2023-2024学年甘肃省兰州市兰州高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年甘肃省兰州市兰州高二上册期末数学模拟试题

一、多选题

i.已知是等比数列，与=2,牝=:，则公比g=（）

8

A.--B.-2C.2D.v

22

【正确答案】AD

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解

【详解】由题意可得/="=],解得q或-工

a21622

故选：AD

2.下列说法的正确的是（）

A.直线加x-y+m+2=0（meR）恒过定点（-1,2）

B.经过定点尸（0,2）的直线的方程都可以表示为y=6+2

C.经过点（0,0）和（0,2）的直线可用截距式方程表示

D.经过任意两个不同的点片（%,必）、直线的方程都可以表示为

（。-乂）（工2一再）=（x-xj（於一%）

【正确答案】AD

【分析】对于A,求出直线/过的定点即可判断；对于B,当斜率不存在的时候可判断：对

于C,由直线过原点即可判断；对于D,结合两点式的概念及辨析进行分析即可

【详解】对于A,由〃a-y+加+2=0（mwR）,得〃?（x+l）-y+2=0,

由解得因此无论机为何值，直线/恒过定点卜L2）,故正确；

对于B,当直线的斜率不存在时，经过定点尸（0,2）的直线的方程不可以表示为y=Ax+2,

故不正确；

对于C,经过原点的直线不可用截距式方程表示，故不正确；

对于D,3-%）（&-玉）=（x-xj（乃-必）为两点式的变形，包含与V轴平行或重合的直线,

故正确;

故选：AD

3.加，〃为空间中两条不重合直线，a为空间中一平面，则下列说法不正确的是()

A.若"ua,则B.若〃？_La,mlln,贝

C.若z«//a,〃ua,则就/”D.若，〃_La,mln,则〃//a

【正确答案】ACD

【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理可判断AC的正误，根据线面垂直的性质可判

断BD的正误.

【详解】对于A,当机ua时，虽有〃?〃"，”ua,但胴〃a不成立，故A错误；

对于B,若mla,则〃?垂直于平面。内的任意一条直线，

而机〃”，故〃垂直于平面a内的任意一条直线，故故B正确；

对于C,若zn//a,“ua,则或机，”异面，故C错误；

对于D,若，"_Lc,mln,则〃〃a或〃ua,故D错误.

故选：ACD.

4.已知等差数列｛凡｝的公差为止前〃项和为S,,,且S4=8,国=-32,以下命题正确的是

()

A.3的最大值为？B.数列1鸟4是公差为的等差数列

2[n)2

C.%是4的倍数D.55<0

【正确答案】AB

【分析】根据已知结合等差数列的通项公式和前〃项和公式及性质分析各选项即可判断.

1013

【详解】由邑=8,国=-32,得｛/，解得％=?,d=_3,

防+郊，=_322

2

所以q=1£3不是4的倍数，故C不正确；

1a1n

所以等差数列｛凡｝的通项公式为(=q+(〃-l)d=—+(n-l)x(-3)=-3n^,

(13_19](_8V64

等差数列也｝的前“项和为<_〃(4+*)_〃[]3"+五1_31”可+丁

"222

Q

由二次函数的性质知，当〃取与己最接近的整数即3时，S,取最大值为

一，_8丫64

_I3j3_21，故A正确；

~1

号丫64

'\3J+35,故D不正确;

=——---------------=—>0

22

—=-----------=——〃+8,

n22

所以2^__鼠=（〃+i）+8_/一；〃+8）=一\

〃+1〃|_2」（2/2

所以数列是公差为-|的等差数列，故B正确

故选：AB

5.在数列｛对｝中，若卬=；,°向=/门，则下列结论正确的有（）

­的前〃项和；生+〃

A.为等差数列B.7=3

I。"，22

C.｛对｝的通项公式为%D.｛%｝的最小值为:

3〃

【正确答案】ABC

【分析】由。向=*7可得一匚=3+工，可得［工］是公差为3的等差数列，然后利用等

3°”+1%a„［a"

差数列的通项公式和求和公式逐项进行分析即可

【详解】由。的=/「可得'-=现出=3+°,

所以是首项为'=3,公差为3的等差数列，故A正确；

：=3+3（〃-1）=3〃，1｝｝的前〃项和7；=3〃+*^1<3=；+｝,故B正确;

由，=3〃可得q=二，故C正确；

a.3〃

因为q=!，4=）<《，故｛%,｝的最小值不为L故D错误；

363

故选：ABC

二、单选题

6.直线3x-y+5=0的斜率为（）

A.—B.3C.—D.—3

33

【正确答案】B

【分析】把直线方程写成斜截式，从而可求直线的斜率.

【详解】直线3x-y+5=0的斜截式方程为：y=3x+5,

故该直线的斜率为：3,

故选：B.

7.已知直线/过且与直线x-y-l=O平行，则直线/的方程是（）

A.x+y+3=0B.x-y+3=0C.x-y-3=0D.x+y-3=0

【正确答案】B

【分析】设直线/：x-y+，〃=O,代入点力（-2,1）可求直线方程.

【详解】因为直线/与直线x-y-l=O平行，故可设直线/：x-y+〃?=O,

代入N（-2,l）,故有-2-1+加=0即加=3,

故所求直线的方程为：x-y+3=0,

故选：B

8.在下列四个正方体中，能得出15_LCD的是（）

【正确答案】A

【分析】由线面垂直的性质可判断A,根据异面直线所成角的计算可判断BCD.

【详解】对A,如图，连接BE,则在正方体中，CD1BE,又4EL平面BCED,C£>u平

面8c£7）,则ZE_LC£>,/Ec8E=E,\.平面48E,月8u平面NBE,，CDJ_,

故A正确;

对B,如图，连接NE,易得CD〃4E,则NB/E为异面直线N8,cr）所成角，NB4E=6Q"，

故CO不垂直，故B错误；

对C,如图，CD//BE,则为异面直线48,CD所成角，易得N4BE=45",故居,CD

不垂直，故C错误；

对D,如图，CD//BE,则/Z8E为异面直线/民8所成角，显然N/8EH90"，故4B,CD

不垂直，故D错误.

R

故选：A.

9.记等差数列｛4“｝的前〃项和为S,,若%=5,牝+%=20,则九=()

A.34B.35C.68D.75

【正确答案】D

【分析】由题意出+为=20,进而可得2%=20,而'。=乂乂肢+小),代入即可得答案.

【详解】%=5,又%+%=20,根据等差中项性质得2a8=20,得私=10,

则又产103+&)=75,

2

故选：D.

10.已知等比数列｛叫的前〃项和为S,，且5$=3,九=9,贝焰5=()

A.20B.21C.22D.23

【正确答案】B

【分析】根据等比数列片段和的性质可求&的值.

【详解】因为｛““｝为等比数列，其前〃项和为S“，

故S"品，-邑，品-5为等比数列,故3,6,$-9为等比数列,

故3(£$-9)=36,故&=21,

故选：B.

11.已知棱长为1的正方体的所有顶点均在一个球的球面上，则该球的表面积是()

A.兀B.2兀C.3花D.4兀

【正确答案】C

【分析】利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，即可求解.

【详解】棱长为1的正方体，其体对角线长为6,

而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线，

故外接球半径为正，

2

该球的表面积为S=4nR2=47tx-3兀

故选：C

12.如图，在直三棱柱中，。为44的中点，AB=BC=BB]=1,AC=4S,

则异面直线8。与/C所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正确答案】C

【分析】取4G的中点E,易得NBDE（或其补角）为异面直线8。与NC所成的角，根据

直棱柱的性质结合条件即得.

【详解】如图，取4G的中点E,连接则/C//4G//QE,

B

所以N8DE（或其补角）即为异面直线8。与NC所成的角,

由题可知===岑，DE=；AC=4,

所以/3。£=60。，

故选：C.

三、填空题

S3〃2

13.已知数列他,｝均为等差数列，且其前〃项和分别为S.和/；.若?=票「则

2=

瓦-------

13

【正确答案】—

【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的?=乎等，再由等差数列的求和公式,

b.b.+公

转化为戏，从而得到答案.

’5

【详解】因为数列㈤｝、也｝均为等差数列，且是=1^,

5(q+%)

所以&=%=妇"=__2_=&=_15-2=13

“2b3b1+b$53+々)7；10+111

2

14.如果直线(a-l)x+S+l)y+4=0与直线x+(a-l)y-l=0互相垂直，则”的值等于

【正确答案】1或-2

【分析】由直线垂直的条件列方程(a-l)xl+(a+l)(a-l)=0求解即可.

【详解】因为直线(a-l)x+(a+l)y+4=0与直线x+(a-l)y-l=0互相垂直,

所以(a-l)xl+(a+l)(a-l)=0,解得：a=l或0=一2

故1或-2

15.在正四棱锥P-Z8CZ)中，AB=\,PA=2,则该四棱锥的体积是.

【正确答案】叵

6

【分析】根据正四棱锥的性质可得正四棱锥的高，然后根据体积公式即得.

【详解】过点P作尸。工平面N8C。，则。为正方形/8C。的中心，连接4C,8。，易知

ACBD=O.

所以。“咚又入2,

所以CP=JP/2_“=

则四棱锥P-ABCD的体积r=--^S2-OP=-xl2x’14='I，.

3326

故答案为.巫

6

16.已知直线/过4(-2,-3),且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线/的方程是

【正确答案】3x-2y=0或x-y-1=0

【分析】分直线过原点、不过原点讨论即可

【详解】当直线过原点时，设直线为卜=云，此时在两坐标轴上的截距为0,满足题意，

将点彳(-2,-3)代入得：-3=h(-2),解得左得，

3

所以此时直线方程为y=即3x-2y=0

当直线不过原点时，设直线为土+2=1,

a-a

将点/(-2,-3)代入得：—+—=1^«=1

a-a

所以此时直线方程为J+4=lnx-yT=0；

1—1

综上，直线/的方程是3工一2歹二0或工一丁一1=0

故3x-2y=0或x-y-1=0

四、解答题

17.已知直线/过点虫-1,2).

(1)若直线/与直线y=1x-3垂直，求直线/的方程；

4

(2)若直线/的一个方向向量为(1,2),求直线/的方程.

【正确答案】(l)y=-4x-2

⑵y=2x+4

【分析】(1)根据直线垂直可设直线/方程，将A点代入求出参数即可：

(2)根据直线方向向量的性质，结合直线点斜式方程进行求解即可.

【详解】(1)因为直线/与直线垂直，故设直线/方程为y=-4x+b,

4

因为直线/过点/(-1,2),所以2=-4x(-1)+6,解得b=-2,

所以直线/方程为V=-4x-2.

(2)因为直线/的一个方向向量为(1,2),

所以直线/的斜率％="=2,

又直线/过点/(-L2),

所以直线/方程为N-2=2(x+l),整理得y=2x+4.

18.记E,为等差数列｛见｝的前"项和，已知％=-4,5,=-9.

(1)求｛““｝的通项公式；

(2)求S,,并求S”的最小值.

【正确答案】(1)。“=〃-5

(2)-10

【分析】(1)根据等差数列的前〃项和，与等差数列的性质求出生的值，然后根据通项公

式求出公差d,就能求通项公式.

(2)根据等差数列的前n项和求出前n项和再根据二次函数的性质求最小值.

【详解】(1)E,为等差数列｛““｝的前〃项和

所以邑=3(q+aJ=壬幺=3al=-9

22

所以利=-3,又因为q=-4

所以=d,:.d=1

所以=q+=-4+1二〃-5

⑵〃(4+用)〃(-4+〃-5)I/…?〃、1)-9Y为81

又因为〃wN*,所以当〃=4或〃=5时S〃有最小值，

最小值为$4=；(不-4x9)=-10

S”的最小值为-10

19.如图，正方体ABCD-AIBIGDI的棱长为2.

(I)证明：ACJ_BiD；

(ID求三棱锥C-BDBi的体积.

4

【正确答案】⑴详见解析；(ID3.

【详解】试题分析：⑴要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，然后根据线面垂直的性质定

理，得到线线垂直，所以先证明-平面(n)根据等体积转化，♦侬曳='%箍里

试题解析：⑴证明：工18cD-.d/CQi是正方体,

BB：-平面

vACU平面.4CD

.浴।L.龄

•.•底面.二8为正方形

：.AC^BD

“"金7'"忘演=E

----4。—平面

BD二平面BD8]

AAC^BXD

(H)解：瓦="1-初：4

BB--平面."CD

83：是三棱锥的高

.“.I=—1x-1x…2x2…x.=—4

323

1.线面垂直的判定定理；2.几何体的高.

20.已知等差数列单调递增，其前〃项和为S,,,%=5,其中4，%，45成等比数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设，=!，也｝的前〃项和记为7；,求证：T„<2.

【正确答案】⑴%=〃

(2)证明见解析

【分析】(1)由已知条件列出关于公差的方程求解即可得到通项公式;

(2)由(1)求得E,得到6,,,利用裂项求和法求出7；即可证明.

【详解】(1)设等差数列｛对｝的公差为认

因为q,%,%5成等比数列，%=5,

所以产="陶,即］25=q(%+24d)

%=51%+4d=5

z\d=｝/、

因为等差数列｛““｝单调递增，解得所以。“=1+(〃-1)」=〃

[a\=1

(2)由(1)知：S=na——“(!=△———

"A122

则"$=一7F2(二一

Stl+\n77+17

土“，，，Jl11111、/1

所以\=a+a+=27—h——=21——

<1223n〃+1)(n+1

21.已知直线/经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-l=0的交点.

(1)若直线/与直线x-2y-l=0平行，求直线/的方程；

⑵若直线/与直线x-2y-l=0垂直，求直线/的方程.

【正确答案】(l)x-2y+3=0；

(2)2x+y-4=0.

【分析】(1)先求两条直线的交点得0,2),再利用直线平行设/的方程为

x—2y+G=0(G*T),把(1,2)代入方程即得;

(2)由直线垂直设直线/的方程为2x+y+g=0,把(1,2)代入方程即得.

,+2y-5=0fx=1

【详解】(1)(1)由1,可得,，

[3x-y-\=0[丁=2

即直线x+2y-5=0和3x-y-l=0的交点为(1,2),

因为直线/平行于直线x-2y-l=0,

可设直线/的方程为x-2y+C=0(GI),

把点(1,2)代入方程得1-2x2+G=0,解得G=3,

所以直线/的方程为x-2y+3=0；

(2)设直线/的方程为2x+y+C2=0,

把点(1，2)代入方程得2+2+C2=0，解得G=-4,

所以直线/的方程为2x+y-4=0.

22.如图，已知在四棱锥尸-月8CD中，PA=AD=PD=2,NB4D=NCDA=90°,AB=2CD,

CD1PA,E,F分别为棱PB,RI的中点.

⑴求证：平面尸.平面£7*C；

(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°,求四棱锥P-Z8C。的体积.

【正确答案】(1)见解析；

(2)2石

【分