2023年高中数学知识点总结

名中麻孽羯钥点总储

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“拟定性、互异性、无序性”。

如：集合A={x|y=Igx},B={y[y=lgx},C={(x,y)|y=Igx},A、B、C中元素各表达什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A=k|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为(答：,1,0,1|)

3.注意下列性质：

(1)集合{a.a2,……，a”}的所有子集的个数是2"；(2)若AqBoAnB=A,AUB=B；

德摩根定律：

(3)Cu(AUB)=(CuA)n(CuB),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

4.你会用补集思想处理问题吗？(排除法、间接法)

如：已知关于x的不等式『<0的解集为M,若3eM且5史M,求实数a的取值范围。

X--a

：<o

(V3eM:.a3-5

32-a

飙9,25))

=>a61,

比M

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(v),“且"(人)和“非”(「).

若pAq为真，当且仅当p、q均为真若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之相应元素的唯一性，哪几种

相应能构成映射？(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么？怎样比较两个函数是否相同？(定义域、相应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y=的定义域是(答：仅，2)U(2,3)U(3,4))

lg(x-3)2

10.怎样求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是_(答：[a,-a])

11.求一种函数的解析式或一种函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=贝火20.,.x=t2-1/.f(t)=e,2-1+t2-1.•.f(x)=ex2-,+x2-l(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？(一一相应函数)

求反函数的环节掌握了吗？(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

1+x(x>0)fx-1(x>1)

如：求函数f(X)=1,〉J的反函数(答：fT(X)=1l',，、)

-X2(x<0)［-Q(x<0)

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象有关直线y=x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,贝旺(a)=bu>『(b)=a

r'[f(a)]=r'(b)=a,f[f-'(b)]=f(a)=b

14.怎样用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)

(y=f(u),u=(p(x),则丫=耳95)］

怎样判断复合函数的单调性？

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f［(p(x)］为增函数，否则斗(p(x)］为减函数。)

如：求y=log1(-X?+2x)的单调区间

2

15.怎样利用导数判断函数的单调性？

在区间(a,b)内，若总有r(x)20则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若"x)40呢？

如：已知a>0,函数f(x)=x，-ax在［1,+8)上是单调增函数，贝必的最大值是()

A.OB.1C.2D.3

(令F(x)=3x2—a=3x+用x-用NO则或x之源

由已知f(x)在［1,+8)上为增函数，则占<1，即a<3，a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域有关原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立Of(x)为奇函数=函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立<=>f(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数：一种偶函数与奇函数的乘

积是奇函数(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，贝忸0)=0。

如：若f(x)=a'2'+a-2为奇函数,则实数a=

2X+1

又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xw(0,1)时，f(x)=言不求f(x)在(-1,1)上的解析式。

(令x0),贝!|-xe(0,1),f(-x)=———又f(x)为奇函数，.*.f(x)=——士——=——^―

'''，4+14+11+4

2Xxe(-l,0)

4X1x=()

又f(0)=0,，f(x)=+)

----xe(0,1)

Ux+1I'

17.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(TwO),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数，T是一种周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则(答：f(x)是周期函数，T=2a为f(x)的一个周期)

又如:若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(o)即f(a+x)=f(a—x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期，如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(-x)的图象关于且也对称f(x)与-f(x)的图象关于网(对称

f(x)与-f(-x)的图象关于场县对称f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a,0)对称

将y=f(x)图象左移a(a>0)个单位)y=f(x+a)上移b(b>0)个单位)y=f(x+a)+b

'右移a(a>0)个单位y=f(x-a)下移b(b〉O)个单位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”变换：

f(x)——>|f(x)|

f(x)一>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+1)作出y=|log2(x+1)|及y=女2卜+的图象

y=log2x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(1)一次函数：y=kx+b(kHO)

kk

(2)反比例函数：丫=7(1<力0)推广为丫=6+^—(1<彳0)是中心0,3，b)的双曲线。

(3)二次函数丫=ax?+bx+c(awO)=a［x+O+43；」图象为抛物线

2>

顶点坐标为卜:4ac-b对称轴x=T

4a)

开口方向：a>0,向上，函数y*=4ac.人>.T-4ac-b2

a<。，向下，ym"f-

4a

应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax2+bx+c=0,△>()时，两根X］、x?为二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端点值。

②求闭区间［m,n］上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。(看4点)

A>0

-B>k

如：二次方程ax?+bx+c=0的两根都大于ko<

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于k=f(k)<0

(4)指数函数：y=ax(a>0,awl)

(5)对数函数y=log,x(a〉0,awl)由图象记性质!(注意底数的限定！)

(6)“对勾函数"y=x+；(k>0)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20.你在基本运算上常出现错误吗？

1m____

p7--1

指数运算：a°=l(aw0),a-=—(a#0)a=V^(a>0),a11=--(a>0)

apVam

对数运算：logaM-N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga，=log,M-log；,N,log;1VM=-logaM

Nn

对数恒等式：a%'=x对数换底公式：loga6=旭也=log.bn=3ogab

logcaam

21.怎样解抽象函数问题？(赋值法、构造变换法)

如：(1)xGR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)为奇函数。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x)是偶函数。

(先令x=y=Tnf[(-t)(-t)]=f(t•t)

•*.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t).*.f(-t)=f(t)...)

(3)证明单调性:f(x2)=f[(x2-X1)+x2]=....

22.掌握求函数值域的常用措施了吗？

(二次函数法(配措施)，反函数法，换元法，均值定理法，鉴别式法，利用函数单调性法，导数法等。)

如求下列函数的最值：

,---------2、&-42x2

(1)y=2x—3+J13—4x(2)1='——(3)x>3,y=——

Jx+3x-3

(4)y=x+4+-9-x'(设x=3cos0,0G[0,可)(5)y=4x+—,xe(0,1]

x

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sina=MP,cosa=OM,tana=AT

jr

如：若——<0<0,则sin。，cos0,tan。的大小顺序是

8--------------

71

又如：求函数y=Jl-0cos------X的定义域和值域。

2.

J5

=1-V2sinx>0sinx<----,如图:

2

2k兀<x<2kn4--^-(keZ),0<y<Jl+拒

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

|sinx|<1,|cosx|<1

y=sinx的增区间为2k兀一色，2k7r+—eZ)I咸区间为2k7t+工，2k兀(keZ)

22,22

图象的对称点为(kn,0),对称轴为x=k兀+■|(keZ)

y=cosx的增区间为［2k7t,2k?r+兀］(keZ)减区间为［2k7r+兀，2k7r+27t］(keZ)

图象的对称点为M兀+；,0j,对称轴为三包支包

y=tanx的增区间为(kn-,k7t+keZ,对称点为(或，。)，keZ

26.正弦型函数y=Asin(cox+①)的图象和性质要熟记。［或y=Acos(cox+叫

2兀

(1)振幅|A|,周期T=若f(x(,)=土A,则x=x(,为对称轴。

若f(x0)=0,则(x0,0)为对称点，反之也对。

(2)五点作图：令cox+(p依次为0,曰，it,g,2兀，求出x与y,依点(x,

y)作图象。

(3)根据图象求解析式。(求A、3、①值)

co(Xj)+(p=0

如图列出<71解条件组求8、9值

CD(X)+(p=

22

71

△正切型函数y=Atan(cox+(p),T=

|w|

27.在三角函数中求一种角时要注意两个方面一一先求出某一种三角函数值，再鉴定角的范围。

如：8八+5=一母,XG卜,明,求X值。

.7兀715K715兀

・---<XH----V----，••Xd----/.x=—71)

26636412

28.在解具有正、余弦函数的问题时，你注意(到)利用函数的有界性了吗？

如：函数y=sinx+sin|x|的值域是

(xNO时，y=2sinxe[-2,2],x<0时，y=0,ye[-2,2])

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

(1)点P(X,y)■=(%')>p，(x',y'),则F=*+11

平移至[y'=y+k

(2)曲线f(x,y)=0沿向量：=(h,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=O

如：函数y=2sin(2x-：)-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的图象？

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

»1iL

如：1=sin-a4-cos-a=sec"a-tan"a=tana•cota=cosa•seca=tan—

4

=sin—=cosO=.......称为1的代换。

2

“k•工土a”化为a的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos号■++sin(217i)=又如：函数y=@吧上强巴，贝Uy的值为

4\6/cosa+cota

A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值

sina

sina+sin2afcosa+1)

(y=---------烟6=_7---------Uo,Va0)

cosacosa(sina+1)

cosa+\)

sina

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幕公式及其逆向应用了吗？

令a=p

了解公式之间的联络:sin(a±p)=sinacosp±cosasinp>sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp干sinasinp——-~-->cos2a=cos2a-sin2a

tana±tanp

tan(a±0)=2cos2a-1=1-2sin2a=>

1+tana•tanp

71+cos2a

F2tanacos-a=------------

tan2a=--------—2

1-tan"a.l-cos2a

2sin-a=------------

2

asina+bcosa=Va2+b2sin(a+(p),tan(pb

a

Tt

sina+cosa=V2sin|a+—sina+V3cosa=2sin(a+g

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数至少、函数种类至少，分母中不含三角函数，能求值，尽

量求值。）详细措施：

a+p

(1)角的变换：如p=（a+B）—a,（2）名的变换：化弦或化切

2……

(3)次数的变换：升、降基公式（4）形的变换：统一函数形式，注意利用代数运算。

如:已知si0°〈Osa=],tan(a-p)=--,求tan(p—2a)的值。

1-cos2a3

sinacosacosa/、2

（由已知得:1,/.tana=-又tan(p-a)=—

2sin2a2sina2

21

3-2

•・.tan(P_2。)=tan[("a)-止,鲁曹。

],+2—1•8

32

32.正、余弦定理的多种体现形式你还记得吗？怎样实现边、角转化,而解斜三角形？

b24-c2-a2

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=>cosA

2bc

（应用：己知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a=2RsinA

bc

正弦定理：——=2R=<b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=-a•bsinC

△A2

sin梃=c°sC

VA4-B+C=K,/.A+B=7i—Csin(A+B)=sinC,

22

A+B

如AABC中，2sin2-------+cos2C=1

2

（1）求角C；

CCc2

(2)若a?=b?+—，求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1—COS(A+B)+2COS2C—1=1

又A+B=兀-C,•**2cos~C+cosC-1=0

1jr

.•.cosC=—或cosC=—1(舍)又0<C<7i,，C=」

23

(2)由正弦定理及a?=b2+-c2W：

2

jr3

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=—

34

33

1—cos2A—14-cos2B——・・cos2A—cos2B——)

44

33.用反三角函数表达角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinxe——，—,xG反余弦：arccosxe[0,可，x1]

22

(I，(xeR)

反正切：arctanxG--

34.不等式的性质有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b,(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

c<0=>ac<be

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd(4)a>b>0—<一，a<b<0—>一

abab

(5)a>b>0^an>bn,Va>Vb(6)|x|<a(a>0)«-a<x<a,|x|>a=xv-a或x>a

如：若。<,<0,则下列结论不正确的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2C.|a|4-|b|>|a+b|D.—l—>2答案：C

ba

35.利用均值不等式:

a2+b2>2ab(a,bGR+j；a+b>2<ab;abW(色|电)求最值时，你是否注

意到“a,beR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定

值？(一正、二定、三相等)注意如下结论:

、a+br、2ab/、

>------>vab>-------|a,beRJ当且仅当a=b时等号成立。

2a+b'+,

a2+b2+c2>ab+be+ca(a.beR)当且仅当a=b=c时取等号。

「八八八nnibb+m〔a+na

a>b>0,m>0,n>0,贝U—<-------<I<-------<—

aa+mb+nb

4

如：若x>0,2-3x—-的最大值为

Y------------------------------------

(设y=2-<2-2V12=2-4V3当且仅当3x=&,又x>0,...x=Z工时，丫„m=2-46)

x3

又如：x+2y=l,则2*+4丫的最小值为(•••2、+22yN2J尹=2万，，最小值为2后)

36.不等式证明的基本措施都掌握了吗？(比较法、分析法、综正当、数学归纳法等)

并注意简朴放缩法的应用。

如:证明]HH-+…H-<2

(1H7—7+....T<]^-----1-----F...+----r-

2232n21x22x3(n-l)n

=2——<2)

37.解分式不等式3>a(aw0)的一般步骤是什么?

g(x)

(移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得成果。)

38.用“数轴标根法”解高次不等式一一“奇穿，偶回”，从最大根的右上方开始

1是偶重根

如：(X+1XX-1)2(X-2)3<0

39.解具有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论

40.对具有两个绝对值的不等式怎样去解？(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最终取各段的并集。)

例如：解不等式|X—3HX+1]<1(解集为卜|X>；1)

41.会用不等式|aHb|K|a±b|W|a|+|b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)=X?-x+13,实数a满足|x-a|<l求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+l)

证明：|f(x)-f(a)|=|(x2-x+13)-(a2-a+13)|

=|(x一a)(x4-a-1)|(v|x-a|<1)

=|x-a||x+a-l|<|x+a-1|X|x|-|a|<|x-a|<LA|x|<|a|+1

<|x|+|ah-l

...|f(x)-f(a)|<2|a|+2=2(|a|+l)(按不等号方向放缩)

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“△”问题)

如：a<f(x)恒成立=a<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立oa>f(x)的最大值

a>f(x)能成立oa>f(x)的最小值

例如：对于一切实数x,若卜-3|+k+2]>2恒成立，贝必的取值范围是

(设u=|x-3|+|x+2],它表示数轴上到两定点-2和3距离之和

umin=3-(-2)=5,，5>a,即a<5或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,/.a<5)

43.等差数列的定义与性质

定义：a,.—a0=d(d为常数)，an=a,+(n-l)d

等差中项：x,A,y成等差数歹！J=2A=x+y

、,(a,+a„)nn(n-1)

前n项和=--------=na,H-------d

22

性质：｛a#是等差数列

(1)若m+n=p+q,则am+a0=+aq；

(2)数列｛a.J,｛a?),｛kan+b｝仍为等差数列；Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍为等差数列；

(3)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；

(4)若a”，bn是等差数列[为前n项和，则4_=基曰；

bm^2m-l

(5)｛aj为等差数列OS.=a/+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)

S”的最值可求二次函数S.=an?+bn的最值；或者求出｛aj中的正、负分界项，即：

a>0

当即>0,d<0,解不等式组“一可得5,,达到最大值时的n值。

U+1<0

a<0

当为<0,d>0,由n-可得Sn达到最小值时的n值。

如：等差数列｛aj,S“=18,an+an_]+an_2=3,S3=1»贝Un=

(a+a)j

(由an+a.1+a。-2=3=>3an_1-3,•«an_|=1又S3=~~~*3=3a2=1>..a?=5

(a.+an)n

2.•.n=27)

2

44.等比数列的定义与性质

定义:=q(q为常数，q7O),a=a.q"-1

a„n

等比中项：x、G、y成等比数列nG?=xy,或6=±67

na,（q=1）

前n项和：S=a,（l-q"）（要注意!）

n——Z（q*1）

Ii-q

性质：｛aj是等比数列

若则。

(1)m+n=p+q,a,1•a=ap•aq(2)S„,S2„-Sn,S3n-S2n……仍为等比数列

45.由S”求a”时应注意什么？(n=l时，a]=S],nN2时，an=Sn-Sn_,)

46.你熟悉求数列通项公式的常用措施吗？

例如：（1）求差（商）法

如：｛」满足+」，+....

a'a17a+4-an=2n+5<1>

解：n=l时，—a.=2x1+5,Aa.=14

2

时，好・・・时]=口-

nN2a?+…+*221+5<2>

14(n=l)

<1>—<2>得：--a=2Aa=2n+l/.a

20nnn2n+1(n>2)

又如：数列｛aj满足S”+S“+[=（向，a1=4,求a。

s

（注意到2向=5向一5„代入得：削=4

又S1=4,.•.,1,｝是等比数列，Sn=4

nN2时，an=S“-SnT=……=3•4'一

(2)叠乘法

例如：数列｛a0｝中，a,=3,%!=」-,求丁

ann+l

ea,a,a12a一3

解：—•——....—n—=—•—n—1，.n1

••—又a1=3,.*.an=—

aia2an-l23na,nn

(3)等差型递推公式

由an=f(n),aj=a0,求用迭加法

n>2时,a2-a,=f(2)

，3-2=*3).两边相加,得:

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

af

n-an-i=(n)

.•.an=a0+f⑵+f⑶+……+f(n)

nn

例如：数列｛aj,a,=1,an=3-'+an_,(n>2),求a_(an=1(3-l))

(4)等比型递推公式

an=can_j+dd为常数，cwO,cwl,dwO)

可转化为等比数列，设+x=c(an_]+x)=>an=can_j+(c-l)x

^(c-l)x=d,.\x=—.Jan是首项为a#/-,c为公比的等比数列

c-11c-1Jc-1

例如：数列｛aj满足a1=9,3an+l+an=

(5)倒数法

2a

例如：=1,a=求

n+1an+2

由已知得：-=^^=-+—

a

.1+i2a“2an

为等差数列，—=1,公差为工—=l+(n-l)«-=-(n+l)Aa,,=—

anJ2an22n+1

47.你熟悉求数列前n项和的常用措施吗？

例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：｛aj是公差为d的等差数列，求2n」1一

k=lakak+l

.11if111八八\

解：由---------=-7-----v=----------(dW0)

ak•ak+Iak(ak+d)d<akak+1；

、

n1

•••I—zT--1

k=l^k^k+1k=idIak+l^

1Tii、

dla〕an+l>

求和：1+」一+——-——++----------------

1+21+2+31+2+3+...+n

(2)错位相减法：

若｛an｝为等差数列，｛b.｝为等比数列，求数列｛a“bn｝(差比数列)前n项

和，可由Sn-qSn求Sn,其中q为｛bj的公比。

23

$n：Sn=l+2x+3x+4x+........+nx'i<1>

234n-1n

x,Sn=x+2x+3x+4x+........+(n-l)x+nx<2>

<1>—<2>：(1—x)S|)=l+x+x~+........+xn—nx"

l-xnnx"

l^x

,n(n+l)

x=1时，S=1+2+3+.......+n=---------

n2

(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S=a1+a+........+a_.+a”

n2n，相力口

Sn=an+ai+.........+a2+a)

2sli=(a,+an)+(a2+a,i)+........+(a[+an)

例如：已知f(x)=*^,P1ljf(1)+f(2)++f(3)++f(4)+=

X21

1+X2+1+X2=1

...原式=式1)+f(2)+f(；)+f(3)+f(J+f(4)+f(j卜;+1+1+1=3；)

48.你懂得储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为：

....等差问题

Sn=p(l+r)+p(l+2r)+.......+p(l+nr)=pn+'。9人

△若按复利，如贷款问题一一按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款一一分期等额偿还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如

此下去，第n次还清。假如每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足

p(l+r)n=x(l+r)n1+x(l+r)z+........+x(l+r)+x

p贷款数，r---利率，n---还款期数

49.解排列、组合问题的根据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

(1)分类计数原理：N=m,+m2+....+mn(mj为各类办法中的方法数)

分步计数原理：N=m,-m2……mn(n^为各步骤中的方法数)

(2)排列：从n个不同元素中，任取m(m(n)个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A)

n!

A"'=n(n-l)(n-2)...(n-m+1)=(m<n)规定：0!=l

(n-m)!

(3)组合：从n个不同元素中任取m(m<n)个元素并构成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C：：.

A"1_n(n-1)....(n-m+1)_n!

规定：C；=1

A：：m!m!(n-m)!

(4)组合数性质：C；=C，m,C：+C：T=C3,C：+C；+……+C：=2n

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分

组可采用隔板法，数量不大时能够逐一排出成果。

如：学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

Xje{89,90,91,92,93卜(i=L2,3,4)且满足x1<x?WX3<x4，

则这四位同学考试成绩的全部可能情况是()A.24B.15C.12D.10

解析：可提成两类：

□□□□

(1)中间两个分数不相等，X1<X2<X3<X4有c；=5(种)

(2)中间两个分数相等x,<x2=x3<x4

相同两数分别取90,91,92,相应的排列能够数出来，分别有3,4,3种，.•.有10种。

二共有5+10=15(种)情况

51.二项式定理

(a+b)n=C"an+C>n-Ib+C；an-2b2+—+C>n-rbr+…+C"bn

nrr

二项展开式的通项公式：Tr+1=C>-b(r=0,1……n)

C：为二项式系数(区别于该项的系数)

性质：

(1)对称性：C：=C7(r=O,1,2,……，n)

(2)系数和：C：+C；+…+C：=2。

C；+C：+C：+…=C：+C：+C：+…=2^

(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

项，二项式系数为eg；n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式

I1上1n+1

系数最大即第3项及第山+1项，其二项式系数为cF=cF

22

如：在二项式(x-l)”的展开式中，系数最小的项系数为(用数字

17

表达)(Vn=ll共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第一=6或第7项

2

由C；1X“T(T)r,.•.取r=5即第6项系数为负值为最小：-丁=-玛=T26

2(XM220<>4

又如：(l-2x)=a0+a,x+a2x+.......+a2004x(xGR),贝！J

(a0+al)+(a0+a2)+(a0+a3)+.......+(a。+a2004)=(用数字作答)

a=

(令x=0,得：a0=1令x=l,得：a0+a2+.........+2oo4'

.,.JM^=2OO3aUo+(\aUo+a,i+.......+a9(XM')/=