2024届新高考数学一轮复习配套练习 二项式定理

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题11.3二项式定

理

练基础

1.（2021・河北•藁城新冀明中学高二月考）已知（l+x）"=a°+aix+a2x2+...+a“xn,若

。0+。1+。2+...+丽16,贝IJ自然数"等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2021•福建宁德•高三期中）对任意实数X,有

4234

x=aQ+ax-（x-2）+•（x-2）+-（x-2）+a4-（x—2）,则4=（）

A.6B.7

C.8D.10

3.（2017•全国高考真题（理））（x+y）（2x-y”的展开式中力丁3的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

4.（2021・上海•闵行中学高三期中）（奴+：］展开式的常数项为20,则实数〃=

5.（2021・上海•曹杨二中高三期中）在（/+：）的展开式中，二项式系数之和为256,则展

开式中X4项的系数为.

6.（2021•广东福田•高三月考）已知多项式（工+1丫+（工一1）4=/+〃/+%/+为x+a4，则4=

7.（2021•浙江•模拟预测）已知/=%（2x+l），+%（2x+l）4++q（2x+l）+%,贝lj4=

8.（2021・浙江•模拟预测）已知。+1）8=%+幷+-・+小/，/的系数为；系数最大的

项是第项.

9.（2020•上海市浦东中学高三月考）在（a+二-）"的二项式中，所有项的二项式系数之和为

2x

256,则常数项等于.

10.（2021•山东师范大学附中高三月考）在二项式卜-1）的展开式中恰好第3项的二项式

系数最大，则展开式中的常数项是.

练提升

1.（2021.河北.唐山市第十中学高三期中）若

3450122012

(1+x)+(l+x)+(l+x)++(1+x)''=a0+axx+a2x++a2012x,则如等于()

2.【多选题】（2021•贵州遵义•高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数

1

1）c7,可得到如图所示的分数三角形，成为"莱布尼茨三角形"，从莱布尼茨三角形可

111

以看出，存在X使得/+=77^~，则X的值是（）.

+（n+l）C„nC„_1

25

£丄丄

363

丄111

412124

]_111]_

52030205

]_11丄丄1

6306060306

A.rB.r—\C.r+1D.r+2

3.【多选题】（2021•湖北武汉•高三期中）已知二项式（or-A），则下列说法正确的是（）

A.若a=2,则展开式的常数为60

B.展开式中有理项的个数为3

C.若展开式中各项系数之和为64,则〃=3

D.展开式中二项式系数最大为第4项

4.（2021•全国•模拟预测）（3-d，x-的展开式中，/项的系数是.（用数

字作答）

5.（2021•浙江♦学军中学高三期中）在6-的展开式中，所有项的系数和为64,则"=

.常数项的系数为.

6.（2021・河南•高三月考（理））若卜+£|（2x-J）的展开式中各项系数的和为0,则该展

开式的常数项为.

7.（2021•全国•高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第行会出

现三个相邻的数的比为3:4:5.

1

11

121

1331

14641

15101051

8.（202L浙江,模拟预测）二项式（6+：］的展开式中，常数项为,系数最大

的项为.

9.（2021,全国•高二课时练习）求（5|+吉-2）的展开式中的常数项.

10.（2021・全国•咼二课时练习）求（1+X），+（1+x）'+（1+X）'++（1+A：）込+（1+］尸）的展开式

中含V的项.

练真题

一—丿

1.（2019•全国高考真题（理））（1+2/）（1+x）4的展开式中V的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

2.（2020•北京高考真题）在（五-2）5的展开式中，/的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

2

3.（2020•全国高考真题（理））（x+2-）（x+y）5的展开式中W的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

4.（2021.北京高考真题）（V-丄戸展开式中常数项为.

X

5.（2021•浙江高考真题）已知多项式（X—1）3+（X+1）4=/+。雜3+出厂+Cl^x+。4，则4=

,%+%+%=•

6.（2019•浙江高考真题）在二项式（亚+"）9的展开式中，常数项是_______；系数为有

理数的项的个数是.专题11.3二项式定理

练基础

1.（2021•河北,藁城新冀明中学高二月考）已知（1+工）"二的+0这+02%2+..+0叱，若

00+。1+。2+...+。产16,贝IJ自然数"等于（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】c

【分析】

利用赋值法，令x=l即可求解.

【详解】

解：因为(1+x)”=ao+aix+02x2+...+aH,且ao+ai+a2+...+an=16,

令x=l,则(1+1)"=2"-oo+oi+02+...+an=16,

所以〃=4,

故选：C.

2.(2021•福建宁德•高三期中)对任意实数X,有

X」=4+4,(x―2)+a,,(x-2)~+名,(x—2)。+%■(x-2)4,贝lj%=()

A.6B.7

C.8D.10

【答案】C

【分析】

运用二项式定理进行求解即可.

【详解】

x4=(2+x-2)4=[2+(x-2)]4,因此4=C，2"3=4x2=8,

故选：C

3.(2017•全国高考真题(理))(x+y)(2X-y)5的展开式中％3丁3的系数为(

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】C

【解析】

(x+y)(2x-4=x(2x-»+y(2x-y)’,

r

由(2x-4展开式的通项公式Tr+l=C；(2x)*(-y)可得：

当r=3时，x(2x—y)s展开式中的系数为C；X22X(—炉=-40；

当r=2时，y(2x—4展开式中丁V的系数为c；x23x(—1)2=80,

则dy3的系数为80-40=40.

4.(2021•上海•闵行中学高三期中)(依+：)展开式的常数项为20,则实数。=

【答案】

【分析】

由二项展开式通项公式写出常数项，从而可求得参数。.

【详解】

展开式通项公式为7；M=C；(ar)6-'(2)=2ra6-rQx6-2r,6-2r=0,r=3,

所以2%3烧=20,a=~,

故答案为：;.

5.(2021•上海・曹杨二中高三期中)在的展开式中，二项式系数之和为256,则展

开式中犬项的系数为.

【答案】1120

【分析】

根据二项式展开式的二项式系数和为2"=256,求出n的值,再写出二项式的通项公式为

&=C；，产(2)=2JC19田,当16-3r=4时，即可求出x4的系数

【详解】

(d+展开式的二项式系数之和为C：+C：+d+...+C；=2"=256n〃=8

12+|J展开式的通项公式=禺,户0=2,•C；・*”

当16-3r=4时,r=4,即7；=24(：­/=1120/

则展开式中x4的系数为1120

故答案为：1120

6.(2021•广东福田•高三月考)已知多项式(_¥+1)3+(%-1)4=/+4戸+限2+。3》+4,则4=

【答案】-3

【分析】

由题意，卬为V的系数，*+1)3和(X-1)4的展开式中都包含/项，利用二项式展开的通项

公式，即得解

【详解】

由题意，4为X啲系数，(X+1Y和(X-1)"的展开式中都包含V项

故qx3=Cfx3+C>3x(-1)=-3x3

故4=-3

故答案为：-3

7.（2021•浙江•模拟预测）已知x5=%（2x+l）'+%（2工+1）4++4（2X+1）+%,则%=

【答案】弓

【分析】

由X5=\［（2X+1）-1F，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定为对应的「值，即可

求久.

【详解】

戸qg+D-if,则展开式通项为乙=、G（2x+i产（TA,

Elr=l时，%=看。；*（-1）=-\

故答案为：-二

32

8.（2022浙江,模拟预测）已知（x+l）8=a°+qx+…+为/，/的系数为；系数最大的

项是第项.

【答案】285

【分析】

先求出二项式展开式的通项公式，然后令X的次数为2,求出乙从而可求出，•，利用二项

式的性质可求得系数最大的项

【详解】

*+庁展开式的通项公式为畫+1=品f-"令8-厂=2,得r=6,

所以炉的系数为C；=28,

因为（x+l）s的展开式有9项，所以由二项式的性质可知系数最大的项是第5项，

故答案为：28,5

9.（2020•上海市浦东中学高三月考）在（扳+亠）"的二项式中，所有项的二项式系数之和为

2x

256,则常数项等于.

【答案】7

【分析】

先通过2"=256求出“，再通过二项展开式的通项公式，令x的次数为。即可求出常数项.

【详解】

由己知得2"=256,解得"=8

必+身的展开式的通项公式为J=C；即广售J=禺6J3，

故常数项为4==7.

故答案为：7.

10.(2021•山东师范大学附中髙三月考)在二项式卜-g1的展开式中恰好第3项的二项式

系数最大，则展开式中的常数项是.

【答案】6

【分析】

由已知，根据二项式定理可得”=4,再利用二项展开式的通项公式即可求解

【详解】

由已知，展开式中恰好第3项的二项式系数最大可知，〃=4.

根据二项式定理设第r+1项是常数项，

则：Tz=C；a“P=c；j=C；(-l)r(xp,

令4-2r=0,解得r=2,所以常数项是1=C：(T)2=6

故答案为：6

练提升

■沙

I.(2021.河北.唐山市第十中学高三期中)若

345222

(1+x)+(1+x)+(1+^)++(l+x)'"'=aH+atx+a2x++。232*°巴则旳等于()

A.C；oi2B.GonC.C；()|3D.ejog

【答案】C

【分析】

由已知条件可知的为展开式中/的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.

【详解】

解：由已知条件可知如为展开式中V的系数，

则%=c；+c：+C++C気

=C,+c：+G++c；®2

=c：+

=C：012+C；012~C；013•

故选：c.

2.【多选题】（2021•贵州遵义♦髙二期末（理））将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数

1

所后,可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形"，从莱布尼茨三角形可

111

以看出，存在x使得，，丄=77^~，则》的值是（）.

丄丄

~2~2

1丄丄

363

1111

412124

]_111丄

52030205

丄1111丄

6306060306

A.rB.r-\C.r+1D.r+2

【答案】C

【分析】

根据题意由志-咼后品河可知是第〃行的第'个数减去下一行的第'个数,等

于下一行即第"+1行的第X个数，结合数图进行举例即可得解.

【详解】

根据题意可得志-鬲冠=鬲方,

即是第"行的第，•个数减去下一行的第r个数,

等于下一行即第〃+1行的第X个数，

其中”=1,2,3,•,r=0,l,2,,n-\.

当"=2/=0时，为:一:=」,

236

当〃=3,r=l时，为:—等等.

01212

由图知（〃+；）c；是与同一行的右边一个数'

所以是第"行的第r+1个数,故％=r+1.

故选：C

3.【多选题】（2021•湖北武汉•高三期中）已知二项式（or-9］，则下列说法正确的是（）

A.若a=2,则展开式的常数为60

B.展开式中有理项的个数为3

C.若展开式中各项系数之和为64,则a=3

D.展开式中二项式系数最大为第4项

【答案】AD

【分析】

写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析

【详解】

（_丄丫6_3

A选项：当a=2时，小=C；（2X）6-’--=（-l）'C；26-%下，其中/"为整数，且04r46,

\/

3

令6-丁=0,解得：r=4,此时（-l）'G26T=15x4=60,故常数项为60；A正确；

/1\r3

B选项：&=禺3广__=（_iyc"-"r,其中/•为整数，jao<r<6,

\7

当r=0时，6-39=6,当厂=2时，6-3=r=3,,当r=4时，6-3=r=0,,当/'=6时，

222

6-|r=-3,满足有理项要求，故有4项，故B错误；

C选项：令中的x=l得：（a-l）''=64,所以“=3或a=T,故C错误；

D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中

二项式系数最大为第4项，D正确

故选：AD

4.（2021•全国•模拟预测）（3-x2）（x-gj6的展开式中，一项的系数是.（用数

字作答）

【答案】65

【分析】

先写出卜-gj的展开式的通项，令3与展开式的Y项相乘，--与展开式的常数项相乘，

相加即为*2项，计算系数即可

【详解】

由题意，1的展开式的通项加=晨尸卜=晨(-1)‘尸"

令6—27=2,得r=2,得。=或(―:炉=15%2；

令6-2/•=(),得i=3,得7；=《(-1)，。=_20.

故(3-巧.1_£|的展开式中，/项的系数为3xl5+(-1)x(-20)=65.

故答案为：65

5.(2021•浙江♦学军中学高三期中)在卜-子)的展开式中，所有项的系数和为64,则"=

.常数项的系数为.

【答案】61215

【分析】

令x=l,即可得到展开式所有项的系数和，从而求出〃，再写出展开式的通项，即可求出展

开式中的常数项；

【详解】

解：令x=l,则(1-3)"=64,即(一2)"=64,解得〃=6；

即口一協)展开式的通项为配产卜京)=或丿予(一3)"令6-9=0,即，=*

故展开式中常数项为7；=C：x°(-3y=1215

故答案为：6,1215；

6.(2021•河南•高三月考(理))若卜+£|(2x-£|的展开式中各项系数的和为0,则该展

开式的常数项为.

【答案】-120

【分析】

根据，+EI2X-/J的展开式中各项系数的和为0,令x=l求得a,再利用通项公式求解.

【详解】

5

因为卜:+外俨-丿的展开式中各项系数的和为0,

令K=1得1+。=0,

解得。=-1,

所以（X-J（2X-》5的常数项为'或（2x）21/|［：C；（2X）［-：J=T20.

故答案为：-120

7.（2021•全国•高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第行会出

现三个相邻的数的比为3:4:5.

1

11

121

1331

14641

15101051

【答案】63

【分析】

设第〃行第％+1/+2«+3个数的比是3:4:5,列方程求解可得.

【详解】

根据题意，设所求的行数为〃（〃€N“），则存在自然数使得渴=；且需■=（，化简得

GT4C“_］>

八13k424

且」^=3,解得*=26，〃=63.故第63行会出现满足条件的三个相邻的

n-k-\4n-k-25

数.

故答案为：63.

8.（2021•浙江•模拟预测）二项式（石+（］的展开式中，常数项为,系数最大

的项为.

【答案】1520x2

【分析】

先求得（4+丄）6展开式的通项，令X的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由

X

求解

【详解】

（五+丄F展开式的通项为&=c：（6）F与=,

XX

3

令3-》=0,解得厂=2,

所以厶=*=15,即常数项为15,

设系数最大的项为项,

------：——>

r!(6-r)!"

6!、

r!(6-r)!-(r+l)!(5-r)!

解得r=3,

所以系数最大的项为n=2o『3.

；

故答案为：1520X4

9.(2021•全国•高二课时练习)求(|x|+三一2)的展开式中的常数项.

【答案】-20

【分析】

0回+《］-"=(府-矗)，，写出通项，令》的指数为0,即可求得展开式中的常数项•

【详解】

:(1x1+±-2)=(加一意)6,

则I”=熹)，=，

y/\x\

令6-2「=0,则r=3,

.•.5=(-1)3.屋=-20.

所以常数项为-20.

10.(2021•全国•高二课时练习)求(l+x)3+(l+x)4+(l+x)5++(l+x)'9+(l+x)2。的展开式

中含V的项.

【答案】5985*3

【分析】

根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解.

【详解】

由(1+X)，+(1+X)'+(1+x)'++(1+X)"+(1+X)”,

3333

可得展开式中含V的项为：c>++C1x+.+C^ox=(Cl+C^+C^+..+C^0)x

=©+C；+C；++C；。"=(C；+C；++点"=.=C；「x3=5985*3.

练真题

1.(2019•全国高考真题(理))(1+27)(1+x)'的展开式中/的系数为()

A.12B.16C.20D.24

【答案】A

【解析】

由题意得d的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.

2.(2020•北京高考真题)在(厶-2)5的展开式中，炉的系数为().

A.-5B.5C.-10D.10

【答案】C

【解析】

(4-2/展开式的通项公式为：加=G(6厂(-2)'=(-2)'中方，

5—r1

令j-=2可得：r=1，则炉的系数为：(―2)C；=(—2)x5=TO.

故选：C.

2

3.(2020•全国高考真题(理))5+二)(x+y)5的展开式中A34的系数为()

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

(x+y)5展开式的通项公式为=G/Ty，(rwN且r<5)

所以x+q)的各项与(x+y)5展开式的通项的乘积可表示为：

22

xTr+}=XC；产了=黑产了和匕&।=二=Q/y+2

XX'

在无［M=C#6-，y中，令r=3,可得：x%=C；xR,该项中％3y3的系数为10，

22

在上_心=c#1y+2中，令r=l，可得：乙7；=。13y3,该项中无3y3的系数为5

X'X

所以Vy3的系数为10+5=15

故选：c

4.（2021.北京髙考真题）（V-丄/展开式中常数项为

x

【答案】-4

【详解】

试题分析：V的展开式的通项（+1令r=3

得常数项为7；=（-1）3©=-4.

5.（2021•浙江咼考真题）已知多项式（X—1）3+（X+I）4=/++的厂+ClyX+。4，则q=

,a2+a3+a4=.

【答案】5;10.

【解析】

根据二项展开式定理，分别求出（x-l）3,（x+4）4的展开式，即可得出结论.

【详解】

（x-1）3=/_3x~+3x—1,

（x+1）4=x4+4x3+6x2+4x+1,

所以4=1+4=5,〃2=—3+6=3,

%=3+4=7,%=—1+1=0,

所以。2+。3+。4二1°.

故答案为：5,10.

6.（2019•浙江高考真题）在二项式（、伝+x）9的展开式中，常数项是________；系数为有

理数的项的个数是

【答案】16发5

【解析】

（夜+x）9的通项为J=G（3）9-"«=0,l,29）

可得常数项为7；=《（0）9=11伤，

因系数为有理数,「=1,3,5,7,9,有岂,岂,看,豆,几共5个项

专题11.4随机事件的概率与古典概型

练基础

1.（2021・全国•高一课时练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3

次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

2.（2021・全国•高一课时练习）已知4与8是互斥事件，且P（A）=0.3,P（8）=0.1,则P（A+8）

等于（）

A.0.1B.0.3C.0.4D,0.8

3.（2019•全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相

邻的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

6432

4.（2021•广东顺德•高二期中）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中

率为80%,第二场投篮30次的命中率为70%,则该同学这两场投篮的命中率为（）

A.72%B.74%C.75%D.76%

5.（2021•广东•佛山市南海区九江中学高二月考）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8,

两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是（）

A.0.2B.0.3C.（）.5D.0.8

6.【多选题】（2021・广东•仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（）

A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率

B.某种福利彩票的中奖概率为焉，买1000张这种彩票一定能中奖

C.连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为読

D.某市气象台预报"明天本市降水概率为70%”,指的是：该市气象台专家中，有70%认为

明天会降水，30%认为明天不会降水

7.（2021•全国•高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋

的质量（单位：g）分别为：492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,

501,502,504,496,492,496,500,501,499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋

装食品质量在497.5-501.5g之间的概率为.

8.（2021•全国•高一课时练习）从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率

为0.22,质量不小于2.50g的概率为0.20,则质量在2.45〜2.50g范围内的概率为.

9.（2021•全国•高一课时练习）操作1：将1000粒黑芝麻与1000粒白芝麻放入一个容器中，

并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.操作2：将1500粒黑芝麻

与500粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝

麻的频率.通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合而成，

你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？

10.（2021•北京丰台•高二期中）从两个黑球（记为用和层）、两个红球（记为K和&）从

中有放回地任意抽取两球.

（1）用集合的形式写出试验的样本空间；

（2）求抽到的两个球都是黑球的概率.

练提升

J」

1.（2021•北京丰台•髙二期中）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个

黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）

1।2

A.-B.-C.-D.1

323

2.（2021•北京市第八中学怡海分校高二期中）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事

件"只有一次中靶”互斥而不对立的是（）

A.至少一次中靶B.至多一次中靶

C.至多两次中靶D.两次都中靶

3.（2021•全国•高三月考（文））2019年版高中数学人教A版教材一共有5本.分别是《必修

第一册》《必修第二册》《选择性必修第一册》《选择性必修第二册》《选择性必修第三册》，

在一次数学新教材培训会议上，主持人刚好带了全套5本新教材，现从中随机抽出了3本送

给在场的培训学员，则恰有1本选择性必修的新教材被抽到的概率为（）

3311

A.-B.—C.-D.一

51035

4.（2021•广西南宁•高三月考（文））哥尼斯堡"七桥问题”是著名的古典数学问题，它描述的

是:在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图1）.

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧

拉于1736年研究并解决了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明

了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与厶

直接相连的概率为（）

图1图2

5.（2021•广东•广州市协和中学高二期中）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.

比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概

率都为：，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为

)

6.（2021•广东•仲元中学高一期末）数学多选题A,B,C,D四个选项，在给出的选项中，

有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学

多选题正确答案为BCD,小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3

个选项，则他能得分的概率为（）

1722

A."B.—C.-D.一

21655

7.（2021•上海市松江二中高二月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的

概率为.

8.（2021•北京市第八中学怡海分校高二期中）1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，

其中有2个红色球（标号为1和2）,2个绿色球（标号为3和4）,从袋子中依次不放回地

摸出2个球.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求摸出的2个球颜色相同的概率.

9.（2021•浙江•台州市路桥区东方理想学校高二月考）从编号为4B、C、。的4名男生和

编号为m、"的2名女生中任选3人参加演讲比赛.

（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；

（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；

（3）求所选3人中至少有一名女生的概率

10.（2021•陕西•西安中学高二月考（理））福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同

学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组.

（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验,

求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；

（3）试验结束后，同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74；同学8得到的试验数据

为69,70,70,72,74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由.

练真题

1.（2021•山东•高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、

孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）

2211

A.-B.—C.—D.-

9342

2.（2020•海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球

或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生

数占该校学生总数的比例是（)

A.62%B.56%

C.46%D.42%

3.（2020•全国高考真题（文））设。为正方形4死9的中心，在。A,B,C,〃中任取3

点，则取到的3点共线的概率为（）

4.（2019•江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则

选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是____.

5.（2020•江苏省高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

则点数和为5的概率是_____.

6.（2017•山东高考真题（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家4,A2,4和3个欧洲

国家区，区，区中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括4,但不包括5的概率.专

题11.4随机事件的概率与古典概型

练基础

1.（2021・全国•高一课时练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3

次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.9

【答案】D

【分析】

直接利用频率的公式求解.

【详解】

由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9,

所以此人中靶的频率是訐0.9.

故选：D

2.（2021•全国•高一课时练习）已知A与B是互斥事件，且尸（由=0.3,［（5）=0全,则P（A+B）

等于（）

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.8

【答案】D

【分析】

根据互斥事件概率的加法关系即可求解.

【详解】

由题：厶，8是互斥事件，

所以尸（A+B）=P（4）+P（B）,

K/＞（A）=1-P（A）=1-0.3=0.7,,

则P（A+8）=产（A）+P（8）=0.8.

故选：D

3.（2019•全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相

邻的概率是（）

1„1„11

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【解析】

两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排

丄

法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是万.故选D.

4.（2021•广东顺德•高二期中）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中

率为80%,第二场投篮30次的命中率为70%,则该同学这两场投篮的命中率为（）

A.72%B.74%C.75%D.76%

【答案】B

【分析】

根据题意可直接计算.

【详解】

该同学这两场投篮的命中率为-----赤荷------=74%.

故选：B.

5.（2021•广东•佛山市南海区九江中学高二月考）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8,

两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是（）

A.0.2B.0.3C.（）.5D.0.8

【答案】B

【分析】

甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据

互斥事件的概率加法公式进行求解即可.

【详解】

甲不输棋的设为事件厶，甲胜乙设为事件B,甲乙下成平局设为事件C,

则事件4是事件B与事件C的和,显然8、C互斥，所以P（A）=P（3）+P（C）,而P（A）=0.8,

P（C）=0.5,所以P（B）=尸（A）—P（C）=0.3,所以甲胜的概率是0.3

故选:B

6.【多选题】（2021•广东•仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（）

A.随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率

B.某种福利彩票的中奖概率为焉，买1000张这种彩票一定能中奖

C.连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为益

D.某市气象台预报"明天本市降水概率为70%",指的是：该市气象台专家中，有70%认为

明天会降水，30%认为明天不会降水

【答案】BCD

【分析】

根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.

【详解】

由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事

件发生的概率，A正确，

某种福利彩票的中奖概率为焉，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，

掷一枚硬币出现反面的概率为C错误，

某市气象台预报"明天本市降水概率为70%”,指的是明天有70%的可能会降水，D错误，

故选：BCD.

7.（2021•全国•高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋

的质量（单位：g）分别为：492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,

501,502,504,496,492,496,500,501,499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋

装食品质量在497.5〜501.5g之间的概率为.

【答案】0.25

【分析】

找到质量在497.5-501.5g之间的袋数由频率可得答案.

【详解】

质量在497.5〜501.5g之间的有498,501,500,501,499共5袋，

所以其频率为三=0.25,由此我们可以估计质量在497.5-501.5g之间的概率为0.25.

故答案为：0.25.

8.（2021・全国•高一课时练习）从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率

为0.22,质量不小于2.50g的概率为0.20,则质量在2.45〜2.50g范围内的概率为.

【答案】0.58^

【分析】

利用概率的性质计算出所求概率.

【详解】

依题意质量在2.45〜2.50g范围内的概率为1-0.22—0.2=0.58.

故答案为：0.58

9.（2021•全国•高一课时练习）操作1：将1000粒黑芝麻与1000粒白芝麻放入一个容器中，

并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.操作2：将1500粒黑芝麻

与500粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝

麻的频率.通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合而成，

你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？

【答案】答案见解析

【分析】

利用频率估计概率的思想可得出结论.

【详解】

通过两次操作，我们会有所发现，比如：

操作】中，黑芝麻的频率为誌乐4

操作2中,黑芝麻的频率为就鵰T

在搅拌均匀的前提下，由此可想到可将这袋芝麻搅拌均匀后从中取出一杯，

将此杯中黑芝麻的频率作为黑芝麻所占的百分比的估计.

10.（2021•北京丰台・髙二期中）从两个黑球（记为用和层）、两个红球（记为耳和&）从

中有放回地任意抽取两球.

（1）用集合的形式写出试验的样本空间；

（2）求抽