2023-2024学年上海市静安区高二年级下册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市静安区高二下册期中数学模拟试题

一、填空题

I.过点(L-2),且焦点在)，轴上的抛物线的标准方程是.

【正确答案】χ2=­y

【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解即可.

【详解】设方程为“2=M"0),则有仔=〃.(_2),解得〃=-；，即有/=

所以过点(1,-2)且焦点在)，轴上的抛物线的标准方程为丁=-；)..

故*2=一9

2.已知直线〃优+2y-l=0与x+(l+m)y+2=0平行，则实数外的值为.

【正确答案】-2或1

【分析】根据平行线的性质进行求解即可.

【详解】因为直线，nx+2y-1=0与x+(l+m)y+2=0平行，

∕n(∕n÷l)=2×1

1=>"7=-2或m=1,

m≠——

(2

故-2或1

22

3.设两圆G：x+y-l=O⅛HC2:/+y2-2χ+4y=()的公共弦所在的直线方程为

【正确答案】2x-4y-l=0

【分析】利用两圆的方程相减即可求解.

【详解】因为圆C：/+丫2_[=0①，圆c?：f+y2-2χ+4y=0②，

由①-②得，2x-4y-l=0,

所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-1=0.

故答案为∙2x-4y-l=0

4.若A为椭圆《+$=1上的点，耳鸟为椭圆的左右焦点，则AAfJK的周长

259

【正确答案】18

【分析】由椭圆的定义可知K周长为∣AΛ∣+∣A周+忻闾=2α+2c,进而得解.

22

【详解】椭圆二+匕=1中，a=5,h=3,c=4,

259

由椭圆的定义可知8周长为IMI+卜用+忻用=2a+2c,

AK居的周长为勿+2c=10+8=18,

故18.

5.己知双曲线J-V=](“>])的两条渐近线的夹角为?，则双曲线的实轴长为一.

【正确答案】26

【分析】根据已知条件求得。，由此求得实轴长.

【详解】由于“>1,双曲线的渐近线方程为y=±Lχ,L<l,

aa

π

所以双曲线的渐近线与X轴夹角小于£,

由L=tan工=得α=G,实轴长2。=26.

a63

故2√5

6.已知直线/经过点A(-l,3),且与圆U(x-l)2+y2=4相切，则直线/的方程为.

【正确答案】尸-1或5x+12y-31=0

【分析】分类讨论直线/斜率存在与否两种情况，利用直线与圆相切有d=r,进行检验或列

出关于左的方程，从而得解.

【详解】由题意知圆C的圆心为C(LO),半径为r=2,

当直线/的斜率不存在时，直线/为x=-l,显然圆心C(LO)到直线/的距离为d=2,

所以d=r,故直线/与圆C相切，满足题意；

当直线/斜率存在时，设直线/斜率为左,贝U直线/为V-3=Mx+l),即h-y+A+3=(),

因为直线/与圆C相切，所以〃=「，即LTTTrI=2,解得％=-亍，

√Jt2+l212

所以直线/为y-3=-^(x+l),即5x+12y-31=。；

综上：直线/的方程为x=7或5x+12y-31=0.

故户-1或5x+12y-31=0.

7.若圆O:/+y2=/上有且只有两点到直线/：3x+4y-20=0的距离为2,则圆的半径，•的

取值范围是.

【正确答案】(2,6)

【分析】先求出圆心到直线的距离，利用到直线L3x+4y-20=0的距离为2可以

得出两条平行直线，判断该两条直线与圆的位置关系，从而得出半径厂的范围

|一20|

【详解】圆心。的坐标为(0,0),到直线/:3x+4y-20=0的距离为,lɔ'ɔ=4而与

√32+42

直线/距离为2的点的轨迹是与/平行且与/距离为2的两条平行直线，如图虚线乙，*

而根据题意知直线4与圆有两个不同的交点，直线4与圆没有公共点，所以圆的半

径"的取值范围为2<r<6,

8.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为

轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记

地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最

远距离与最近距离之比为2,则C的离心率为

【正确答案】ɪ

∩4-C

【分析】设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2”,进而得竺^=2,再根据离心率公式计算即

a-c

可.

【详解】解：根据题意，设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2α,

所以地球轨道与太阳中心的最远距离为α+c,最近距离为a-C,

所以'=2,即。=3c,e=-=^~

a-ca3

故C的离心率为:

吗

9.若直线/过抛物线V=2x的焦点，交抛物线于M,N两点，则向+血=一.

【正确答案】2

【分析】设M(XQJ,N(X2,%),根据抛物线的焦半径公式求的IFM,IFNI,联立方程，利

用韦达定理求出%+%，E化简整理即可得解.

【详解】解：易知焦点尸(；，())，准线方程为x=-；,

当直线的斜率不存在时.，直线方程为X=I,

2

此时IFMI=L+工=1,IFNl=I+'=1,

2222

所以j⅛+向=2,

当直线斜率存在时，设过点尸(J,o)的直线方程为y=

代入抛物线方程得z[x-gj=2x,

化简后为“2χ2-(二+2卜+；父=O,

设M(h,y∣),N(x2,y2),

r+21

xx

则有X1+X2=.2，i2=~，

IFMI=X1+ɪ,IFNl=X2+g,

1I1―_+「+1

λ1fm1河飞+小可，

11C

幺宗

考上F1I-F---M-T+lF1--N--lT=2,

故2.

10.已知点P在抛物线V=4x(0≤x≤6)上，P到/∕x-y+2=0的距离是4,P到4：x=6的

距离是d2,则4-4的最小值为.

【正确答案】-7+—

2

【分析】设P(f,%),利用点到直线的距离公式求出4和4,得到4-4关于%的函数解

析式，利用二次函数知识可求出结果.

【详解】设因为0≤x≤6,所以—4%≤,

d_d=(%-2)2+46Iy-：-4%+8-24及+国

'24√244√2

(l+√2)^-4y0+8-24√2

二4√2'

对称轴为%=~2(1^∕2)=2(应-D€[-2√6,2√6],

所以当为=2(夜-1)时，4-4取得最小值-7+乎.

故答案为.-7+述

2

11.若实数满足χ∣X+y∣y∣=1,则点(χ,y)到直线χ+y+2=o的距离的取值范围是.

【正确答案】(夜,1+0]

【分析】分段讨论去绝对值判断出XN+y∣y∣=ι表示的图形，可得出XIXl+y∣y∣=ι表示的图

形在y=τ和x+y-JΣ=O之间，利用平行线间距离公式即可求出.

【详解】实数χ,y满足XN+y∣y∣=ι,

当x≥0,yZ0时，方程为V+尸=1,表示一段圆弧,

当X≥0,y<0时，方程为V-:/=],表示双曲线的一部分,

当x<O,y≥O时，方程为>2—/=],表示双曲线的一部分,

当x<0,y<0时，方程为V+y2=τ,不表示任何图形，

画出Xw+MV=ι表示的图形,

可知双曲线的一条渐近线为y=τ,和x+y+2=0平行,

设和x+y+2=0平行且和圆/+V=I在第一象限相切的直线为χ+y+α=o,

则由点到直线的距离可得也=1,解得α=&或a=-夜(舍去)

可得XlM+y∣y∣=ι表示的图形在y=r和χ+y-√∑=0之间,

则V=-X和x+y+2=O的距离为鬓=夜，

x+y-∖∣2=0和x+y+2=O的距离为I1_!■=1+y[2，

则结合图形可得点(χ,y)到直线χ+y+l=O的距离的取值范围是(技1+&].

故答案为∙(√5,ι+√5]

12.如图，耳、工是椭圆G与双曲线G的公共焦点，A、B分别是C1、g在第二、四象限

的交点，若CoSN4耳8=-；,则G与G的离心率之积的最小值为.

【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式

进行求解即可.

∙)2

【详解】设椭圆方程为:■+马=l(a>6>0),/-从=。2,

ab

r22

双曲线方程为-T——γ=l(w,n>O),m2+n2=c2,

mn

如下图，连接AK,63,所以4耳3居为平行四边形，

由CoSZAFtB=-；得CoSNf；AF；=；,SinNKA玛=半

设闺λ∣=s,∣A用=r,

在椭圆中，由定义可知：s+r=2a,

由余弦定理可知:

4c2=s2+t2-2st×-^>4c2=s2+t2--st=(s+t]2--st=i>st=-b2,

33''32

C_1f2√2-√2.2

海S232

在双曲线中，由定义可知中：：t-s=2m,

由余弦定理可知：

4C2=S2+t2-2st×-=>4c2=s2+t2--st=(t-s]2+-st≡>st=3n2,

33v73

S-ɪ20历2

s=St

.F,AF22∙~7=。2〃，

所以SFAF~-~⅛2—∖∣2n2=>⅛2=2772,

外人小2

/-c2=2(c∙2-∕√)n竺+<=3≥20要，当且仅当〃时取等号,

∖JC-C-C

所以2≥延，

ma3

所以G与C2的离心率之积的最小值为丝.

3

故半

二、单选题

13."A=CHO且8=0”是“A√+Bxy+Cy2+Qx+Ey+F=0表示圆的方程”的()条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【正确答案】B

【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的

判定方法，即可求解.

【详解】由方程Ar'+BAy+c∕+Qχ+Ey+JF=O表示圆时，满足A=C≠0,8=0且

Z)2+E2-4AF>0>

所以“A=Cro且8=O”是“Ax?+Bxy+Cy?+Qx+/+F=O表示圆的方程”的必要不充分

条件.

故选B.

本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题.

14.直线y=2x+l关于直线y=χ对称的直线方程为()

A.x—3y+l=0B.x-3y-l=0C.x-2y-l=0D.x—2y+l=()

【正确答案】C

【分析】先联立方程得(τ,τ),再求得直线y=2χ+ι的点(0,1)关于直线y=x对

[y=x

称点的坐标为(1,0),进而根据题意得所求直线过点(-1,-1),(1,0),进而得直线方程.

【详解】解：联立方程”得(-1,-1),即直线y=2χ+ι与直线y=x的交点为(τ,τ)

设直线y=2χ+1的点((U)关于直线y=X对称点的坐标为(χ0,%),

%.>0+1

2-2

所以｛1,解得XO=I，%=。

Azl=-I

,⅞

所以直线y=2x+∖关于直线y=X对称的直线过点(-1,-1),(1,0)

所以所求直线方程的斜率为

所以所求直线的方程为>=；(X-1),即x-2y-l=0

故选：C

TTγ~

15.已知o<e<z，则双曲线G：备方)=1与C,入________-_____)

sin2θ2sin20sin20tan2θ

A.实轴长相等B.虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率相等

【正确答案】D

【分析】由双曲线方程求得G，Cz对应的。力，C,进而判断选项是否正确.

_TL=I与C:Y/

【详解】因为双曲线G：二一

COS20sin2θ2sin2θsin20tan2θ

222222

所以=Cos0,⅛1=sinΘ,a}=sinθ,b}=sin0∙tanΘ,

Tr

因为0＜夕＜一,所以％=Cos4=sin6,/=Sine,伪=Sine・tan6,

4

所以qH=”2，所以选项A,B错误;

因为c；=W+彳=LC；=a；+b；=sin2^(1+tan2=tan2θ,

所以G=1，。2=tan6,C]Wc?，所以选项C错误；

c11c7tanθ1。

因为4=—=­τ^2=-=-^~τ=—^e∣=/,所以选项D正确.

aλCOSea2Slnecos。

故选：D.

16.定义曲线「：±+!=1为椭圆C：4+4=l(α>10)的“倒曲线”，给出以下三个结论:

Xyah-

①曲线「有对称轴，②曲线r有对称中心，③曲线「与椭圆C有公共点.其中正确的结论个

数为()

A.OB.1C.2D.3

【正确答案】C

2,2

【分析】曲线「£+F=I上取点(x,y),利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，

利用X的范围可以判断出③，从而得出结论.

【详解】曲线「：$+*=1上取点(χ,y),则该点关于X轴对称的点(χ,-y)也在曲线「，

故曲线「关于X轴对称，同理可证曲线「关于y轴对称，则该点关于原点对称点(-X,-y)也

212

在曲线r,故曲线r关于原点对称，故①②正确；曲线r：⅛+ʒ=∣,则N>。，而椭圆c：

22

⅛+4=l(a>⅛>0)Φ,W≤α,故曲线「与椭圆C无公共点，③错误；综上，正确的有2

故选：C.

三、解答题

17.已知直线4：2x-y-l=。和4：x-y+2=0的交点为P.

(1)求直线4与4的夹角的大小；

(2)若直线/过点P,且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为32,求直线/的方程.

【正确答案】(l)0=arccos主叵

10

⑵25x+9y-120=0或x+y-8=0

【分析】(1)利用直线的方向向量求解即可；

(2)求点P坐标，设出直线方程，求出在坐标轴上的截距，然后由面积公式可得.

【详解】(1)取直线4：2x-y-l=O和4：x-y+2=0的方向向量分别为

a=(-1,-2)力=(-1,-1),记直线《与4的夹角为凡

(-1)×(-1)+(-2)×(-1)3√10

ʌ/(-1)2+(-2)2×-^∕(-1)2+(-1)^"ɪ

因为e∈，所以。=arccos:------

10

x=3

(2)由,即P(3,5)

y=5

由题可知，直线/的斜率存在且小于0,设斜率为3则直线方程为y-5=-x-3)

令X=O得y=5-3%,令y=0得χ=3-2,

1525

则有二(5—34)(3—；)=32,整理得9/+34攵+25=0,解得』与或3,T

所以直线/的方程为y-5=-3(x-3)或y-5=-(x-3)

即25》+9丫-120=0或*+丫-8=0

18.已知直线/:(2，〃+l)x+(/M+l)y=7，，+4,椭圆c：±*+工=1.

2516

(1)证明：直线/与椭圆C恒有两个交点；

(2)已知点A(l,()),若尸是椭圆C上任意一点，求IPAl的取值范围.

【正确答案】(1)证明见详解

⑵呼,6]

【分析】(1)先求直线/所过定点，然后由定点在椭圆内可证；

(2)利用椭圆方程带入两点间的距离公式消元，然后由二次函数性质可解.

【详解】(1)(2m+l)x÷(m+l)ʃ=7m÷4⅛JlnʃWtn(2x+>,-7)+x÷γ-4=O,

[2x+y-7=0[x=3

由'八解得「所以直线/过定点(3』).

X—+—=—<1,所以点(3』)在椭圆内部，

2516400

所以直线/与椭圆C恒有两个交点.

g25

令/=玉χ2-2χ+i7,χ∈J5,5],其对称轴为X=I,且开口向上

-w25,19,25、，c25「128

所tcι以u，当X=瓦时，*=为、(5)--2、3+17=5

9

2

当x=—5时，rmax≈-×(-5)-2X(-5)+17=36

所以掾≤f≤36,所以榨≤∣PA∣WA,即手≤∣P4∣≤6

所以IPAl的取值范围为[半,6]

19.某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，。是AB

的中点，过。点的直线/与直线AB的夹角为45。，机器猫在直线/上运动，机器鼠的运动轨

8

迹始终满足：接收到A点的信号比接收到8点的信号晚一秒，其中%(单位：米/秒)是信

%

号传播的速度.

⑴以。为原点，以OB方向为X轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所

在位置为点P,求点尸的轨迹方程；

(2)若游戏设定：机器鼠在距离直线/不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠

保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

22

【正确答案】⑴二-匕=Iam4)

169v,

(2)如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险.

【分析】(1)结合双曲线的定义求得正确答案.

(2)求与直线/距离为2的平行直线的方程，结合平行直线与P点轨迹有无公共点即可.

Q

【详解】(D依题意，IPAHpM=—%=8<10=∣阴,

vO

所以尸点的轨迹是以48为焦点的双曲线的右支，

=8,6/=4,2c=10,c=5,Z?=∖∣c2—a2=3，

所以点P的轨迹方程为S=l(x24).

169''

(2)直线/的方程为y=x,BPx-J=O,

设与直线/的距离为2的平行直线的方程为χ-y+f=O,

=2,W=2y[2,t=±2V2

所以与直线/的距离为2的平行直线的方程为4：X-y+20=O或£x-y-2√2≈0,

2.,23

双曲线2r-]=1(Q4)的渐近线为y=?%,

直线x-y+2后=0,即y=x+2√Σ,斜率为1,过点(。,201

所以直线y=x+2√Σ与P点的轨迹没有公共点.

直线x-y-2&=0,即y=x-2y∕2,

y=x-2ypl

由

Ly2消去)'并化简得7χ2-64√2Λ+272=0,

-----=l(x≥4)

1169v7

Δ=(64√2)2-4×7×272=576>0,

-

又玉马=^->16,x∣+x2>0，所以方程7χ2-64√Ir+272=0存在大于4的实数解，

所以直线y=x-2&与尸点的轨迹有公共点.

综上所述，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险.

20.已知抛物线「：V=2px焦点为*1,0),抛物线r上存在不同两点A、B(异于原点。).

(1)求抛物线「的方程；

(2)若直线A8的倾斜角为?且抛物线焦点厂到直线AB的距离不小于1,求直线AB在)，轴上

的截距〃的取值范围；

(3)若点人艮F三点共线，求/AOB的取值范围.

【正确答案】⑴∕=4x

⑵卜8,—2-Λ∕5]U2—ʌ/ɜ,ʒ-

【分析】(1)根据焦点坐标求解方程即可;

(2)设直线AB的方程为y=6x+",再根据直线48与抛物线有两个交点，焦点尸到直线

AB的距离不小于1列式求解即可

UHUim

OAOB

(3)联立直线AB与抛物线的方程，利用COSNA08=硬斤池求出cosNAOB的值域，进

∖OA∖∙∖OB∖

而得到/AO3的取值范围

【详解】(1)因为抛物线「:V=2px焦点为F(1,0),故5=l,p=2,故抛物线「的方程为

y2=4X

(2)由题，设直线AB的方程为y=√L+",联立抛物线有(石x+nf=4x,化简得

3X2+(2√3H-4)X+∕Z2=0,∣⅛(2√3n-4)2-12n2>0,解得〃<弓.

lʌ/ɜ,1—O÷∏∣

又抛物线焦点厂(1,0)到6》7+〃=0的距离不小于1,故！/,∣≥1,解得〃≤-2-百

√√3'+l2

或“≥2-G,综上有AB在y轴上的截距〃的取值范围为(YO,-2-6]02-√3,^-

(3)设直线AB的方程为X=(y+l,A(x∣,yl),B(x2,y2),联立y?=4x有炉-4∕y-4=O,故

X+%=4f,χ%=T,百+9=r(y+κ)+2=4/+2,XIx,=Λ2L=ι

16

OA-OB_xx+yy-3

cosZ.AOB=l2l2

|。Al,网收+短.4+%2Cx+4)(w+4)

3)3

I---------------------------I-----------∈----,0g[J―

2—≤cosZAOB<0

AJX1X2+4(x1+x2)+16√16r+25L5)'5

故NAo3的取值范围为

本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，求解交点的有关问题，同时也考查了利用韦达定

理化简所求表达式的问题，属于中档题

21.已知写、F?分别为椭圆「:工+V=］的左、右焦点，M为「上的一点.

4

⑴若点用的坐标为(1,，〃)(〃10),求的面积；

⑵若点M的坐标为(0,1),且直线y=fcr-∣(⅛∈R)与『交于不同的两点A.B,求证：MA-MB

为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点M的坐标为(s"),过坐标原点。作圆(X-S)2+(y-f)2=/(其中r为定

值，0<r<l且kIHr)的两条切线，分别交「于点P,Q,直线OP,OQ的斜率分别记为勺,

右.如果火人为定值，求IOPHOQl的取值范围，以及QH∙∣OQ∣取得最大值时圆M的方程.

3

【正确答案】(1)∣∙;

(2)证明见解析，0；

(3)(2,∣］,圆M的方程为(x±2)2+/=［或J+(”1)2=2

【分析】(1)将点M(1,M(%>O)代入求出〃?=祖，再求出左、右焦点即可求解.

2

(2)将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.

(3)设出直线OP：y=占X,直线。。：y=%χ,利用点到直线的距离公式可得乙、质是关于

2

g的方程炉-r)⅛-2.蟆+/-尸=0的两实根，根据题意klk2为定值，可得姐=5=-；,

=苧，设将直线。尸：了=虹，直线。。：心》与椭圆联立，求出

rP(X1,yJ,Q(Λ2,%),V=

∖OP∖-∖OQ∖<^,即求.

【详解】⑴由已知条件得:+加=1,因为机>0,则机=乎，又E(",O),K(6θ),

因此MK的面积为S-,=LWGbn=∙lχ2gx且=L

4122222

X22_

⑵设A(%%),B(∕,%),由4,3,得(4公+心2_曰-谭=0,

V=kx——

I5

24人6433

、"+/=5(4公+1)'3""-25件2+1)，又以=3-：，

λM=(XA,%T),MB=(∙⅞,%T)>

2

于是MA∙MB=XAXB+(AΛ-A-∣)(fcrβ-1)=(⅛+1)XAXB-∣⅛(XΛ+xβ)+∣^

/,2八「64^∣8,24k64

=Ik÷1)------7ɔCk—7rH----

，，［25(4⅛2+l)J55(4⅛2+l)25

22

64(⅛+l)192型I64(4⅛+1)=θ

25(4⅛2+l)^25(4AΓ2