辽宁省沈阳2023-2024高三数学上学期9月开学考试试题

辽宁省沈阳2023-2024上学期9月份开学考试

数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题

4-%

<x---->0>

1.集合〔xTJ=（）

A.（^o,l）kj[4,+co）B.（-CO,1]O（4,+CO）C.（1,4]D.[1,4]

【答案】c

【分析】根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.

【详解】由——>0,得「八），解得1〈尤W4,

x—1x—lwO

/I-V

则集合\尤---->0^=（1,41.

x-1J

故选：C.

2.下述正确的是（）

A.若。第四象限角，则sin〃>0

7T

B.若cos6=0,则夕=—

2

C.若6的终边为第三象限平分线，则tam9=—l

兀

D.“8=E+—,左eZ”是“sin6=cos夕'的充要条件

4

【答案】D

【分析】对于A,利用三角函数定义即可判断；对于B,求出。的值即可判断；对于C,算出。的范围即可判断;

对于D,利用充分，必要的定义进行判断即可

【详解】对于A,若。为第四象限角，根据三角函数定义可得sin9<0,故不正确；

7T

对于B,若cos8=0,则。=万+左兀水㊂％,故不正确；

5兀

对于c,若e的终边为第三象限平分线，则e=—+2防I,左wz,

4

此时tan8=l,故不正确；

对于D,由。=防i+巴,ZwZ可得垩一=tan6=l,即sin9=cos9,满足充分性；

4cos0

,/j

由sin8=cos。可得tan6=y^—=l,所以。=防1+二,女eZ,满足必要性，故正确

COS04

故选:D

3.已知函数/(x)=2sin(0x+e)(®>Ojd<7i)的部分图象如图所示，且%则。,0的值为

c口c2兀

CD=L^(p=—D.G)=L^(p=

【答案】C

jrTTL(29兀、

【分析】由%-玉=—可得一=—,求出周期，再利用周期公式可求出0,再由/==-1可求出9的值.

444<12J

T712兀

【详解】由题意可得一=—,得T=TI,所以一二兀，得①=2,

44co

所以/(x)=2sin(2x+°)(M|<7i),

/、<2971

因为"％)的图象过点石-,-1,

29TI5兀£

所以2sin+(p\=-\,得sin157i_t+e)=sin[-^+9

~6~62

所以sin[o_££

2,

所以夕一巴=巴+2版,左eZ,或夕一巴=2+2版,keZ,

6666

7T

所以/=§+2左兀，左£Z,或0=7l+2E,k£Z,

因为|同<兀，所以。=三，

故选：c

cc,(x+l)(y+l)

4.已知x>0,y>0,x+2y=l,则——丛一^的最小值为()

孙

A.4+473B.12C.8+473D.16

【答案】C

【分析】把待求式中“1”用x+2y替换，然后用基本不等式求得最小值.

【详解】因为x>0,y>0,x+2y=l,

在z（x+l）（>+l）（x+x+2y（y+x+2y）（2x+2y）（x+3y）

所以----------=----------------------=-----------------

xyxyxy

=2炉+6/+8孙>2也7,6/+8孙=&+46,

孙孙

当且仅当2必=6V，即％=2百—3,〉=2—8时，等号成立.

故选：C.

5.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳

后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物A8,高约为37m,在地面

上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30和45，在A处测得楼顶

部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为（）

A.74mB.60mC.52mD.91m

【答案】A

【分析】求出AC，ZCMA=30°,NC4M=45°，在八4&0中，由正弦定理求出MC=74j5,从而得

到MN的长度.

AB37

【详解】在RtZkABC中，AC=

sinZACBsin30°

ZACM=180°-ZACB-ZMCN=105°,ZC4M=15°+30°=45°,

在AACM中，ZCMA=1800-ZMAC-ZACM=30°,

由*MC,MC=AC-sin45°=—•sin45°=740,

sin30°sin45°sin30°sin230°

在Rt△初VC中，ACV=MC-sin45°=74.

故选：A

6.岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.下图1是番禺区某风景优美的公园地图,

其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心

形”在X轴上方的图象对应的函数解析式可能为()

图1图2

A.y=国B.y=x44-£

Cy=^-x2+2\x\D.y=Jr?+2%

【答案】C

【分析】利用基本不等式可求得y=国，4—VW2,知A错误；由xw(—2,0)时，y=x］4-x2<0可知B

错误；根据y=J_/+2国VI、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知

D错误.

【详解】对于A,y==西(j2)卜?+-2］=2(当且仅当f=4—%2,即

X=±3时取等号)，

.•.y=N，4—/在(一2,2)上的最大值为2,与图象不符，A错误；

2

对于B,当xe(—2,0)时，y=Xy］4-x<0-与图象不符，B错误；

22

对于C,y=^+2|%|=^-(|%|-1)+1-，当X=±l时，ymax=l；

又y=J-人+2国过点(—2,0),(2,0),(0,0)；

由—*+2国20得：国(国—2)<0,解得：-2<x<2,即函数定义域为［—2,2］；

又+2卜乂=J-x2+2,，

y=卜+2国为定义在［—2,2］上的偶函数,图象关于了轴对称；

当％e［0,2］时，_y=V-X2+2X=^-(x-l)2+l，则函数在(0」)上单调递增，在(1,2)上单调递减;

综上所述：y=以+2国与图象相符,C正确；

对于D,由―f+2x20得：0WxW2,.•一=，一£+2%不存在xe(—2,0)部分的图象,D错误.

故选：c.

7.已知函数/(%)是定义在R上的可导函数，其导函数为/'(九)，若对任意xeR有/'(x)>l,

/(l+x)+/(l-x)=O,且/(0)=—2,则不等式“X—1)>尤—1的解集为()

A.B.(3,-K»)C.(2,+co)D,(0,+OO)

【答案】B

【分析】构造g(x)=〃x)—x,确定函数g(x)在R上单调递增，计算"2)=2,g(2)=0,转化得到

g(x—l)>g⑵，根据单调性得到答案.

【详解】设g(x)=/(x)-X,则g'(九)=/'(x)—1>0恒成立，故函数g(x)在R上单调递增.

/(l+x)+/(l-x)=0,则〃2)+〃0)=0,即/⑵=2,故g(2)=〃2)-2=。

/(x-1)>x-l,即g(x-l)>0,即g(x-l)>g(2),故1—1>2,解得x>3.

故选：B.

8.记a=2。舒2022，b=20^2023.c=2°到2023，则a，b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【分析】由函数/(X)=%砺在R上单调递增，可判断〃<b,再对。、。两边取对数，由函数g(%)=电土在

+1

卜2,+8)单调递减，可得c<a,从而得解.

1/\

【详解】设/⑶=^2023,则/(%)在R上单调递增，

故/(2022)</(2023),即a<6；

由于Ina=In2022,Inc=---In2023,

20232024

Inx

设g(x)=x>e2，

x+1

1+x1111

------InxId----luxc1

则g'(x)=^k=^^<”x>e2

<0'

(x+l)-(x+1)(x+1)

则g(x)在(e2,+c»)单调递减，故g(2023)<g(2022),

即IncvIna,则c<〃；

综上得，b>a>cfD正确.

故选:D

二、多选题

9.设函数/(x)=sin(xsinx),则()

A.7(%)是偶函数B.2兀是/(%)的一个周期

C.函数g(x)=/(%)—1存在无数个零点D.存在/e(—兀,兀)，使得

【答案】AC

【分析】求出/(f)即可判断A项；求出"了+2兀)即可判断B项；当x=]+2E«eZ时，有

/(无)=1,即可说明C项；当0<x<兀时，可求出0<xsinx<x<7i.进而根据偶函数的性质即可判断D项.

【详解】对于A项，定义域为R.又/(—x)=sin(—尤sin(—x))=sin(_xsinx)=/(%),

所以"X)是偶函数，故A项正确；

对于B项，尤+2兀)=sin((x+2兀)sin(尤+2兀))=sin(无sin尤+2兀sinx)牛/(%),所以2兀不是/

的一个周期，故B项错误；

JT

对于C项，因为左eZ时，有sin1'+2E|=l,又|J+2E•sine+2kn=—+2kn,所以/（九）=1

有无数多个解，所以函数g(x)=/(x)—1存在无数个零点，故C项正确；

对于D项，当。〈九〈兀时，有0<sinx<l,所以0vxsinxv%〈兀.

所以有/(%)>0在(。，兀)上恒成立.

又/(0)=0，/(%)是偶函数，

所以，当一兀<x<兀时，有〃x)20恒成立，故D项错误.

故选：AC.

10.已知—A5C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()

aa+b+c

A.----=-----------------

sinAsinA+sinB+sinC

B.若上ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

C.若AC.C3〉0,则一ABC是锐角三角形

CLhc

D.若——=-----=------,则一ABC一定是等边三角形

sinAcosBcosC

【答案】AB

【分析】利用正弦定理推理判断AD；利用和角的正切及诱导公式推理判断B；利用平面向量的数量积定义确定

角C判断C作答.

dhc

【详解】对于A,由正弦定理----=-----=-----=2R,

sinAsinBsinC

,0a+b+c27?(sinA+sinB+sinC)…a一

得-------------------=-----------------------=2R=-------,A正确；

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinCsinA

对于B,斜，ABC中，tanC=tan[7i-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA+tan^,,

1一tanAtaaB

则1@114+12]18=1@11。(12112412115—1),即tanA+tanB+tanC=tanAtanjBtanC,B正确；

对于C,由ACC8〉0，得人℃6=,。,。5,0$(兀-C)=—QZ;COSC>0,贝！JCOSC<0,

因此。为钝角，一A5c是钝角三角形，C错误；

T।一、一epabcsinAsinBsinC

对1于D,由正弦定理及-----=------=------,得ZC3-----=------=------,

sinAcosBcosCsinAcosBcosC

JT

即tanB=tanC=l,而5,Ce(0,ji),则3=。=—,A3。为等腰直角三角形，D错误.

4

故选：AB

11.如图(1),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如

图(2),一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为d(单位：m)(尸在水下则

(兀7T\3

d为负数)、d与时间/(单位：s)之间的关系是d=3sin葭f—7+二，则下列说法正确的是()

图(1)图(2)

A.筒车的半径为3m,旋转一周用时30s

3

B.筒车的轴心。距离水面的高度为一m

2

C.fw(40,50)时，盛水筒P处于向上运动状态

D.盛水筒尸出水后至少经过20s才可以达到最高点

【答案】BD

【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用dmax一-可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可

9

知C错误；令d=3，由正弦型函数的值可构造方程求得/，进而得到Min，知D正确.

713

【详解】对于A,d=3sin+的振幅为筒车的半径，，筒车的半径为3m；

30O)2

nn37=丘=60,.•.旋转一周用时60s,A错误;

d=3sin+G的最小正周期

306)2

30

3a3

对于B，dmax=3+—=—，筒车的半径度=3，.,•筒车的轴心0距离水面的高度为4ax—r=—(m),B正

lllaA22lllaA2X1/

确;

7兀371

对于C,当.£(4。,5。)时，—€

T,T，此时d单调递减,

•••盛水筒尸处于处于向下运动的状态，C错误;

A„.7T71)33c33.71兀

对于D,令3sin|—t---H—=3H—,sin----1------=1,

1306J222306

2/6=1+2版(左eZ),解得：t=20+60^(A;eZ),

又方20,当左=0时，tmm=20s,即盛水筒P出水后至少经过20s才可以达到最高点，D正确.

故选：BD.

12.已知当%>0时，-^―<ln(l+-)<-,则(

)

1+XXX

B.In9<1+—++—<lnl0

29

C.(―)9<9!D.O)2+O)2++O)2<e

e

【答案】ACD

【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数

的性质推理判断D作答.

1111119-9

【详解】因为——<ln(l+-)<-,令x=8,—=-<ln(l+-)=ln-,则e9<‘，

1+xXX1+89888

令龙=9,ln(l+！)=lnW<2，则W<e®,A正确；

9999

因为ln(lH—)=In----<一，则In—<1,In—<一，•,,,In—<一，以上各式相加有In10<1H---1-H—,

xXX1229929

B错误;

由ln(l+—)=In'+1<上得,xln(x+l)-xlnx-l<0,即xln(x+l)-(x-l)lnx-l<lnx,

xxx

于是ln2—l<lnl，21n3—ln2—1<ln2,31n4—21n3—l<ln3,…，91nl0—8ln9—l<ln9,

[Q9]Q

以上各式相加有91nl0—9<ln9!,即===(',<9!,c正确;

ee

111c°C1C91

由ln(l+—)〈一得，(l+-r<e,因此W+2++2=(i+±)9<e，

XXX9°91999

.*.C：n(n—l)(n—2)(“一女+1)

设女,〃eNT,左<”，-^-=---------------------<1,

nknk-k\

「k「k/~i009「°/~il09

则争今所以（,>+仔）?++（犷<3+小+¥<e，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合

利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.

第II卷（非选择题）

三.填空题

13.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是

勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为:，则该勒洛三角形/Ax

的面积是.//\\

【答案】与①

【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.

jr17C7E

【详解】因为的长度为一，所以AB=1，S扇-xFx—=—,

3236

所以勒洛三角形的面积是3s用A”—2S,ABC=3x--2x-xlxJl-（-）2=2EZ2/I.

故答案为：得

14.已知函数/'（x）=2sinx+」一，XG（0,TI）,当x=a时，函数/（%）取得最小值，贝!Jcos2a=

smx

【答案】0

【分析】利用基本不等式取等条件可确定sina的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.

【详解】当工£（0,兀）时，sinxe（0,1］,

/（x）=2sinx+—-—>2A/2sinx---—=2收（当且仅当2sinx=」一,即sin%二二■时取等号），

sinxVsin%sinx2

匹I

sina=—,cos2cif=1-2sin2cif=1-2x—=0.

22

故答案为：0.

7

15.已知函数/（%）=以双8-2）3>0）在区间（,2兀］上有且只有2个零点，则CD的取值范围是_________.

66a）

【答案】）

36

兀兀

【分析】先求得力九——£（兀,2口兀—一］,根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.

66

7兀兀71

【详解】由%£（,2兀］,可得。X----G（71,2^71----］,其中①〉0,

6a）66

因为函数/（x）=cos（ox-3在区间（乂,2兀］上有且仅有2个零点，

66

兀5兀

2①71——>——

则满足］6:,解得《40〈二，即实数0的取值范围是［±,打）.

-71/713636

故答案为:

7U7U

16.已知偶函数/（%）的定义域为R,函数8（%）=51117%-<：051》+51117%-<：057工，且

log2(4x+2),xe[0,1)

/(%)=<g(x),xe[l,9),若在[T/V司上的图象与直线y=2恰有602个公共点，则加的取

/(x-9),xe[9,+oo)

值范围为.

【答案】一,9021

【分析】根据题意，分多个区间研究了（%）与直线）=2有几个交点，利用了（%）在［-机上与直线y=2恰有

602个公共点，即可得出加的范围.

【详解】由题意得了（%）是定义域为R的偶函数,

当xe［0,l）时，I〈log2（4x+2）<log26,

、t,「f厂1t兀/兀5兀・兀、71

当xw|l,5|时，一K—x—,sin—xcos-x

L」44444

.r-八\5兀719兀.7C7C

当x£15,9）时r，—<—x<c—,sin—%Vcos-x

L744444

当xe[9,«»）时，“力是周期为9的周期函数.

因为"％）是定义域为R的偶函数，且"0）=1,

所以了（%）在［0,m\上的图象与直线y=2恰有301个公共点.

"%）在［0,9）上的图象如图所示,

〃力在［0,9）上的图象与直线y=2有3个公共点，

令log2（4%+2）=2,得x=g,

令2后sin［：x_：］=2,得x=2或4.

所以这3个公共点的横坐标依次为2,4.

因为301=3x100+1,

所以工+lOOx9Km<2+100x9,即更见<m<902.

22

故答案为：一,9021

【点睛】关键点睛：本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、

辅助角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.

四、解答题

17.在A3。中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,—ABC的面积为S,已知从+

（1）求角A；

（2）若a=2,求标-c的取值范围.

兀

【答案】（1）A=—

6

⑵（-2,4]

【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角人

⑵利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求回-c=4sinC+三，进而根据正弦函数的性质即可

求解取值范围.

【小问1详解】

已知尸+。2一标=465，由余弦定理和三角形的面积公式,

得2bccosA=4百•g^csinA,即cosA=6sinA，

若cosA=0,则sinA=O,不符合题意，故cosAwO,

所以tanA=3,由AG(O,TI),得人=工.

36

【小问2详解】

a=2,A=—,B+C=n—A=—,

66

b_c_a_2

由正弦定理sin_BsinCsinAsi.n兀—

6

y/3b-c=4^/3sinJB-4sinC=4^A/3sinB-sin=4Qsin--C-sinC

=46—cosC+^-sinC-sinC=4|—cosC+-sinC=4sin(c+四],

[122J[22JI3j

由则C+fe/，/]，得sin[c+m]e]一gl

所以4sinC+三e（—2,4],即、&—c的取值范围（一2,4].

18.已知3c的内角A3,C所对的边分别为a,b,c,a=3,b+6cosB=2c.

（1）求A；

（2）M为，A5C内一点，AM的延长线交3c于点£>,,求ABC的面积.

请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.

①一A3C的三个顶点都在以M为圆心的圆上，且MD=@；

2

②LABC的三条边都与以M为圆心的圆相切，且AD=空.

2

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

71

【答案】（1）-

3

⑵正

4

【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角A的大小；

（2）选择条件①，利用三角形的外心为根据正弦定理、余弦定理可得为等边三角形，再利用面积

2bc

公式可得」43c的面积；选择条件②，利用三角形的内心为利用等面积法求得b+c=——，再根据余弦

3

定理得A=9,即可求得一45c的面积.

【小问1详解】

在，ABC中，因为。=6,所以Z?+2acos5=2c,

由正弦定理，得sinB+2sinAcosB=2sinC，

因为A+3+C=7i,所以sinB+2sinAcos5=2sin（A+5）,

化简，得cosA=；,因为AG（O,TI）,所以A

【小问2详解】

选条件①：

设」43。的外接圆半径为R,

则在.43。中，由正弦定理得2R=——=2石，即尺=百，

sinA

由题意知：BM=CM=&BC=3,

f3+3-91

由余弦定理知：cosZBMC=-----『~]==-->

2xj3x,32

2冗7T

所以=—，/MBD=—.

36

在/BDAf中，由正弦定理知：smZBDM=^^sin^MBD=1,

MD

71

所以ZBDM=—,

2

从而所以ABC为等边三角形,

的面积5=』'32、且=述.

224

选条件②:

]兀

由条件知：ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-,

26

由S极=5由+S皿得*S呜=]•心呜+*心i哈

中小4n3A/3由[、[3y/317\日口入।_2bc

因为AD=---，所以—be=----X—(Z?+c)，即b+c=---,

2222V73

由(1)可得〃+02—9=/^,即S+c)2—3bc=9,

所以[g]-3bc-9=0,4(Z?c)2-21be-81=0-即(4Z?c+9)(Z?c—9)=0,

又因为Z?c>0,所以bc=9,

所以一ABC的面积S=’Asin«=Lx9x1=WI.

23224

19.已知函数/(x)=2^sin2[x+j+2sin2x--1.

(1)求/(%)的单调递增区间;

3「兀-1

(2)方程y(x)=—在o,-上的两解分别为不、%2，求cos(玉一%)的值.

2L，」

【答案】(1)——+kn^—+kn(%wZ)

_63J

⑵』

4

【分析】(1)化简了(%)解析式，利用整体代入法求得了(%)的单调递增区间.

(2)根据三角恒等变换的知识，先求得cos(2%—2々)，然后求得cos(再一9)的值•

【小问1详解】

/(x)=2Gsin?(%+：]+2sin2x一6一1

=A/32sin2fx+1-1-cos2x=-V3cosf2%+1-cos2x

=Gsin2%-cos2x=2sin(2x--^1,

J[7[7C

由——+2E<2x——<-+2kn,

262

所以/(%)的单调递增区间为：一巳+左6^+而(&eZ).

【小问2详解】

、r八兀S兀兀5兀

设M<电,•,x£0,一,贝！)2x---€---,—

122666

7171兀5兀

由于正弦函数y=sinx在区间上单调递增，在区间上单调递减,

6226

由"x)=2sin12xq5,得sin="

3「兀一

因为方程/(%)二—在0,-上的两解分别为石、/，

2L，」

1+cos2%

由cos(2%-2%)=2cos2(%一马)—1，可得cos(玉_々)=l(^i-2)=|

【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求sin。,cos。,tana,一定要注意判断a的范围，根据a的范围来确

定sina,cosa,tana的符号，这一步容易忽略.同样，在用二倍角公式来求单倍角时，也要注意角的范围.

20.已知/(x)="—以2,曲线＞=/(尤)在(1,/⑴)处的切线方程为丁=加:+1.

(1)求a1的值；

(2)求〃*)在［0,1］上的最大值;

(3)当xeH时，判断y=/(x)与，=9+1交点的个数.(只需写出结论，不要求证明)

【答案】(1)a=l,0=e—2；(2)/(x)max=f(l)=e-l;(3)见解析

【详解】试题分析：⑴求出〃%)的导数，计算/'⑴，/(1),求出。，〃的值即可；⑵求出“力的导

数，得到导函数的单调性，得到了(%)在［0,1］递增，从而求出了(%)的最大值；(3)根据函数图象的大致形状

可得>=/(九)与丁=公+1有两个交点.

试题解析：⑴f'［x)=ex-2ax,由已知可得/=2a=b,f(l^=e-a=b+l,解之得

a=l,b=e-2.

(2)令g(x)=/'(x)=e*—2x.则g'(x)=e*—2,

故当0Wx<ln2时，g'(x)<0,g(%)在［0,ln2)单调递减;

当ln2<xWl时，g'(x)>0,g(x)在(In2,l］单调递增；

所以g(x)1nhi=g(比2)=2—21n2>。,

故/。)在［0』单调递增,所以“X)1mx=/(l)=e—1.

⑶当xeH时，y=/(九)与y=bx+l有两个交点.

21.如图，C,£>是两个小区所在地，C,£>到一条公路AB的垂直距离分别为C4=lkm,DB=2km,A8两端之

间的距离为6km.

DD

HPBAQD

(1)某移动公司将在AB之间找一点P,在P处建造一个信号塔，使得P对A,C的张角与P对8,D的张角

相等(即NCR4=NDP8),试求PC+PD的值；

(2)环保部门将在AB之间找一点。，在。处建造一个垃圾处理厂，使得。对C,。所张角最大，试求Q8的

长度.

【答案】(1)PC+PD=3亚

(2)的长度为12-J派m

I2

【分析】(1)设K4=尤，ZCPA=a,NDPB=/?,利用三角函数的定义可求tano=—,tan/=——，

x6-x

由题意可得工=二一，解得X的值即可求解.

x6-x

1?

(2)设AQ=x,ZCQA=a,NDQ/B=〃，利用三角函数的定义得tan。=—,tan/?=----，利用两角

x6-x

%+6tanZCQD

和的正切公式可求tanZCQD=,—，令『=%+6,可得6<f<12,可得=-741O，

x--6x+2t+——18

t

进而根据题意利用双勾函数的性质即可求解.

【小问1详解】

设B4=x,ZCPA=a,NDPB=0,

12

依题意有tan。,tan/=----,

x6-x

12

由tana=tan/?,得一二----,解得％=2,

x6-x

从而PC=JAC2+AP2=&+*=行，PD=ylPB^BD1=A/42+22=275，

故PC+尸。=岔+275=3A/5.

【小问2详解】

设AQ=x,ACQA-cc,ZJDQB—/3,

12

依题意有tanor=—,tan/=----,

x6-x

所以tanZCQD=tan[»—(0+4)]

=-tan(o+/?)

12

—+----

_x6-x

_112

1--.----

x6-x

x+6

%?