河南省普通高中2023年新课程高考适应性考试数学（理）试卷

河南省普通高中2023年新课程高考适应性考试〔一）

数学〔理〕试题

本试题卷分第1卷（选择题）和第二卷（必考题和选考题两局部）。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题考前须知见

答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

I.全集U=R,集合A={1,2,3,4,5）,B={x|x>2},以下图中阴影局部所表示的集合为

A.{0,1,2}B.{1,2}

C.{1}C.{0,1}

2.复数z=F—二，在复平面上对应的点位于

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限

及,ae(04),

3.假设sina+cosa=那么tancif二

B.一6C.手

A.5/3

-T

4.命题使得x+'<2,命题q:VxeR,x2+x+i>0,以下命题为真的是

X

A.pAqB.(—ip)AqC.pAD.(-)/7)A(-1(7)

5.某三棱锥的侧视图和俯视图如下图，那么该三棱锥的体积为

他视15俯染加

A.46B.86C.126D.246

6.aABC中，C=45°,那么sin2A=sii?B一及sinAsinB二

11叵3

A.B.C.D.

4224

ln(-x),x<-2,

7.如图是计算函数卜=<0,—2<xW3,的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的是

2\x>3

A.y=ln-x),y=0,y=2x

B.y=0,y=2x,y=In(一x)

C.y=in(-x),y=2z,y=0

D.y=0,y=ln(一x),y=2x

8.a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c满足

(a-c)-(b—c)=0,那么|c|的最大值是

72

A.1B.-----

2

C.2D.-J1

9.A,B,C,D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，ADJ_平面ABC,AD=2AB=6那么该球的外表积为

A.164B.244C.32A/34D.484

10.在二项式（6+2）"的展开式中，各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,那么展开式中常数项的

X

值为

A.18B.12C.9D.6

11.函数/（%）=sir）0x+cos8（0>O）,如果存在实数xi，使得对任意的实数x,都有/（内）工/（x）K/（X+2012）成立,

那么①的最小值为

171_171

A.-------B--------C.-------D.-------

2012201240244024

下22

12.过双曲线F—==1（。>0/>0）的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,

a"b

假设A,B,C三点的横坐标成等比数列，那么双曲线的离心率为

A.73B.75C.V10D.713

第二卷

本卷包括必考题和选考题两局部，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22〜24题为选考题，考生

根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每题5分。

4x+y-9>0

13.函数满足,x-y-140，则z=x-3y的最大值是。

”3

14.圆C:（x-a）?+（y-6）2=S（ab>0）过坐标原点，那么圆心C到直线/:-+^-=1距离的最小值等于____.

ba

15.函数/（X）是（-8,+00）上的奇函数，且/（X）的图象关于直线X=1对称，当XG[-l,0]时，

〃幻=1一（权,贝犷（2012）+/（2013）=.

16.如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点M.那么

点M恰好取自阴影局部的概率是.

三'解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题总分值12分）

、52

数列｛〃"｝中4=L%=4,满足，%.2=§。向-§巴.

（I）设2=4+1-4,求证数列｛%｝是等比数列;

（II）求数列｛。“｝的通项公式.

18.（本小题总分值12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到局部频率分布直方

图（如图），观察图中的信息，答复以下问题.

(1)求分数在［70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图：

(H)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；

(HI)假设从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在［40,70)记0分，记［70,100］记1分，用X表示抽取结束后的

总记分，求X的分布列和数学期望。

19.(本小题总分值12分)

如图。在直三棱柱ABC—A|B|Ci中，AB=BC=2AAi，ZABC=90°,M是BC中点。

(I)求证：AiB〃平面AMCi；

(II)求直线CC与平面AMG所成角的正弦值；

(III)试问：在棱AIBI上是否存在点N,使AN与MG成角60。？假设存在，确定点N的位置；假设不存在，请说明理

由。

20.(本小题总分值12分)椭圆C的方程为二■+去=1(。>6>0),左、右焦点分别为Fi、F2,焦距为4,点M是椭圆C上

一点，满足ZFtMF2=60°,且4,；心=天一.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点P(0,2)分别作直线PA,PB交椭圆C于A,B两点，设直线PA,PB的斜率分别为ki，k2,且仁+&=4,

求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21.(本小题总分值12分)

函数f(x)=ln(x+1)-/(0)x-/'(0)x2+2.

(1)求f(x)的解析式及减区间;

(2)假设/(x)4V+ax+6,求上二的最小值。

67+2

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做.那么按所做的第一题记分.做答时请写清题号。

22.(本小题总分值10分)选修4一1：几何证明选讲

在AABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是AADF的外心。

(I)证明：D,E,F,O四点共圆；

(II)证明：O在NDEF的平分线上.

23.(本小题总分值10分)选修4〜4：坐标系与参数方程

x=1+fcosa,

在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度

y=2+fsin(z

单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为0=6sin6.

(I)求圆C的直角坐标方程；

(II)设圆C与直线/交于点A,B.假设点P的坐标为(1,2),求1PAi+IP8I的最小值.

24.(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲

设函数/(x)=2|x-2|-x+5.

(I)求函数/(x)的最小值m；

(II)假设不等式|x-a|+|x+2|2机恒成立，求实数a的取值范围.

2023年河南省新课程高考适应性考试〔一〕

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题〔每题5分，共60分〕

题号123456789101112

答案CCDAABBDDCBC

二、填空题〔每题5分，共20分〕

(13)-1(14)V2(15)I(16)-

6

三'解答题

92

(17)解：(I)递推公式可化为J-%=；(--4),即%=3........................3分

又&-4=3,

所以数列协”｝是首项为3,公比为(2的等比数列..........5分

(II)由(I)可知,瓦=3(士尸,所以——=3(1.................7分

=4+(a2-4)+(/-%)+(4-/)++(%一%)

=1+3+3(|)+3(|)2++3(|)--2

0

=1+3——^—=10-9(-)2"-'..........12分

1--

3

(18)解：(I)设分数在［70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，

那么有(0.01-10.015*2+0025+0.005)乂10+_«=1,可得尸0.3.

所以频率分布直方图如下图：

一频率/组距

0.035

.........4分

(II)平均分为：x=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05

=71.............6分

(III)学生成绩在［40,70)的有0.4x60=24人，在［70,100］的有0.6*60=36人，

且X的可能取值是0,1,2.

那么P(X=0)=§=曳，P(X=1)=^^=—,P(X=2)=^-=—

Q295%295Cl,295

所以X的分布列为:

X012

46144105

p

295295295

ruz2c46,,144,c105354

所以EX=0x——+lx——+2x——=——12分

295295295295

(19)解：(I)连接4c交AG于O,连接QM在三角形A8C中,

QM是三角形ABC的中位线，

所以QM//AB,

又因。Mu平面AMC),

所以QM〃平面A"G............4分

(II)(法一)设直线CG与平面AM£所成角为6,

C点到平面AMG的距离为〃，不妨设4\=1,那么AB=BC=2,

因为%TMC=gsAMC=gx2xl=|,

2__1.

所以％_AA/C§_1%Z-AHG_33cAMCt'”,5分

因为AM=>/^AG=3,"G=0,

所以cosZC,AM=5+3-1=—,sinZC,AM=—.

2x3xV555

Sx=；x3x氐inN£AM=竽、争=3.

%-AMC=§=§Sh=h,

z2.q2Q八

h=一,sin6=—...........8分

33

(法二)如图以8C所在的直线为x轴，以以所在

的直线为y轴，以所在的直线为z轴,

以B4的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

那么8(0,0,0)，以2,0,0),40,2,0),Af(1,0,0),C/2,0,1),旦(0,1,0),A(0,2,1).设直线CC,与平面AMC1所成角

为0,平面AMC1的法向量为n=(x,y,z).那么有CC、=(0,0,1),AM=(1,-2,0),C.M=(-1,0,-1),

w.CM=0,x-2y=0,.加

<=>令冗=2,得〃=(2,1,-2),

n.AM=0,-X-z=0.

设直线CC、与平面AMC,所成角为0,

那么sinO=kos<>|=仔=］...........8分

(III)假设直线AM上存在点N,使AN与MG成角为60.

设N(0也1),那么AN=(0,6-2,1),MC,

设其夹角为a，

所以，cosa=.—.

-2)2+14+12

11

司dl+l5，

/_=L=0"(/?-2)2+1=2=b=l或Z?=3(舍去),

⑸s-2)2+12W

故N(0,l,l).所以在棱—上存在棱—的中点N,使AN与MG成角60.12分

(20)解:(I)在，［“工中，设/,^M=々由余弦定理得4/=42+］一2代cos60”,

22

即4c2=(4+r2)-2rir2-2r1r2cos60,即4c?=(彳+r2)-3/j^,得3依=4/.

又因为如””〈会加60'=芈,七=?'y=4,

233

又因为2c=4,所以片=从十°2=8,

所以所求椭圆的方程为工+《=1...........5分

84

?

(II)显然直线A8的斜率2存在，设直线方程为y，A(xpy1),B(x2,>2),

,(y=kx+m,*1

由<),得Y+2(日+疗=8,即(2k2+l)x2+4knvc+2w2-8=0,

[x-+2»=8

-Ahn2(府-4)

A=(4km)2-4(2公+l)(2/n2-8)20,

7r

由%+N=4得，AZZ+AZ2=4,

又y.=kx}+m,y2=kx2+tn,

内x?

那么,+〃-2+如+加-2=4,2氏+(〃-2)区+/)=4,

百x,洛

-4km

(加一2)1

2k+-----^^-=4^m=k-2,

2(/n2-4)

2k2+1

那么y=kx-^-m=>y=kx+k—2=>y=k{x+1)—2,

那么直线AB过定点(-1,-2)...........10分

因为△=(4七〃f-4(2&?+l)(2w2一8)20,m=k—2,

14k(k-2)]2-4(2/c2+l)[2(jt-2)2-8]>0,4k2(k-2)2~(2k2+1)(2公-8k)^O,

2k°(k-2f-(2k2+1)(丸-4k)N0,k[2k(k-2尸一(2尸+1)(/:-4)]》0,

4

化(72+4)2(),所以左，。或AW——...........12分

7

(21)解：(I)令x=O得f(0)=2,/'(x)=---2-3/'(0)x,所以尸(0)=T,

x+1

f(x)=\n(x+\)-2x+x2+2,..........3分

/,U)=-!-+2X-2=^^

x+1x+1

由/⑺<。得一条x<4,"幻的减区间为(一冬争.……5分

(II)由题意ln(x+1)-2x+x2+2x2+or+/?,

-22ln(x+1)-(a+2)x，

设g(x)=ln(x+l)-(a+2)x,g(x)=—5——(a+2)...........7分

X4-1

当。+2W0时，g(x)>0恒成立，g(x)无最大值；

当a+2>0时，由g'(x)>0得一l<x<—-1,g'(x)<0得x>——-1.

a+2a+2

二.g(x)在(T——1)上为增函数，在(」——1,木»)上为减函数.

a+2a+2

g(x)Wg(—---1)=a+1-ln(a+2),22a+1-ln(a+2),

。+2

b-3aln(tz+2)

>..........10分

a+2a+2a+2

ln(a+2)

设h(a)=----

a+2a+2

由"(a)>0得a」-2,"(a)<0得-2<a<』-2,

ee

1

h(a)&/j(--2)=1-e,所以幺上的最小值为1-e..............12分

ea+2

(22)证明：(I)如图，ZDEF=180°-(180°-2ZB)-(180°-2ZC)=180°-2ZA.

因此NA是锐角,

A

从而ADF的外心与顶点A在。尸的同侧