2024九年级数学下学期期末综合素质评价二【含答案】

期末综合素质评价(二)一、选择题(每题3分，共24分)1．tan30°的值等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\r(3)2．已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a，c的比例中项，则x等于()A．6cmB．－6cmC．±6cmD．eq\f(81,4)cm3．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1：4B．4：1C．1：2D．2：14．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球D．洗匀后的1张红桃牌，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃牌5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是()A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．eq\f(AP,AB)＝eq\f(AB,AC)D．eq\f(AB,BP)＝eq\f(AC,CB)6．【母题：教材P14思考与探索】将函数y＝2x2的图像向上平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为()A．y＝2x2＋1B．y＝2(x＋1)2C．y＝2x2－1D．y＝2(x－1)27.如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝eq\f(1,4)，则FG的长是()A．3B．eq\f(8,3)C．eq\f(2\r(15),3)D．eq\f(5,2)8．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4eq\r(2)，点D的坐标是(4eq\r(5)，0)，tan∠BDO＝eq\f(1,3)，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(5)，\f(12,5)\r(5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(5)，\f(6,5)\r(5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)\r(5)，2\r(5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)\r(5)，\f(8,5)\r(5)))二、填空题(每题3分，共30分)9．【2023·大庆】为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是____________(填“普查”或“抽样调查”)．10．【母题：教材P41例2】若eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，且a＋b＝7，则a的值为________．11．某校组织九年级学生开展了一次“学科综合素养”调查，并从中抽取了若干名学生的成绩(单位：分)进行了统计(成绩均为整数)，绘制成如下频数分布直方图，已知该校九年级共有学生950人，则本次调查中成绩高于80分的学生共有________人．12．如图，已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心是O，若△ABC与△A1B1C1的周长比为2∶1，△A1B1C1的面积为3，则△ABC的面积为________．13．【母题：教材P17例题】二次函数y＝x2－4x－1的图像开口向________，顶点坐标为________．14．【2023·本溪】如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图像经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为________．15．四边形具有不稳定性：如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则cosα的值为________．16．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图②是它的平面示意图，根据图中的信息求出容器中牛奶的高度CF为________cm.17．抛物线y＝x2＋px＋q(p，q为常数)的顶点M关于y轴的对称点为(－3，n)．该抛物线与x轴相交于不同的两点(x1，0)，(x2，0)，且x12x22－x1－x2＝115，则p＋q＋n的值为________．18．【2023·无锡侨谊实验中学期末】已知二次函数y＝ax2－4ax＋4的图像开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，a＝________.三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)19．计算：(1)2sin60°－3tan45°＋eq\r(9)；(2)eq\f(cos30°,1＋sin30°)＋tan60°.20．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝eq\f(2,3).(1)求证：△ABP∽△PCD；(2)求△ABC的边长．21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sinC＝eq\f(\r(2),2)，tanB＝eq\f(1,2)，AD＝2.(1)求cos∠BAD的值；(2)求△ABC的面积．22.2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，如图，某一时刻在观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′.已知半径OA长14m，拉绳AB长50m，返回舱高度BC为2m，求返回舱底部离地面的高度CE约为多少米(精确到1m)(参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04)．23．为了庆祝第31届世界大学生夏季运动会，某学校积极开设了乒乓球、篮球、足球、自行车越野四种课程(依次用A，B，C，D表示)，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课程(必选且只选一种)”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：①参加问卷调查的学生共有________人；②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________．(2)若该校共有学生1200人，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人．(3)现从最喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用画树状图法或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．24．如图，抛物线y＝ax2＋bx与x轴交于O，A两点，C(2，5)是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式．(2)作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标．25．【2023·恩施州】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4eq\r(2)，求FG的长．26．【2023·福建】阅读下列材料，回答问题．任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图①.工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图③.小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下．测量过程：ⅰ.在小水池外选点C，如图④，测得AC＝am，BC＝bm；ⅱ.分别在AC，BC上测得CM＝eq\f(a,3)m，CN＝eq\f(b,3)m，测得MN＝cm．求解过程：由测量知，AC＝am，BC＝bm，CM＝eq\f(a,3)m，CN＝eq\f(b,3)m，∴eq\f(CM,CA)＝eq\f(CN,CB)＝eq\f(1,3).又∵①____________，∴△CMN∽△CAB，∴eq\f(MN,AB)＝eq\f(1,3).又∵MN＝cm，∴AB＝②________m.故小水池的最大宽度为③________m.(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容．(2)小明求得AB用到的几何知识是__________________．(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．答案一、1．B2．A3．C4．B5．D【点拨】A.当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不合题意；B．当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不合题意；C．当eq\f(AP,AB)＝eq\f(AB,AC)时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不合题意；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选D.6．A7．B【点拨】如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P.由题意可知，AB＝BC＝AD＝4，E是BC的中点，∴BE＝2.∵cosB＝eq\f(1,4)，∴BH＝1，即H是BE的中点．∴AB＝AE＝4.又∵AF是∠DAE的平分线，FG∥AD，∴∠FAG＝∠DAF，∠DAF＝∠AFG.∴∠FAG＝∠AFG.∴AG＝FG.易知四边形ADFP是平行四边形，∴PF＝AD＝4.设FG＝x，则AG＝x，∴EG＝PG＝4－x.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.易知PF∥BC，∴∠AGP＝∠AEB＝∠B.∴cos∠AGP＝cosB＝eq\f(1,4).易得cos∠AGP＝eq\f(\f(1,2)PG,AG)＝eq\f(\f(1,2)(4－x),x)＝eq\f(1,4)，解得x＝eq\f(8,3).∴FG的长为eq\f(8,3).8．D【点拨】根据题意得AB，BD的垂直平分线的交点即为旋转中心点P.连接PD，过点P作PF⊥x轴于点F，过点P作PH⊥BD于点H，并延长交x轴于点G，如图．由题意知点P到AB，BD的距离相等，都是eq\f(1,2)BD，即PH＝DH＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)＝2eq\r(2).∴PD＝eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.∵tan∠BDO＝eq\f(HG,DH)＝eq\f(1,3)，∴HG＝eq\f(2\r(2),3).∴PG＝eq\f(8\r(2),3)，DG＝eq\r(GH2＋DH2)＝eq\f(4\r(5),3).设DF＝x，则GF＝eq\f(4\r(5),3)－x，由勾股定理得PF2＝PG2－GF2＝PD2－DF2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),3)－x))eq\s\up12(2)＝42－x2，解得x＝eq\f(4\r(5),5).∴DF＝eq\f(4\r(5),5).∴PF＝eq\r(PD2－DF2)＝eq\f(8\r(5),5).∵Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(5)，0))，即OD＝4eq\r(5)，∴OF＝OD－DF＝eq\f(16\r(5),5).∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)\r(5)，\f(8,5)\r(5))).二、9．抽样调查10．311．34212．12【点拨】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可．13．上；(2，－5)【点拨】∵y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5，1>0，∴二次函数y＝x2－4x－1的图像开口向上，顶点坐标为(2，－5)．14．6【点拨】如图，延长CD交y轴于点E，连接OD.∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4.∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2.易知AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ADO：S△ODE＝2：3，∴S△ODE＝3.由几何意义得，eq\f(|k|,2)＝3.又∵k>0，∴k＝6.15．eq\f(3,5)【点拨】如图，在▱ABCD中，过点A作AH⊥BC于点H.由题意得BC·AB＝5，BC·AH＝4，∴eq\f(BC·AH,BC·AB)＝eq\f(4,5).∴eq\f(AH,AB)＝eq\f(4,5).设AH＝4x，AB＝5x，∴BH＝eq\r(AB2－AH2)＝3x.∴cosα＝eq\f(BH,AB)＝eq\f(3,5).16．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－\f(5\r(3),2)))【点拨】在Rt△ABP中，∵∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AB＝10cm，∴AP＝eq\f(1,2)AB＝5cm，∠BAP＝60°.∴∠EAP＝30°.∴EP＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(5,2)cm.∴PF＝10－eq\f(5,2)＝eq\f(15,2)(cm)．∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠ABP＝30°.∵∠BFP＝90°，∴tan30°＝eq\f(BF,PF).∴BF＝eq\f(15,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5\r(3),2)(cm)．∴CF＝BC－BF＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－\f(5\r(3),2)))cm.17．－37【点拨】∵顶点M关于y轴的对称点为(－3，n)，∴M(3，n)．∴－eq\f(p,2)＝3，n＝eq\f(4q－p2,4).∴p＝－6，n＝q－9.∵抛物线与x轴相交于不同的两点(x1，0)，(x2，0)，∴x1＋x2＝－p＝6，x1·x2＝q，且p2－4q>0.∴4q<36.∴q<9.∵x12x22－x1－x2＝115，∴(x1x2)2－(x1＋x2)＝115.∴q2－6＝115.∴q＝－11或q＝11(舍去)．∴n＝q－9＝－20.∴p＋q＋n＝－6－11－20＝－37.18．eq\f(1－\r(2),2)【点拨】令x＝0，则y＝ax2－4ax＋4＝4，∴A(0，4)．∵y＝ax2－4ax＋4＝a(x－2)2－4a＋4，∴对称轴为直线x＝2，B(2，4－4a)，C(2，0)．∵点A与点D关于对称轴对称，∴D(4，4)．∴∠DOM＝45°.∵∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN，∴∠NBD＝∠DOM＝45°.如图所示，连接AD，交对称轴于点H，则H(2，4)，作DG垂直AN于点G，设DG＝m，易得BG＝m，∴AB＝BD＝eq\r(2)m.∴AG＝AB＋BG＝eq\r(2)m＋m.∴tan∠DAG＝eq\f(BH,AH)＝eq\f(DG,AG)＝eq\f(m,\r(2)m＋m)＝eq\r(2)－1.∵B(2，4－4a)，H(2，4)，∴BC＝4－4a，CH＝4，AH＝2.∴BH＝BC－CH＝－4a.∴eq\f(BH,AH)＝eq\f(－4a,2)＝eq\r(2)－1，解得a＝eq\f(1－\r(2),2).三、19.【解】(1)2sin60°－3tan45°＋eq\r(9)＝eq\r(3)－3＋3＝eq\r(3).(2)eq\f(cos30°,1＋sin30°)＋tan60°＝eq\f(\f(\r(3),2),1＋\f(1,2))＋eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).20．(1)【证明】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°.∴∠BAP＋∠APB＝180°－60°＝120°.∵∠APD＝60°， ∴∠APB＋∠DPC＝180°－60°＝120°.∴∠BAP＝∠DPC.∴△ABP∽△PCD.(2)【解】∵△ABP∽△PCD，∴eq\f(AB,CP)＝eq\f(BP,CD).设△ABC的边长为x，∴CP＝BC－BP＝x－1.∴eq\f(x,x－1)＝eq\f(1,\f(2,3))，解得x＝3，即△ABC的边长为3.21．【解】(1)∵在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，AD＝2，∴BD＝4.∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝2eq\r(5).∴cos∠BAD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),5).(2)∵sinC＝eq\f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.∵tanC＝eq\f(AD,CD)＝1，AD＝2，∴CD＝2.∴BC＝BD＋CD＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)×AD×BC＝6.22．【解】由题易知EF＝OA＝14m，AF＝OE.在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(502－142)＝48(m)．∵∠CDE＝45°，∠DEC＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形．∴DE＝CE.设DE＝CE＝xm，则AF＝OE＝OB＋BC＋CE＝(50＋x)m，DF＝DE－EF＝(x－14)m.在Rt△ADF中，∵∠ADE＝46°12′，∴tan46°12′＝eq\f(AF,DF)＝eq\f(50＋x,x－14)≈1.04，解得x≈1614.∴CE≈1614m.答：返回舱底部离地面的高度CE约为1614m.23．【解】(1)①240②36°(2)由题意知，最喜欢D课程的人数所占百分比为eq\f(24,240)×100%＝10%，∴最喜欢C课程的人数所占百分比为1－(25%＋35%＋10%)＝30%.∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有1200×30%＝360(人)．(3)由题意画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中“恰好甲和丁同学被选到”有2种，∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).24．【解】(1)∵C(2，5)是抛物线的顶点，∴抛物线对称轴为直线x＝2.∴A(4，0)．∵点A(4，0)，C(2，5)在抛物线y＝ax2＋bx上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＝0，,4a＋2b＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,4)，,b＝5.))∴抛物线的表达式为y＝－eq\f(5,4)x2＋5x.(2)∵OP恰好平分△COD的面积，∴OP经过CD的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).设直线OP的表达式为y＝kx，∴2k＝eq\f(5,2)，解得k＝eq\f(5,4).∴直线OP的表达式为y＝eq\f(5,4)x.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(5,4)x，,y＝－\f(5,4)x2＋5x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al