甘肃省兰州市城关区天庆实验中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研模拟试题含解析

甘肃省兰州市城关区天庆实验中学2023-2024学年九年级数学第一学期期末调研模拟

试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

|2x|+y=8

1.方程组:1”的解的个数为（）

2"）|=4

A.1B.2C.3D.4

2.随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4,2.9,3.0,3.1,2.6,则这个商场4月份的营业额

大约是（）

A.90万元

B.450万元

C.3万元

D.15万元

3.如图，A8是。的直径，BC=\,C,。是圆周上的点，且NC03=3O。，则图中阴影部分的面积为（）

K百

~6~~

4.如图，抛物线y=o?+区+仪。#0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为T和3,则下列说法错误的是（）

A.对称轴是直线x=lB.方程C+"+c=o的解是％=-1,x2=3

C.当-l<x<3时，y<0D.当x<l,丁随x的增大而增大

5.下列说法正确的是（）

A.对角线相等的四边形一定是矩形

B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上

C.如果有一组数据为5,3,6,4,2,那么它的中位数是6

D.“用长分别为5c7〃、12cm、6c"的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件

6.如图，正三角形ABC的边长为4cm,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，以A,B,C三点为圆心，2cm为半

径作圆.则图中阴影部分面积为（）

A.（26-7T）cm2B.（7t-x/3）cm2C.（4百-2?r）cm2D.（2n-2后）cm2

7.抛物线y=x?+2x+3的对称轴是（）

A.直线x=lB.直线x=-1

C.直线x=-2D.直线x=2

8.如图，矩形草坪A8CO中，40=1（）m,AB=10V3m.现需要修一条由两个扇环构成的便道//EFG,扇环的圆心

分别是B,D.若便道的宽为1m,则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1n?）

GF

D

A.9.5m2B.10.0m2C.10.5m2D.11.0m2

9.将抛物线y=(x-3)2-2向左平移()个单位后经过点A(2,2)

A.1B.2C.3D.4

10.某微生物的直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为（）

A.5.035X106B.50.35x1（）5C.5.035x106D.5.035x10s

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，昆尸分别为矩形ABC。的边A。，8C的中点，若矩形ABC。与矩形外即相似，则相似比等于

12.AABC绕着A点旋转后得到△AB'C',若N84C'=130,NB4C=80,则旋转角等于.

13.若（加+1）丿"刑+63—2=0是关于x的一元二次方程，贝!）团=.

14.关于x的一元二次方程（m-2）%2+3%+加2-4=0有一个解是0,另一个根为.

15.如图，抛物线解析式为了=好，点4的坐标为（1,1）,连接04；过4作丄。4,分别交y轴、抛物线于

点Pi、Bi；过作81A2丄4行|分别交y轴、抛物线于点尸2、A2;过A2作A282丄8/2,分别交y轴、抛物线于点尸3、

B1...X则点P,,的坐标是.

16.如图，四边形43co中，NA=N5=90°,AB=5cm,AD=3cm,BC=2cm,P是A8上一点，若以P、A、D

为顶点的三角形与△P8C相似，则《4=cm.

17.如图所示，“+1个边长为1的等边三角形，其中点A，G，J,C3,…C“在同一条直线上，若记的

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知函数旷二国看，请根据已学知识探究该函数的图象和性质过程如下:

（1）该函数自变量的取值范围为；

（3）结合所画函数图象，解决下列问题：

①写出该函数图象的一条性质：；

②横、纵坐标均为整数的点称为整点，若直线y=-x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6

个整点，则b的取值范围为.

X1-X2Ir-2r-I

20.(6分)先化简，再求值：-———+——---,其中x=0c“s450—」s%3O°.

1/-2x+l1-xJx2-12

21.(6分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=12,点E在AD边上，且AE=8,EF丄BE交CD于F

(1)求证：△ABEs2\DEF；

(2)求EF的长.

22.(8分)已知：如图，反比例函数y=丄的图象与一次函数y=x+6的图象交于点A(l,4)、点8(-4,〃).

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)求AQ钻的面积；

(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.

23.(8分)如图，在。中，弦CO垂直于直径A3,垂足为E,连结AC,将AACE沿AC翻转得到AACE,直

线厂C与直线相交于点G.

(1)求证：FG是。的切线；

(2)若B为0G的中点,①求证：四边形OCBD是菱形；②若CE=2£,求)0的半径长.

24.(8分)在HAABC中，NACB=90。,AC=1,记NA3C=a,点。为射线8C上的动点，连接AO,将射线

D4绕点。顺时针旋转。角后得到射线DE,过点A作AO的垂线，与射线OE交于点P,点8关于点。的对称点

为Q,连接PQ.

(1)当AA5O为等边三角形时,

①依题意补全图1；

②的长为;

4

(2)如图2,当。=45°,且80=5时，求证：PD=PQ.

(3)设3C=f,当尸。=PQ时，直接写出BO的长.(用含，的代数式表示)

25.(10分)某演出队要购买一批演出服，商店给出如下条件：如果一次性购买不超过10件，每件80元；如果一次

性购买多于10件，每增加1件，每件服装降低2元，但每件服装不得低于50元，演出队一次性购买这种演出服花费

1200元，请问此演出队购买了多少件这种演出服？

26.(10分)如图，在放AABC中，ZACB=90，ZA=30,以8为顶点在8C边上方作菱形。8砂，使点DE

分别在AB8c边上，另两边EF,分别交AC于点M,N,且点M恰好平分跖.

(1)求证：DM丄EF;

(2)请说明：MN?=NF•DN.

B

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断.

【详解】解：根据x、y的正负分4种情况讨论：

2x+y=8

①当x>0,y>0时，方程组变形得：\'“，无解；

.2x+y=4

2x+y=8

②当x>0,yVO时，方程组变形得：.",，

2x—y=4

解得x=3,y=2>0,

则方程组无解；

—2%+y=8

③当xVO,y>0时，方程组变形得：0.,，

、2x+y=4

x=—\

此时方程组的解为人；

。=6

—2x+y=8

④当xVO,yVO时，方程组变形得：k.“，无解，

2x—y=4

综上所述，方程组的解个数是1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、A

【解析】x=-（3.4+2.9+3.0+3.1+2.6）=3.所以4月份营业额约为3x30=90（万元）.

3,D

【分析】连接OC,过点C作CE丄OB于点E,根据圆周角定理得出N3OC=2NCZ）B=60。，则有一80c是等边三

角形，然后利用S阴影"S扇形"C-SBOC求解即可.

【详解】连接OC,过点C作CE±OB于点E

2CDB=30。

ZBOC=2NCDB=60°

QOC=OB

；..BOC是等边三角形

..OC=OB=BC=\

.­.CE=OC.sin60°=—

2

2

60.7Z-.11百二百

XLX-

..J阴影一'扇形BOC-JBOC-3602~T~~6-4~

故选：D.

【点睛】

本题主要考査圆周角定理及扇形的面积公式，掌握圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键.

4、D

【解析】由图象与x轴的交点坐标即可判定下列说法是否正确.

【详解】解：•••抛物线与x轴交点的横坐标分别为-1、3,

-1+3..

二对称轴是直线*=-----=1,方程ax2+bx+c=0的解是xi=-LX2=3,故A、B正确；

2

1,当"VxV3时，抛物线在x轴的下面，

.,•y<0,故C正确，

,抛物线y=ax2+bx+c(a/))的开口向上，

...当x<Ly随x的增大而减小，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线和x轴的交点坐标问题，解题的关键是正确的识别图象.

5、D

【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.

【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；

B.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；

C.一组数据为5,3,6,4,2,它的中位数是4,故该项错误；

D.“用长分别为5c7”、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件，正确，

故选：D.

【点睛】

此题矩形的判定定理，数据岀现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题

的关键.

6、C

【分析】连接AD,由等边三角形的性质可知AD丄BC,NA=NB=NC=60°,根据SS^=SAABC-3s第彩AEF即可得出结

论.

【详解】连接AD,

•••△ABC是正三角形，

.,.AB=BC=AC=4,ZBAC=ZB=ZC=60°,

VBD=CD,

.,.AD丄BC,

AD=-JAB2-BD2=A/42-22=2G，

艘=SAABC-3s赢彩AEF=!X4X2百-x3=（4石-2n）cm2,

2360

故选C.

【点睛】

本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.

7、B

【分析】根据抛物线的对称轴公式：x=-丄计算即可.

2a

2

【详解】解：抛物线y=x?+2x+3的对称轴是直线》=-----=-1

2x1

故选B.

【点睛】

此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键.

8、C

【分析】由四边形ABCD为矩形得到aADB为直角三角形，又由AD=1(),AB=10出，由此利用勾股定理求出BD

AD1

=20,又由cosNADB===：,得到NADB=60°,又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m,所以每个扇

环都是圆心角为30°且外环半径为10.1,内环半径为9.1.这样可以求出每个扇环的面积.

【详解】•••四边形ABCD为矩形，

.•.△ADB为直角三角形，

又,•,AD=10,AB=1()6，

；.BD=,心+厶庁,

I

又•；cosNADB=—=-,

DB2

.,.ZADB=60°.

又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m,

所以每个扇环都是圆心角为30°,且外环半径为10.1,内环半径为9.1.

2

30xl0.5X7r30x9.5?x万5

二每个扇环的面积为-------------=一兀

3603603

.,.当“取3.14时整条便道面积为3乃X2=10.4666Q10.1m2.

3

便道面积约为10.1m2.

故选：C.

【点睛】

此题考査内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题.

9、C

【分析】直接利用二次函数平移规律结合二次函数图像上点的性质进而得出答案.

【详解】解：•••将抛物线y=（x-3『—2向左平移后经过点A（2,2）

二设平移后的解析式为y=（x—3+aJ—2

2=（2-3+4-2

.•.a=3或a=-l（不合题意舍去）

将抛物线y=（x—3）2—2向左平移3个单位后经过点A（2,2）.

故选：C

【点睛】

本题主要考查的是二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解

题的关键.

10、A

【解析】试题分析：0.000005035m,用科学记数法表示该数为5.035x1g,故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、&：1（或血）

【分析】根据矩形的性质可得EF=AB=CD,AE=-AD=-BC,根据相似的性质列出比例式，即可得出

22

AB2=AE»BC=-BC2,从而求出相似比.

2

【详解】解：•••■£,厂分别为矩形厶88的边AO,8C的中点，

11

；.EF=AB=CD,AE=-AD=-BC,

22

■:矩形ABC。与矩形EABF相似

.ABBC

:.AB2=AE»BC=-BC2

2

.BC-°

，相似比=亚,:1（或e.）

AB

故答案为：JL1（或血）.

【点睛】

此题考查的是求相似多边形的相似比，掌握相似多边形的性质是解决此题的关键.

12、50°或210°

【分析】首先根据题意作图，然后由NBAC，=130。，ZBAC=80°,即可求得答案.

【详解】解：：NBAC，=130。，ZBAC=80°,

,如图1,ZCAC,=ZBAC,-ZBAC=50°,

如图2,ZCAC,=ZBAC,+ZBAC=210°.

••・旋转角等于50。或210。.

故答案为：50。或210。.

【点睛】

本题考查了旋转的性质.注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

13、1

【分析】根据一元二次方程的定义，从而列出关于，"的关系式，求出答案.

【详解】根据题意可知：机+1加且丨m|+1=2,解得：机=1,故答案为，”=1.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，解本题的要点在于知道一元二次方程中二次项系数不能为0.

14、°

4

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即把。代入方程求

解可得m的值；把m的值代入一元二次方程中，求出x的值，即可得出答案.

【详解】解：把x=0代入方程（m+2）x2+3x+m2-4=0得到m2-4=0,

解得：m=±2,

Vm-2#0,

••m=-2,

当m=-2时，原方程为：-4x2+3x=0

3

解得：X1=O,X2=—，

4

3

则方程的另一根为x=-.

4

【点睛】

本题主要考査对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m的值是解此题的关键.

15、(0,/+”)

【分析】根据待定系数法分别求得直线04人小场、A2B2……的解析式，即可求得修、尸2、P3…的坐标，得出规律,

从而求得点P"的坐标.

【详解】解：•.•点4的坐标为(1,1),

•••直线04的解析式为y=£,

VAiBilOAi,

：.OPi=2,

:.Pi(0,2),

设A\P\的解析式为y=kx+bi,

[k+b.=1，解得〔f2k=-l

・•・直线AiPi的解析式为j=-x+2,

y=t+2

解「2求得31(-2,4),

y=x

VA2BI/7OAI,

设BtPi的解析式为y=x+b2f

:.-2+岳=4,

:・b?=6,

：.Pi(0,6),

y=x+6

解:2求得4(3,9)

y=x

设的解析式为j=-x+b^f

：•~3+优=9,

：•by=12,

，尸3(0,12),

2

Pn(0,n+n),

故答案为(0,n2+n).

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数图象上

点的坐标特征得出规律是解题的关键.

16、2或1

【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A,P,。分别与点8,C,P对应，与若点A,P,。分别与点5,P,

C对应，分别分析得出4尸的长度即可.

【详解】解:设AP=xcm.则BP=AB-AP=(5-x)cm

以A,D,尸为顶点的三角形与以£C,尸为顶点的三角形相似，

①当AO：PB=PA:3c时，

3_x

~5^x~2)

解得x=2或1.

3x

②当AO：3C=P4+P3时，一=----,解得x=L

25-x

...当A,D,尸为顶点的三角形与以5,C,P为顶点的三角形相似，AP的值为2或1.

故答案为2或1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键.

17、9

4〃+4

【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,Bi,B2,B3,…Bn在一条直线上，可作出直线

BBi.易求得△ABG的面积，然后由相似三角形的性质，易求得Si的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值.

【详解】如图连接BBi,B1B2,B2B3S

由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1,B2,B3,…Bn在一条直线上.

；.s.=LXIX昱=旦

224

VBBi/ZACi,

，△BDiBi^AACiDi,△BB1C1为等边三角形

]/7

则CiDi=BDi=-；,△C1B1D1中C1D1边上的高也为X3；

22

旦=旦

~2r

。A一"B2一1

同理可得-5

C2D2AC2-2

2

juyc2D2=y,

1

.o-x2V3_^

2326

B.DB.B1

同理可得：黄n六n=n"^n=一

QDnACnn

••,CR*

s宀無邛=黑

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质.此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法,

注意数形结合思想的应用.

18、直角

【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得NA和NB,即可作出判断.

【详解】VsinA-g+JtanB一百=0,

sinA——-0,tanB—丛—0»

:.sinA=g，tan8=百，

Vsin30°=—,tan60°=6»

ZA=30°,ZB=60°,

AZC=180°-=90°=°,

.•.△ABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求

出NA、NB的度数，是解题的关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）：x>-2；（2）见详解；（1）①当x>-2时，y随x的增加而减小；②2SbVl.

【分析】（1）x+2>0,即可求解；

（2）描点画出函数图象即可；

（1）①任意写出一条性质即可，故答案不唯一；

②如图2,当b=2时，直线y=-x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点（图中空心点）,

即可求解

【详解】解：（1）x+2>0,解得：x>-2,

故答案为：x>-2；

（2）描点画出函数图象如下：

（1）①当x>-2时，y随x的增加而减小（答案不唯一），

故答案为：当x>-2时，y随x的增加而减小（答案不唯一），

②如图2,当b=2时，

直线y=-x+b的图象与该图象相交形成的封闭图形（包含边界）内刚好有6个整点（图中空心点）,

故2WbVL

故答案为：2SbVl.

【点睛】

本题考査的是一次函数图象与系数的关系，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易.

7

20、x+1,原式=-.

4

【分析】先把分式进行化简，得到最简代数式，然后根据特殊角的三角函数值，求出x的值，把x代入计算，即可得

到答案.

x(x-l)21(x+l)(x-l)

【详解】解：原式=丿、——-一厶一

(x-1)'x-ljx-2

____2](尤+1)(1)

(x-1x-1J%-2

_x-2(x+l)(xT)

x—\x—2

=x+l；

当x=0cos45。--57/230°=夜＞＜也一丄X丄=3时，

22224

37

原式=x+l=—+1=—.

44

【点睛】

本题考査了特殊值的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行

运算.

20

21、(1)证明见解析(2)EF=—

3

【分析】(1)由四边形ABCD是矩形，易得NA=ND=90。,又由EF丄BE,利用同角的余角相等，即可得NDEF=NABE,

则可证得厶ABE^ADEF.

BEAB

(2)由(1)AABE^ADEF,根据相似三角形的对应边成比例，即可得——=—，又由AB=6,AD=12,AE=8,

EFDE

利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB-AE,求得DE的长，从而求得EF的长.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

.*.ZA=ZD=90°,

.•.ZAEB+ZABE=90°.

TEF丄BE,

.,.ZAEB+ZDEF=90°,

.".ZDEF=ZABE.

.,.△ABE<^ADEF.

(2)解：VAABE^ADEF,

.BEAB

**EF-DE*

VAB=6,AD=12,AE=8,

•••BE=7AB2+AE2=1()，DE=AD-AE=12-8=1.

106»〜20

••—=一，解得：EF=—.

EF43

415

22、(1))=一，y=x+3;(2)SAAOB=—；(3)x>l,12,-4<a<0

x2

【分析】(D把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；

(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出AACO和ABOC的面积，然后相加即可；

(3)根据A、B的坐标结合图象即可得出答案.

【详解】(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数解析式y=丄，一次函数解析式

X

y=kx+b,得，k=lx4,l+b=4,解得，k=4,b=3,

4

所以反比例函数解析式是y=—,一次函数解析式y=x+3,

x

(2)如图

当y=0时，x+3=0,x=-3,

.••C(-3,0),

1…1c,15

•••SAAOB=SAAOC+SABOC=—X3X4d—x3x1=—

222

故答案为二

2

(3)VB(-4,-1),A(1,4),

...根据图象可知：当x>l或-4<x<0时，一次函数值大于反比例函数值.

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象

等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想.

23、(1)见解析；(2)①见解析，②1

【分析】(D连接OC,由OA=OC得NOAC=NOCA,结合折叠的性质得NOCA=NFAC,于是可判断OC〃AF,然

后根据切线的性质得直线FC与。O相切；

(2)①连接OD、BD,利用直角三角形斜边上的中线的性质可证得CB=OC=OD=BD,再根据菱形的判定定理即可判

定；

②首先证明△OBC是等边三角形，在Rt2\OCE中，根据。。2=。七2+比2,构建方程即可解决问题;

【详解】(1)如图，连接OC,

D

VOA=OC,

.,.ZOAC=ZOCA,

由翻折的性质，有NOAC=NFAC,ZAEC=ZAFC=90°,

/.ZFAC=ZOCA,

，OC〃AF,

.,.ZOCG=ZAFC=90°,

故FG是QO的切线；

(2)①如图，连接OD、BD,

TCD垂直于直径AB,

；.OC=OD,BC=BD,

又YB为OG的中点，

；.CB^-OG,

2

.♦.CB=OB,

XVOB=OC,

/.CB=OC,

贝!J有CB=OC=OD=BD,

故四边形OCBD是菱形；

②由①知，△OBC是等边三角形，

YCD垂直于直径AB,

:.NOCE=30,

：.OE=-OC,

2

设。O的半径长为R,

在RtAOCE中，

有OC-=OE2+CE2,即浦=(-R)2+(26)2,

2

解之得：R=4,

。。的半径长为：1.

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想解决问题.

2产+2

24、(1)①见解析，②PQ=2.(2)见解析；(3)=

t

【分析】(D①根据题意补全图形即可；

②根据旋转的性质和对称的性质易证得.抬。2PQD,利用特殊角的三角函数值即可求得答案；

(2)作「尸丄于尸，AH丄PF于H,证得四边形ACEH是矩形，求得AH=CF,再证得AAZX;三AAHP,

21

求得C/=AH=1,再求得0F=—=—。。，即可证得结论.

32

(3)设CD=X，则=证得求得PD=在三如垃巨,再作丄48,PNLDQ,

z4BD*ACr+x…tx+1

利用面积法求得DM=一百一=卞一，继而求得厶知=7^，再证得RfADM~R9DPN,求得

A8sjf+1\lr+1

fx—1tx—I

DN=——，根据8O=DQ得f+x=2・^—,即可求得答案.

tt

【详解】(1)解：①补全图形如图所示：

②•••为等边三角形，

3/B=NADC=60°,BD=AD,

根据旋转的性质和对称的性质知：N」B=NA0P=6O。，BD=QD,

；.ZPDQ=180°-ZADC-ZADP=60°,AD=QD,

AD=QD

在♦PAD和中，，ZADC=ZPDQ=60°,

PD=PD

:..PAD2PQD,

：.PA=PQ,

•••AAKD为等边三角形，ZACB=90°,AC=\,

.3上宀地

--sin60°G3

2

在&♦A4D中，ZADP=60°,

二PA=ADtan600=述♦百=2,

3

：.PQ=PA=2.

(2)作P/丄BQ于尸，AH丄尸£于H,

yPALAD

:.ZPAD=90,

由题意可知Nl=45°，

Z2=90°-Zl=45°=Z1,

APA^AD,

AZACB=90°.

AZACD=90\

VAH丄PF,PF±BQ,

:.ZAHP=ZAHF=NPFC=90°，

四边形ACFH是矩形，

AZCAH=90\AH=CF,

VZCAH=ZDAP=9(]>，

•••Z3+ADAH=Z4+ADAH=90°，

N3=N4,

又vZACD=NAHP=90°,

：.^ADC^^AHP,

二AH=AC=1,

二CF=A//=1,

41

'：BD=-,-