2023届河北省承德市双滦区实验中学高三年级上册期末模拟三数学试题

2023届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期期末模拟(三)数学

试题

一、单选题

1.设全集U={04,2,3,4},集合A={xeU||x—2|<1},则()

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2}D.{(),1,3,4}

【答案】D

【分析】先化简集合A,然后用补集的定义即可求解

【详解】由卜一2|<1可得一1<%一2<1,解得1cx<3,

因为全集〃={0,1,2,3,4},所以4={xeU|k-2|<l}={xwU|lvxv3}={2},

所以伞4={0,134}

故选：D

2.如果a,b,c满足cVbVa,且ac<0,那么下列不等式不一定成立的是

A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a—c)<0

【答案】C

【分析】根据可得b-a<0,a-c>0,6—c>(),且”>0,c<。，根据作差法可判断A,

B,D,当6=0时，C不成立，从而可得结果.

【详解】Qc<b<a,且ac<0,.'.a>0,c<0,

:.ab-ac=a^b-c}>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,

AB,D中的不等式均恒成立，

。可能等于0,也可能不等于0,

c"<4加不一定成立，故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的性质以及比较法的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.判

断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积，从而确定出差的符号.

3.已知复数Z=」(i为虚数单位)，贝匹在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先化简复数z,即可得到共挽复数已从而求出［在复平面内对应的点，进而得到答案.

11-i11.

【详解】因为z=T7T=伍而F=5一亍,

所以2=5+51,则三在复平面内对应的点为位于第一象限，

故选：A

a*—x

4.函数/（x）=卡一2~的图象大致为（）

y

A

MV

------------------------------>

x

>

0x

A.B

J八y

V

-----------------------A------------------------------------A

°X0----------X

nr\

C.D.

【答案】C

【解析】分析函数/（X）的奇偶性及其在（0,+8）上的函数值符号,“2）与”3）的大小关系，由此可

得出合适的选项.

3~x-VV-Vx

【详解】函数“x）=一二的定义域为{X|XH0},

所以，函数/（x）为奇函数，排除B选项；

当x>0时，3，>3一，，则/（力>0,排除D选项；

9-133---

/（2）=―^=-=3--'/（3）=——21=3?则〃2）"（3）,所以,函数/（x）在（2,3）上

v7499v7922^3

不是减函数，排除A选项.

故选：C.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；

(2)从函数的值域，判断图象的上下位置.

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势：

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：

(5)函数的特征点，排除不合要求的图象.

5.三个数0.993」og3万Jog20-8的大小关系为

3

A.log3n<0.99<log20.8B.log20.8<log37t<0.99'

35

C.0.99<log20.8<log,nD.log,0.8<0.99<log,n

【答案】D

【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值"0”、"1”即可比较出大小.

3

【详解】由0<0.993V]Jogj^>i,log20.8<0，得log,0.8<0.99<log,n.

故选：D.

【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，属于基础题.

6.如图，在43c中，点。是边8c的中点，AG=2GD，则用向量AB,AC表示BG为()

A.BG=--AB+-ACB.BG=--AB+-AC

3333

C.BG=-AB--ACD.BG=-AB+-AC

3333

【答案】A

i/、numouiiro

【解析】先根据题意，得到AO=](AB+AC),AG=jAD,再由向量的加减运算，即可得出结果.

【详解】因为点。是边8C的中点，所以AO=g(AB+AC),

IM2uun

又AG=2GO，所以AG=jA£>,

因此8G=AG-AB=±4O-AB=L(A8+AC)-AB=LAC-±A8.

33V733

故选：A.

【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.

7.若/、〃是互不相同的空间直线，a、〃是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是。

A.若aHf3,lua,nu0,则〃/nB.若a_L£,/ua,贝iJ/_L£

C.若〃/a,a_L6，则/_L#D.若/_Lc,〃0,则a_L/?

【答案】D

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,由a〃A，ua,“u尸可得或I与”异面,故A不正确；

对于B,由a-L£,/ua可得/与夕的位置关系有相交、平行、在厂内三种，故B不正确；

对于C,由〃/a。，/?可得/与户的位置关系有相交、平行、在月内三种，故C不正确；

对于D,由〃//,设经过/的平面与月相交于直线。，则/〃c,又因为/_La,故。，。，又因为cu夕，

所以a-L，，故D正确.

故选：D.

8.设函数若/(-4)=/(0),〃-2)=_2,则关于》的方程/(》)=》的解的个

数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意求得匕、。的值，可得函数/(x)的解析式.再分类讨论解方程，从而得到关于x的方

程f(x)=x的解的个数.

【详解】解：由f(T)=/(O)得16-4A+C=C,①

由f(—2)=—2得4—2。+c=—2,②

由①②得b=4,c=2.

x2+4x+2(x<0)

所以/(x)=<

2(x>0)

当x40时，由/(x)=x得方程f+4x+2=x,解得X|=-l,x2=-2；

当x>0时，由/(X)=A^X=2.

所以，方程〃x)=x共有3个解.

故选：C

二、多选题

9.下列叙述中正确的是()

A.{0}uN

B.若xeAB,则xeAUB

C.已知aeR,则是"a<6<o”的必要不充分条件

ab

D.命题“VxeZ,f>0”的否定是“主eZ,f<0"

【答案】ABC

【分析】根据自然数集的定义判断A,根据交集、并集的定义判断B,根据充分条件、必要条件的

定义判断C,根据全称量词命题的否定判断D；

【详解】解：对于A：因为OeN,所以{0}aN且{0}ON,故A正确；

对于B：根据xeAB,所以xeA且所以xeAUB,故B正确；

对于c：由即2T<0,即生上<0,即（”+3（纥。）>0,

cihababab

当4<b<0时，。+匕<0,a-b<Ofab>0,所以（"+"）（"_^l>o,gp—<,故必要性成立，

abab

由不一定得到。<6<0,如a>A>0时也成立，故"2<f”是“。</><0，，的必要不充分

ababab

条件，故c正确；

对于D：命题“VxeZ,丁>0”的否定是“小€2,fwo”，故D错误；

故选：ABC

10.已知函数y=V-2x+2在区间句上的值域是则区间[。,目可能是（）

A.[0,1]B.0,1

C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】AB

【分析】根据二次函数的对称轴及单调性即可求得.

【详解】函数y=V-2x+2对称轴为x=l,且/⑴=1,/（0）=/（2）=2,又因为值域为[1,2],由单

调性可知A,B符合；C,D选项的值域为[1,5].

故选：AB

11.下列计算或化简结果正确的是（）

好.八八1八cos6八IE2sinx八

A.右sine・cose=—,tan6+-------=2B.右tanx=—,则------；—=2

2sin。2cosx-sinx

若则~.cosasina

C.sina=^-tana=2D.若。为第二象限角，则7==2

5A/1-sm"aA/l-cos

【答案】AB

【分析】利用siYa+cos2a=l,tana=”色，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求

cosa

值即得.

■以”.4十.3▼工.八八1八cos0sin0cos。1十

【详解】对于A选项：.sm^cos^=-,/.tan+------=-------+-------=--------------=2,故A4正确;

2sin。cos。sin。sin，cos6

12sinx2tanx

对于B选项:tanx=-,m则il------：一Y=2,故B正确;

2cosx-sinx1-tanx

2

对于C选项：：a范围不确定，...tana的符号不确定，故C错误;

对于D选项：Qa为第二象限角，

cosasina_cosasinacosasina

sina>0,cosa<0/.=+/------；—=f------[+1------------+-------=°,故D错误.

Vl-sin~aA/1-COS'a|cosa|卜inacosasina

故选：AB.

12.一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是()

A.ABVEFB.A3与CM所成的角为60°

C.MN//CDD.E户与MN所成的角为60。

【答案】AD

【分析】根据平面展开图还原为正方体，AD选项结合空间之间的位置关系即可判断，BC结合异面

直线的成角即可求出结果.

【详解】

A选项，因为A8//MC,且EFLMC,所以故A正确;

B选项，因为A8//MC,所以4?与CM所成的角为0,故B错误;

C选项，因为AE//MN,且AELCD,所以MNLCD,故C错误;

D选项，因为AE//MN,所以—AEP或其补角为EF与MN所成的角，又因为EF=E4=AE,所以

△AEF为等边三角形，因此NAEF=60。，且异面直线成角的范围为(0，?，所以为EF与MN

所成的角，因此EF与MN所成的角为60°,故D正确；

故选：AD.

三、填空题

,,,11

13.已知数列｛《,｝满足——7--=1>则%=__________.

1+an+\1+an

【答案】-篙17

【分析】数列〈二---[■为以k为首项，1为公差的等差数列.

l1+«J2

【详解】因为4=1，所以”一=:

1+42

11,

又------------=1

1+c*1+4

所以数列｛£｝为以3为首项，1为公差的等差数列.

所以]—=〃一；

1+%2

1,八11917

所以-----=10——=——=>a=----

'"以1+%221n019

17

故填-历

【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.

14.设函数〃x)=d+(a-1*+.若〃x)为奇函数，则曲线y=〃x)在点(0,0)处的切线方程

为.

【答案】尸了

【分析】首先根据奇函数的定义，得到。-1=0,即a=l,从而确定出函数的解析式，之后对函数求

导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式,

得到结果.

【详解】因为函数,f(x)=x3+(a-l)x2+or是奇函数,

所以f(-x)=-/(x),从而得到a—1=0,B|J,

所以/(x)=Y+x,所以『(0)=0,所以切点坐标是(0,0),

因为/(功=3炉+1,所以f(0)=1,

所以曲线y=/(x)在点(o,o)处的切线方程为丁=心

故答案是丁=匕

【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数

的几何意义，属于简单题目.

15.已知双曲线鼻-齐=l(a>0为>0)的渐近线与圆/+丁-4y+3=0相切，则双曲线的离心率为

【答案】2

【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出

=得到离心率.

【详解】*2+丁_4>+3=0化为d+（y_2）2=l,圆心为（0,2）,半径为1,

多-2=1（。>0,6>0）的渐近线方程为y=+-x,

a~b~a

故离心率为2.

故答案为：2.

16.2021年10月，某人的工资应纳税所得额是11000元，纳税标准按如下表格，则他应该纳税

___________元.

纳税级数应纳税所得额税率（％）

1不超过3000元的部分3%

2超过3000元至12000元的部分10%

【答案】890

【分析】计算3000x3%+（11000-3000）x10%即得解.

【详解】解：由题得应纳税3000x3%+。1000-3000）xl0%=890（元）.

故答案为：890

四、解答题

2

17.在_ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.已知戾inA=3csin3,a=3,cosB--.

（1）求6的值；

（2）求cos（28-q）的值.

【答案】（1）而；（2）4^~'.

18

【分析】（1）由加inA=3csin8,利用正弦定理可得而=3反结合〃=3,解得c,再利用余弦定理即

可得出入

(2)由cosB=]可得sinB=仓，再利用倍角公式与和差公式即可得出.

33

【详解】(1)Et|/?sinA=3csinB,

根据正弦定理可得必=36c,

即。=3。，又a=3,

:.c=\.

由余弦定理可得：coSB=|=^£lz£.

32ac

,29+1-从

♦.一=------，

36

解得b=a-

2

(2),cosB=—.

3

sinB=>贝ljsin28=2sin3cos3=^^,

39

cos23=2cos"B—1=—,

9

cos(25--)=cos2Bcos—+sin28sin—=^—.

33318

【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、平方关系、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

18.己知数列｛4｝的前〃项和为S“，3S„=4a„-l.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

<2)设2=iog：,“：og”，求数列也｝的前”项和小

【答案】(1)4=4"T；(2)*

【分析】(1)由递推公式3s,=4“,,-1,再递推一步，得3s角=4“向-1,两式相减化简得

an+[=4a„,可以判断数列｛4｝是等差数列，进而可以求出等差数列｛勺｝的通项公式；

(2)根据(1)和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列也｝的前〃项和7“.

【详解】解：(1)由3s,=--1知3s向=44,用一1

所以3S„+I-3S„=4an+l-4a„,即an+l=2an+l-2a„,从而=4a”

所以，数列｛《,｝是以2为公比的等比数列

又3卬=加-1可得4=1,

综上所述，故”“=4"T.

（2）由（1）可知。“=4"T,故"的=4",。“+2=4向

综上所述，所以iog：*,="，iogk=〃+i,故而——5—

n九+1

所以71=i_g+g_g+Ln

n+\

【点睛】本题考查了己知递推公式求数列通项公式问题，考查了等差数列的判断以及等差数列的通

项公式，考查了用裂项相消法求数列前〃项和问题，考查了数学运算能力.

19.已知椭圆C：乂+卫=1（4＞人＞0）的离心率为且，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

CTb~2

（1）椭圆C的方程；

（2）设直线/：y=；x+，"交椭圆C于4,B两点，且|阴=6,求m的值.

2

【答案】（1）—+/=1；（2）加=±1.

4'

【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知。=2,进而利用离心率的值计算即得结论;

（2）设A（&x）,8仇，％）•联立直线与椭圆方程，消去V得到关于x的一元二次方程，得到根与系

数的关系，再利用弦长公式即可得出.

a2=b2+c2=22

【详解】解：（1）由题意可得c6，

—=--

a2

解得：。=2,b=T,

椭圆C的方程为片+丁=1；

4'

（2）设A（X],yJ,B（x2,y2）.

1

、，、y=—x+tn

联立J2,

x2+4y2=4

得x2+2mx+2m2-2=0,

2

Xj+x2=-2m,%|X2=2m-2,

=y/5-J2-石=加,

解得m=±L

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题.

7T

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，PA=AB=AD=2,ABC。为平行四边形，ZABC=-,A4_L平

面ABC。，E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明：平面AEF_L平面PAD.

(2)求二面角尸-AE-O的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)连接AC,通过证明上4，花和AE_LAD可得答案；

(2)以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,>,z轴建立空间直角坐标系，求出面AEF

和面ABCD的法向量，利用夹角公式求解即可.

【详解】(1)证明：连接AC.因为PA_L平面A8CD,所以A4_LA£

TT

又因为43=4),且ABCO为平行四边形，AABC=~,

所以ABC为等边三角形.

又因为E为8c的中点，所以AE_LBC

又因为AD〃BC,所以

因为R4cA£>=A,所以AE_L平面尸A£),又AEu平面AEF,

所以平面A£F_L平面PAD.

(2)解：以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,>,z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,2),E(V3,0,0),「悍g，[，求=(6,0,0),4尸=停1,1],

因为24,平面ABC。，所以”=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量.

设平面AEF的法向量为加=(x,y,z),

6x=0,

由"?」AE=0，m-AF=0,可得《百1

——x+—y+z=0,

22，

令z=l,贝i」x=(),y=-2

即机=(0,-2,1).

又二面角F-的平面角为锐角，所以二面角E-AE-。的余弦值为g.

21.已知函数/(x)=sin]cos：+cos2]-1.

（1）求函数/（X）的最小正周期及单调递减区间；

⑵求函数”X）在上的最小值.

【答案】（1）最小正周期为2兀，单调减区间是［2E+f,2E+孚］伙eZ）；

44

（2）-2^±l.

2

【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化函数为f（x）=¥sin（x+?）-再由正弦函数的周期和

单调性可得结论.

（2）求出（1）中函数相位的范围，再由正弦函数的性质求解作答.

【详解】（1）依题意，/（x）=—sinx+—（cosx+l）-l=-^-sin（x+—）-—,

22242

所以函数f（x）的最小正周期为2兀；

由2E+'4x+工W2E+电，keZ,^#2far+—＜x＜2fct+—,kwZ,

24244

所以函数f（x）单调减区间是［2如r+E，2ht+m］伏eZ）.

44

（2）由二得：大41+:工二，