的等差数列,%，%，。10成等比数列，贝1=

a5

A.3B.—

2

3.已知正方体平面/片。与平面44。。的交线为/,则

A.IllA、DB.IIIBQC./〃CQD.l//DxD

4.若函数/(%)=b4、+(2-1)-2”有最小值，贝卜的取值范围是

A.(0,1)B.(0,1]C.(；,+8)D.[g,+8)

5.设x,y,zw(0,5),(sinx+cosx)(siny+2cos,y)(sinz+3cosz)=10,贝(J

TCTCTCTC

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.—=x>y>z

4444

6.向量a,6满足=(a+b,a+2b)=30°,贝力a|的取值范围是

A.[V2-1,V2+1]B.[V3-1,V3+1]C.[V5-1,V5+1]D.[V6-1,V6+1]

7.暗箱中有编号为1,2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分,

并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球.记摸球停止时

总得分为X,则E(X)=

A.3B.4C.5D.6

数学试题第1页（共4页）

二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正

确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。

8.对于数集Z,B,它们的Descartes积/x8={(x,y)|xe4)€用，贝U

A.AxB=BxAB.若4屋C,则(4x3)屋(CxB)

C./x(BnC)=(/x3)n(/xC)D.集合{0}xR表示了轴所在直线

E.集合/x/表示正方形区域(含边界)

9.已知直线y=©x-l)经过抛物线C:/=2px(p>0)的焦点尸，与C交于M,N两

点，与C的准线交于尸点，若|屈|而|丽|成等差数列，则

A.0=2B.FP=NF

C.FN=3MFD.k=43

E.|而|=8

10.存在定义域为R的函数/(x)满足

A./(x)是增函数，/"(x)]也是增函数

B./(x)是减函数，/[/(到也是减函数

C.对任意的aeR,f(a)手a,但/[/(x)]=x

D./(x)是奇函数，但/"(x)]是偶函数

E./(x)的导函数1(X)的定义域也是R,且/[/(x)]=-x

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

H.曲线了=7i二7在点弓,；)处的切线方程是.

12.写出一个正整数〃>1,使得(姮+彳)〃的展开式中存在常数项：_______.

Yx

2

13.设双曲线C:》2一J=1m>0)的左、右焦点分别为大，B，|人内|=6,点尸在C

的右支上，当耳;，初时，|尸片卜|尸7引=________;当尸运动时，|尸耳|+—的

1^2I

最小值为________

数学试题第2页(共4页)

14.已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90。的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面

积为2兀，则该圆台体积的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(10分)

在AABC中，sin(4+—)sin(5+—)=cosAcosB.

44

(1)求C；

(2)若AB=6,求我•无的最小值.

16.(10分)

已知数列｛%｝和｛bn｝满足sina“+]=sina„+cosZ>„,cos6„+1-cosbn-sina„.

2222

(1)证明：sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn)；

(2)是否存在内,许，使得数列｛siia.+cos?2｝是等比数列？说明理由.

17.(15分)

设a>0,函数/(x)=x"lnx.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)Wx,求。的取值范围；

(3)若/求a.

18.(15分)

已知二面角点尸ea,尸与棱/的距离为与半平面/所在平面的距

离为3.

(1)求二面角-A的余弦值；

(2)设Bel,AB=1,动点Qe力，满足尸0=5.

(i)求。运动轨迹的长度；

(ii)求四面体尸-体积的最大可能值.

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19.（15分）

设离散型随机变量x和y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P（X=4）=八，

nn

P（Y=cik）=yk9xk>0,yk>0,k=l,2,…，n,=1-指标0（X||y）可

k=ik=i

用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D（XIIy）=之/ln9.

Myk

设X〜B（n,p）,0<p<1.

（1）若y〜5（〃应）,o<q<i,求。（x||y）；

（2）若〃=2,尸（y=左一i）=g,k=i,2,3,求。（x||y）的最小值；

（3）对任意与X有相同可能取值的随机变量y,证明：D（X\\Y）>0,并指出取等

号的充要条件.

20.（15分）

本题分I、n两部分，考生任选其中一部分作答.若多选，则按照I部分计分.

I.（1）如图1,点/在直线/外，仅利用圆规和无刻度直尺，作直线（保留作

图痕迹，不需说明作图步骤）.

（2）证明：一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段（不含端点）；

（3）如图2是一个椭圆C,仅利用圆规和无刻度直尺，作出C的两个焦点，简要

说明作图步骤.

图1图2

22

II.已知点2（4,7）,集合S={（x/）|L+匕<1},点尸©s,且对于S中任何异于P的

1612

点。，都有万•双>0.

22

（1）证明：P在椭圆上+^=1上；

1612

（2）求尸的坐标；

22

（3）设椭圆器+台=1的焦点为片，F2,证明：N4PR=NAPF2.

参考公式：（ad-be）2+（ac+bd）2=（a2+/?2）（c2+屋）.

数学试题第4页（共4页）

2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试

数学参考答案

、选择题

1.C2.B3.A4.A

5.D6.B7.A

二、选择题

8.BCD9.ABCE10.ACD

三、填空题

-5

11.y=----X12.示例：5

4

9V30

13.16；-14・（z下一兀,+8）

2

四、解答题

15.解：

,,JT

(1)由题设知($1114+©054)(51115+8$3)=28$48$5.若cos{cosB=0,则4=§

或5=二,当/=二时，sin（/+?）w0,所以5止匕时4+3＞兀，不合题意.同理

2244

5=二亦不成立.

2

所以(tan/+l)(tan3+l)=2，tanC=-tan(A+B)=----------------=-1,故C=——.

tanAtanB-14

f——>—>

(2)记角Z,B,。所对的边分别为Q,b,c,则。=拒，CA-CB=--ab.

2

272_2B

由余弦定理知cosC=9-------,所以一枝°6=/+62一222。6-2,因此

2ab2

ab<2-41,当a=b=、2-桓时等号成立.

i^CA-CB=--ab>l-^f2,B•在的最小值为1-拒.

2

数学答案第1页（共5页）

16.解：

22

(1)由题矢口5也2%+1=sinan+cosbn+2sin%cos6〃,

222

cosbn+i=cosbn+sinan-2sinancosbn，

222

两式相加可得sin?4+i+cosbn+i=2(sinan+cosZ?w).

22

(2)sinax+cos=0,则｛sin?%+cos?bj不是等比数列.

2222W_1

若sinax+cosax=m>0,贝Usinan+cosbn=mx2,当〃>2—log2m时，

2222

sinan+COS6W>2,但|sin*VI,|cosbn|<1,sinan+cosbn<2,矛盾！

综上，不存在外,许，使得3山24+8$22｝是等比数列.

17.解:

(1)/(%)的定义域是(0,+oo),f\x)=axa~xlnx+xa~x=xa~l(alnx+1).

_j__j__]_

令r(x)=0,得与=e7,所以/(x)在(O,一1)单调递减，在(「1+8)单调递增.

(2)因为x>0,所以/(x)Wx等价于x"Tlnx〈l.记函数g(x)=x"Tlnx.

①当时，g(e2)=2e2(fl-1)>l,不合题意；

-L-1

②当0<°<1时，由(1)知g(x)Wg(e-)=---------<1,解得ae(0,l-eT].

(l-tz)e

综上，。的取值范围是(0,1-

(3)记函数/z(x)=/'(x)=x"T(alnx+1),h'(x)=xa~2[(a2-a)lnx+2a-l].

]i--

①若a=5，h\x)=--x2lnx,〃(x)在(0,1)单调递增，在(l,+oo)单调递减，故

//(x)<A(l)=l,符合题意；

1-2。\—2a

②若ae(0-)，6(x)在(e—,1)单调递减，故贴/工)>6(1)=1,不合题意；

l-2al-2t;

③若a〃(x)在(1,一句单调递增，故〃(e—)>〃⑴=1,不合题意；

④若ae[l,+oo),/z(x)在(1,+co)单调递增，故力(x)>/l)=l,不合题意.

综上，a=L

2

18.解：

(1)设尸在/,《所在平面的射影分别为M,N,则尸M=PN=3.

易知/，平面PAW,贝故或其补角即为二面角a-/-/的平面角，

因此二面角的正弦值为一==工叵，余弦值为亚或-冬位.

<13131313

数学答案第2页（共5页）

(2)(i)因为所以NQ=《PQ2_pN?=4.

①若Qe",则以N为圆心，4为半径的圆在/中的部分是一段优弧，对应圆心角

为会因此。运动轨迹的长度为一；

②若。史B,则以N为圆心，4为半径的圆在A中的部分是一段劣弧，对应圆心角

为g,因此。运动轨迹的长度为

所以。运动轨迹的长度为—或年.

(ii)四面体P-Q48的体积厂=gs//,其中〃=PN=3为尸到平面。N8的距离，

S=；48xd=；为4。/3的面积，4为。到直线48(或/)的距离.

由(i)知，若QG/3,则当0N，/时，1取最大值6；若Q史。，则当QN，/时，

d取最大值2,所以四面体尸-Q/3体积的最大可能值为3.

19.解:

kkk

(1)不妨设殁=%,则4=CfpR-p)"-3yk=Cnq(\-qy-.

所以D(XIIy)=-p)iIn嗯-弁

k=0qQ-q)

p)E+〃In•£CR(1-p)'T

k=0—qk=Q

]P

=np]n+nin-

q(i—p)1一4

(2)当〃=2时，P{X=2)=p2,P(X=V)=2p(l-p),尸(X=0)=(l-p)2.

记f(p)=D(X\\Y)=221n3P2+2;?(1-/?)In6p(\-/?)+(1-p)1ln3(l-p)2,

f\p)二42Inp+2P+(2—4/?)[ln2夕(1一p)+1]—4(1-p)ln(l-p)~2(1-p)

=2[lnp_ln(l_p)+(1—2))In2].

g(P)=In/?-ln(l-/?)+(1-2/7)ln2,=—+—-----21n2>0,g(p)单调递增.

Pl-P

而g(f=O,所以/'(p)在(0,g)为负数，在(g,l)为正数，/(p)在(0、)单调递减,

在(于1)单调递增，D(X||y)的最小值为ln3-辛n2.

数学答案第3页(共5页)

(3)当x>0时，—1,所以—1,BPlnx>l--.

XXX

故。(X||y)=£x%ln*2£/(l—")=£(4-及=0,

k=lykk=\Xkk=lk=\k=\

当且仅当对所有的左，xk=yt时等号成立.

20.解:

I.

（1）如图.

（2）建立适当的坐标系，使椭圆C的方程为e+4=1（4>6>0）.

ab

①若该簇平行直线斜率不存在，它们被椭圆所截弦的中点均在X轴上，因而轨迹是

长轴（不含左、右顶点）；

②若该簇平行直线斜率存在且为左，与椭圆交于/（七,%）,3（X2，%）两点，则有

2222_

^+4=1（*），率=i（**），上竺“（***）.

ababx2-xx

（*）（**）相减得区+勺呼一勺）+（%+%?-=0,

a2b2

结合（***）得&±匹=一£,这表明，弦的中点在定直线了=一与x上，因

占+x2kaka

而弦中点的轨迹是该直线被椭圆所截得的弦（不含端点）.

（3）参考步骤：

①任取椭圆C上4点4,B,D,E；

②过/,3作直线DE的平行线，分别与椭圆交于点厂，G；

数学答案第4页（共5页）

③作弦4F,BG的垂直平分线，分别与弦4F,BG交于点、H,I,则直线印经

过C的中心；

④同理过D,E作直线的平行线，重复以上步骤得到直线砍，JK与HI交于

点。，。即为C的中心；

⑤以O为圆心，适当半径作圆，与C顺次交于点8，P2,P3,舄；

⑥作NPQP?和4P20P3的角平分线，它们所在直线即为C的两条对称轴，两直线与

C交于4点，其中2个点为M,N,且|(W|<|ON|；

⑦以M为圆心，|0N|为半径作圆，与直线ON交于耳，鸟两点，即为C的焦点.

II.

2