浙江省宁波市2024届高三年级上册选考模拟考试（宁波一模）数学试卷及答案

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宁波市2023学年第一学期高考模拟考试

高三数学试卷

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知4=a-i,22=1+历(。力611,1为虚数单位)，若z/z?是实数，贝IJ

A.—1=0B.ab+1=0C.a—b=0D.a+b=0

2.设集合U=R，集合”=卜k2-2x2。｝,AT=|x|y=log2(l-x)],则｛x|xv2｝=

A."UNB.NUB")

c.A/UGN)D.C(MDN)

3.若a,b是夹角为60。的两个单位向量，/ia+b与-3a+26垂直，则4=

A.1B.上

84

4.已知数列｛/｝为等比数列，且牝=5,则

A.q+%的最小值为50B.q+a,的最大值为50

C.q+%的最小值为1。D.的最大值为10

5.已知函数/(x)=2"+log2X，g(x)=g)-log?、，Mx)=x，+log2x的零点分别为a,b,c,则

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

6.设。为坐标原点，片害为椭圆C:\+；=l的焦点，点尸在C上，|OP|=V3,则cosN百尸用=

A.--B.0C.-D.

333

7.已知二面角P-45-C的大小为3兀，球。与直线48相切，且平面尸4B,平面48c截球。的两个

4

截面圆的半径分别为1,V2,则球。半径的最大可能值为

A.-JlB.2>/2C.3D.V10

8.已知函数/。)=/+妙+6,若不等式|/(x)|42在xe[l,5]上恒成立，则满足要求的有序数对(。,6)有

A.0个B.1个C.2个D.无数个

数学试题第1页(共4页)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知(l-2x)‘=%+0/+生，+…，则下列说法正确的是

A.a0=IB.a3=—80

C.q+/+%+/+%=-1D.a0+a2+a4=121

10.设。为坐标原点，直线x+加-2=0过圆〃:，+必一8》+6^=0的圆心且交圆〃于尸,0两点，则

A.\PQ\=5浙考神墙750B.m=j

C.△OP0的面积为5"D.OMA.PQ

11.函数/(x)=sinox®>0)在区间卜方片上为单调函数，且图象关于直线x=|■兀对称，贝U

A.将函数/(x)的图象向右平移,兀个单位长度，所得图象关于夕轴对称

B.函数/(x)在怔,2句上单调递减

C.若函数/(x)在区间(吟兀)上没有最小值，则实数a的取值范围是卜枭骨)

D.若函数/(x)在区间段■兀)上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是-六兀,0)

12.已知函数/：R-R,对任意满足x+y+z=0的实数xj,z,均有/(x')+/‘(y)+r(z)=3+，则

A./(0)=0B./(2023)=2024

C./(x)是奇函数D./(x)是周期函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点尸(1,3),则sin(a+7r)=▲

14.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,体积为凶兀，则该圆台的侧面积为一

3

15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运♦；

动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比・)[

赛未能站上领奖台的概率为工，200米比赛未能站上领奖台的概率为工，两项

210

比赛都未能站上领奖台的概率为」若该运动员在100米比赛中站上领奖台，PARIS2024

,10~\

则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是▲.

16.已知抛物线r：/=2x与直线/:y=-x+4围成的封闭区域中有矩形"CD,点48在抛物线上，

点C,。在直线/上，则矩形对角线长度的最大值是▲.

数学试题第2页(共4页)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)在ZUSC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知S=l+2cos4・

b

(1)证明：A=2B；

(2)若sinB=3,c=13,求△/BC的面积.

18.(12分)已知数列｛4｝满足％=1,且对任意正整数见〃都有4+“=4+4+2m”.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛(-1)"可｝的前”项和S..

19.(12分)如图，已知正方体48C£>-481GA的棱长为4,点E满足历=3瓦i,点尸是C&的中点，

点G满足的=微西.

(1)求证：B、E、G、尸四点共面；

(2)求平面EFG与平面4E尸夹角的余弦值.

20.(12分)已知函数/(x)=ae2，+(a-4)e*-2x(e为自然对数的底数，e=2.71828-).

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)证明：当。>1时，/(x)>71na-a-4.

数学试题第3页(共4页)

21.（12分）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性

别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表:

速度

性别合计

快慢

男生65

女生55

合计110200

（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关?

（2）现有”（"CNJ根绳子，共有2〃个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有

绳头打结完毕视为结束.

（i）当〃=3,记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望;

（ii）求证：这〃根绳子恰好能围成一个圈的概率为

（2〃）！

n(ad-be)2

附：公=，n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K*k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

22.（12分）已知双曲线。:与-4=1（。＞0力＞0）的焦距为6,其中一条渐近线人的斜率为正，过点

ab2

&0）Q＞a）的直线/与双曲线C的右支交于尸,0两点，M为线段P。上与端点不重合的任意一点，过

点M且与4平行的直线分别交另一条渐近线4和C于点T,N.

（1）求C的方程；

（2）求-MM。的取值范围

OTMN

数学试题第4页（共4页）

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.A2,B3.B4.C

5.D6.C7.D8.B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.ABD10.BC11.ABD12.AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.14.367t15.-16.4

105

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）因为C=I+2cos/l,由正弦定理得sinC-2sin8cos/=sin8,

b

即sin（＞l+B）-2sinBcosJ=sinB,sinJcoscos/IsinB=sinB,故sin（彳-8）=sin8,

因为48w（（U）,所以4-8w（r,7t）,所以力一8=8,因此力=28..........................................5分

(2)因为cos力=cos28=1—2sin：8=,故sin4=^^,

2525

由C=I+2cos力得C=—,因为c=13,故6=0•9

bb253

所以SA/“='bcsin/='・13•互2=52.........................................................................................10分

△/%22325

18.（1）由对任意整数犯〃均有+4+2加〃，取zw=l,得a”.1+1+2〃，

’1〃N2时，an=q+(%-%)+(%-生)+…+(%-。0-1)=1+3+5+・・・+2n—1=~————=//',

当〃=1时，q=l,符合上式，所以4=/.......................................................................................6分

（2）当〃为偶数时，

+3+2"-1)〃(〃+])

S=(-l2+22)+(-32+42)+-+[-(w-l)2+n:]=3+7+ll+-+(2/;-l)=

R2=-2-

当”为奇数时，S.=S.、=Sz=四券二/=二《卫：

小且，〃为偶数

综上所述：S.=\....................................................................................................12分

士^,〃为奇数

数学答案第I页（共4页）

19.(1)法I：如图，以。为原点，D4,OC,。0方向分别为xj,二轴正向，建立空间直角坐标系。-明，

则8(4,4,0),£(3,0,0).F(0,4,2),G(0,0,1),4(40,4),

因为丽(-4,0,2),EG=(-3,0,-).所以函=3旃，

24

所以8、E、G、F四点共面........................................................5分

(2)由(1)知，BE=(-l,-4.0),罕丽=(-3,4,2),

设平面EFG的法向量为正=*/,:),

m-BE=0解得［、=「)，取就=(4,-l,8),

由

m-BF=0二=2工

同理可得平面A.EF的法向量5=(8,7,-2),设平面EFG与平面A.EF夹角为夕,

9_VI3

则cos夕=..............................................................................................12分

砸9.3V13~39

(I)法2：如图，取。R中点〃，分别连接/〃，FH.因为尸为CG中点，

所以FH//4B,且尸〃所以四边形力8"/为平行四边形，所以/，〃8尸，

3DD,

由正=3所知匹=3,由旃=3函知型•=1_1=3,所以匹="，所以£G〃/〃，

EA5'GH1DDEAGH

所以EG//BF.所以8、E、G、尸四点共面............................................5分

数学答案第2页(共4页)

20.(1)f(x)=2ae：I+(o-4)e1-2=(aeJ-2)(2e'+1),

当a40时，/(x)在(yo,—)上单调递减：

当〃>0时，/(x)在(f吟)上单调递减，在(I哈2)上单调递增.....................5分

(2)由(1)知，/(x).=/(lnZ)=2-4-21n2+21na,

只需证2---2ln2+21na>7lna-a-4,即证6+。-&-5暇-21n2>0,

aa

ijtg(a)=6+a---51nn-21n2,a>1,WOgz(a)=1+--=—―,

则g(。)在(L4)上递减，在(4.y)上递增，g(4F)^g(4)=9-121n2=3(3-lnl6),

又¥>2了>16,故g(a)>0,证毕.....................................................12分

200x(3575-1575)2

21.

xllOxlOOxlOO

故有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关..................................3分

(2)(i)由题知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,

P(X=1)==&,P(X=2)=、。；；2=互,p(x=3)=^~^~-=—

、'C〉C：C15''C：C：C15、'C>C：G15

~"彳~~~~~~M一

所以X的分布列为

X123

821

P

15?-15

所以_1_23

E(*)=lx*+2q+3x=7分

(ii)不妨令绳头编号为1,2,3,4,.…2〃，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外有2〃-2种可

能，假设绳头I与绳头3打结，那么相当于对剩下"-I根绳子进行打结.令〃(〃eN)根绳子打结后可

成圆的种数为a..那么经过一次打结后，剩下"-1根绳子打结后可成圆的种数为。…，由此可得,

=(2〃-2)a0T,”22,所以——=2M—2,—=(2//—4),...,——=2»

Qn-\a\

^flU—=(2rt-2)x(2»-4)x...x2=2^(n-l)l,显然q=l,故q=尸(〃一1)!.

另一方面，对2〃个绳头进行任意2个绳头打结，总共有

N=C；—…二=2小(2〃-1)(2〃-2)…21=包

n\2"n\Tn\"

a„_2"-'•(〃-1)!_22"-'•/»!(«-1)!

所以P=12分

~N~(2〃)!~~(2n)!

数学答案第3页(共4页)

22.（I）由C的焦距为6,知2c=6,即c=3:又渐近线方程为尸=±白'，则白=五，

aa2

故"二口=五,即4（9-〃）=5^,a2=4