2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）命题与定理

命题与定理47．（2023•重庆）在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O．（只保留作图痕迹）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O．求证：EO＝FO．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．【分析】根据要求画出图形，证明△COE≌△AOF（ASA），可得结论．【解答】解：图形如图所示：理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO，∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征，所以过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：∠FAO，OA＝OC，∠FOA，过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．48．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．命题与定理46．（2023•岳阳）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形是中心对称图形 D．单项式5ab2的次数是4【答案】B【分析】利用平行线的性质、菱形的性质、正多边形的对称性及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．命题与定理45．（2023•常德）下列命题正确的是（）A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、正方形的对角线相等且互相平分，命题正确，符合题意；B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意；C、矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．46．（2023•绥化）下列命题中叙述正确的是（）A．若方差s甲2＞s乙2，则甲组数据的波动较小 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【答案】D【分析】直接利用方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质分别分析得出答案．【解答】解：A．若方差s甲2＞s乙2，则乙组数据的波动较小，故此选项不合题意；B．直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意；C．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故此选项不合题意；D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质，正确掌握相关性质是解题关键．命题与定理42．（2023•达州）下列命题中，是真命题的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形【考点】命题与定理；轴对称图形；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；菱形的判定．【分析】根据轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、到一条线段两个端点距