2022-2023学年辽宁省六校高三年级上册期中联考数学试卷及答案

数学试题

考试时间：120分钟满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0}则下列关系中正确的是()

A.MUN=MB.MU[„N=MC.NU[„M=RD.MAN=M

2.若复数瑞足iz=T+4则|z|=

17

A._B.菖C.、5D.2

3.rtVxe[-2,l],/-2aWO”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.>0zn\B.(2>1/\C.a>2D.a>3

4.已知tar/吃⑸=2,贝IJcos'e"L()

A.2B.-2C,2D.-1

5555

5.已知偶函数在区间(-8,0]上单调递减，则满足了(2x-l)<d?的x的取值范围是(

)

A，圜B.牌）C.（螂D.冏

6.已知函数,f（x）=4sinx+2cosx在工£-'，-兀上单调递增，则。的取值范围为（）

34J

A.a之0B.—2<a<2C.a>—2D・"20或2

7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积

分别为丫和丫.若£1=2,则叱=()

甲乙S乙匕

一一寸T0

A.J5B.J10C.272D・

8.已知且噂=-51na,嵋=-31n〃，“，=-21nc,则()

C)~——

A.b<c<aB.c<h<a

C.a<c<hD.a<b<c

数学试卷第1页，共4页

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是

符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分,部分选对得2分。

9.已知a,"ceR,则下列命题不正确的是（）

4—>—=>a>hB.a>bnac2>he2

ab>0\97

C=>ah<abD./nJ〉）

,卜卜一；

a>bJab<0Jab

已知力sinA=（3Z?-c、）sinB,且cosA=L,则下列

内角A,B,C的对边分别为*b,

3

结论正确的是()

A.a+c=3hB.tanA=2<2

C.△A3C的面积为之，/I）.“3。的周长为4c

9

11.在棱长为2的正方体ABC。-4向C.中，点M,N分别是棱AR,48的中点，则()

A.异面直线M。与AC所成角的余弦值为1B.MCLDN

511

C.平面MNC截正方体所得的截面是四边形D.四面体CABQI的外接球体积为4属

/2.已知数列｛0｝满足a=8,a=\,a〃为偶数,T为数列｛〃｝的前〃项和，则下列

n\2n+21-2,"为奇数""

说法正确的有()

〃一2

A.〃为偶数时，4=(_]>B.Tin=一层+9〃

C.7^=-2049D.。的最大值为20

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分。

f2x2+Lx<0

13.已知函数,则〃4)=口

[./(x-3),x>0

14.正方形ABCD的边长为2,以AB为直径的圆M,若点P为圆M上一动点，则PCPZ)的取值

范围为__________________

/、\x-a,x<0/、/、

15.设函数/(x)=,已知x<x,且〃x)="x),若x—x的最小值为e,则“的值

[\nx,x>Q121221

数学试卷第2页，共4页

为.

16.在三棱锥P-AfiC中，尸4,平面曲AC1CB,PA=AC=BC=4.以力为球心，表面积为

36询球面与侧面质的交线长为.

四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(本题满分10分)

已知等比数列｛a”｝的公比4声1,且%=2,2a｝+a3=3a2.

(1)求数列｛。肩的通项公式：

n

(2)设数列｛a｝的前〃项和为S,求数列｛｝的前〃项和.

""S,.+2

18、(本题满分12分)h+c

在①"£=②sin4='③2S=-三个条件中任选一个补充在下面

cosC2a+csinB-sinCa+c

的横线上，并加以解答

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且______,8。是NABC的平分线交AC于点。，

若BD=1,求(1)求角B⑵求4a+c的最小值.

19、(本题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AO，平面CDP,PD=CD,DE=PE,

且NPCD=30°.

(1)求证：平面AOEJ.平面ABCD；

(2)若CZ>=3,AD=2,求直线用与平面组所成角的正弦值.

P

数学试卷第3页，共4页

20、(本题满分12分)

已知函数〃x)=2sin1%_"\布彳》+£\23cps2,

3T613J3

V7kJ\)

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)=/(2x)-a在区间।0,41上恰有3个零点》,尤<x<x),

|l12I]123123

(i)求实数”的取值范围；

(ii)求sin(2_X|+电一天)的值.

21、(本题满分12分)

已知正项数列｛。｝的前〃项和为S,。=2,且满足4s=a2-4n-4.数列出｝满足

iin1nM+1n

b+2b+3b+…+nb=(n-1)2W+1.

123n

⑴求数列｛a,,｝,也｝的通项公式；

⑵若从数列｛4｝中去掉数列出｝的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛5｝,设数列｛g｝的前n

项和为力，求心.

22、(本题满分12分)

已知函数/(x)=lnx,g(x)=N-x+l.

(1)求函数力(x)=/(x)-g(x)的极值；

(2)证明：有且只有两条直线与函数/⑴，g(x)的图象都相切.

数学试卷第4页，共4页

高三

数学试题答案

单选题ACDBACBA

二.9.ABC10.ABC11.BD12.AC

三.填空题：13.914.[0,8]15.1-e16.n

四.解答题

17.由2。+。=3。=>2乂2+2・/=3乂24=夕=2,或q=l（舍去），

132

所以q=2・2〃」=2〃；--------5分

【小问】

由（1）可知q=2",所以s=2（l—2"）„+i=

n1-2

n_n=〃-1n+in

所以不不一百（3,设数列｛■7二｝的前顽和为乙，

〃+[，2]，]3〃+L

23

lx+2x+3x4♦•+”•1"+i

“弓）手弓）弓）⑴'

113

T=lx+2X1”+3x1$+…+〃.1/2⑵，-------&分

广P（2）（5）（3

（1）-（2）

11

r-^

-“+2=>T=]—（〃+2>（,"+i________]0分

2〃2

18.解：若选①：根据正弦定理由丝生b-曰cosBsinB

，得一,即

cosC2a+ccosC2sinA+sinC

-2sinAcosB=sinBcosC+cos8sinC,

又因为sin3cosC+cos3sinC=sin（B+C）=sin（ZF-A）=sinA，sinAwO,所以cos8=:

2

又0<8<万，所以8="

6

3

因为3。是NA3C的平分线交AC于点。，BD=T,所以/AB。==:

3

ADg、isinZABD

在/XAB。中,,所以AD=c

sin/ADBsinZABDsinZ.ADB

AD2=c2+BU-2c-BDcosZ.ABD=/+1-c,

二八二厂|、〃八sin^CBDADc

在△CH。中,CD,所以1CO二a,所rr以_=」

sinZCDBsinZCBDsinZCDBCDa

CD2=a2+BD2-2aBDcosZ.CBD=岸+1一〃

试题

2高三

AScA.iri1

2=F=,，整理得a+c=ac,即'+=],

所以----a2a2+l-aac

CD----------_

2

3

所以4a+c=（4a+c）-+1]=5+'+4%5+2=9,当且仅当'=而，Bpa=,c=3

E"4十]/a'T«V2

时取等号,

故4“+c•的最小值9；--12分

若选②：根据正弦定理由7aA—,得」=",即4+°2-〃=-讹,所以由

sinB-sinCa+cb-ca+c

a2+c2—b21cos3=-1R_21

余弦定理得cosB=--------------=-,即彳，又0<B<》,所以"=?，因为8。是

2ac22J

7T

N45C的平分线交AC于点O,BD=1,所以/A8O=NC3。1，

3

4nrrIM.AsinZ.ABD

在△ABO中，----c---------------所以AO=---------------c,

sinNADBsinZ.ABDsinZADB

心=c2+BD2-2cBDcosZABD=c2+l-c,

..sinZ.CBD4。c

在ACB。中，________CD所以CQ=________a,所以_=」

sinZCDB~sinZCBDsinZCDB'CD~a

CD2=a2+BD2-2a-BDcosZCBD=a2+1-a,

A2Dcz*2_i_i—「ii

fiCrI===三土二，整理得a+c=ac，即上+工=1，

所以----a-cP+X-a&c

CD

2

.f\1、c4〃c4u3

所以4〃+u=（4〃+c）+i=5++>5+2lc4a=9,当且仅当=，即。=,c=3

44P£下2

时取等号，

故4a+c的最小值9;

若选③：由2s=-/84BC得2豪csinB=-、§accos8,即sinB=-4cosB,所以

27r

tanB=-,又O<B<71,所以8=一,因为8。是NABC的平分线交AC于点。，BD=1

3

jr

,所以乙48O=NC8O=<_

3

4n…sinZ.ABD

在△A8O中,—-，所以4£）=c

sinNADBsinZ.ABDsinZ.ADB

AD2=c2+BD2-2c-BDcosZ.ABD=c2+1-c,

在ACBO中，a_CD,所以co=>n4以）。,所以竺=]

sinZCDB-sinZCBDsinZCDB'CD'ct

CD2=a2+BD2-2aBDcosZCBD=a2+1-a,

ADcz»2_i.i—]i

所以-'整理得即7*'

CD

2

试题

高三

（1］、c4〃c4〃3

所以4a+c=（4a+c）+=5++>5+2^^=9,当且仅当=,即。=,c=3

grJhp七下工工2

时取等号，

故4a+c的最小值9；--12

19.(1)因为PD=CD,所以//5。=/。/>。=30°,所以/尸。。=120°,

又因为QE=PE，所以NPOE=NEPO=30°,所以NEQC=90。，所以ECOC,

又因为ADJ.平面COP，DEu平面CDP,所以AD1DE，

又因为C£>nAD=。，CD、AOu平面ABCD,所以平面ABCD,

而OEu平面AOE,所以平面AQEL平面ABC。------6

(2)如图，以。为坐标原点，分别以DE、DC、D4所在的直线为坐标轴正方向建立空

间直角坐标系，则点A(0,0,2),£>(0,0,0),『丁，]—,，8(0,3,2),则

丽=(一旦，_,2)，ZM=(0,0,2)，丽=(型，一_,0)，

2222

f-2z=0

=0

_---，即｛333，

[nDP=0\~2~X~2y=^

令x=1可得平面A。尸的法向量为n=(lv3,0)，

设直线西平面辆成角为。则

直线病平面4所成角的正弦值为393三12

62

试题

高三

(1

20.(1)vf(^)=2sin|x-tos

,J23_「1

7

20+3cos-2公

=2sinx-cos,x-+,3cos2x-

/3/丁

=2s/2x苴3

=|2sin［九一3分

_3_"1

715)

,兀7171

•,令__七2k后2x-<+2Z;z(ZeZ),解得:—一+k后x<一+k《kGZ),

231212

jr54

的单调递增区间为I一一+4加一+A/(ZeZ)—5分

1212

(i)由(1)得g(x)=2sin4x-fa

3

当xe「0,7)时,,兀「3,

4尤

在e区%外,加

D121-3

设t=4x-W,则g(X)上恰有3个零点等价于y=2sinf与y=a在

3L12

7t

-,2标上恰有3个不同的交点；

1

作出y=2sinf在1一，23上的图像如下图所示,

由图像可知：当一、§<&«()时，y=2sinf与y=。恰有3个不同的交点，

..・实数〃的取值范围为「一，3,01；-------9分

L、」

(ii)设y=2sinf与y的3个不同的交点分别为444(%<外，

—

则亥+，3=3TT,13一九—2TF,2/1+，2—与=2G—2@+Z2-一7,

试题

高三

冗71

整理可得：8x+4x—4x=—,「.2x+x—x——,

12：9*2312

./c、.(7V].、匹匹匹.匹

sin(2x4~x—xi=sin.一产一sin1—=।—sincos+cossin

।23]2464646

匹--12分

22224

21.⑴

因为4S,,=“；U-4〃-4,(1)

所以当“22时，45.1=公—4〃(2),

所以(1)-(2)得4a=a2-a2-4,所以〃=(«+2>

因为。“>0,所以4+1=a“+2(w22),

因为4s=a2-4-4=4rz,tz=2,a>0,所以。=4,a-a=2,

I2II222I

所以数列｛4｝是首项为2,公差为2的等差数列，

所以。〃=2+(〃-l)x2=2〃.----------------------------------3分

因为Z?+2〃+3b+・一+〃A=(〃-1)2"+1,(3)

123n

所以当“22时，匕+26+36+…+("-1)6=(n-2)2rt-'+l,(4)

123n-l

所以(3)-(4)得，也,=5-l)2"-(〃-2)2"T,解得〃=2"T(〃之2),

当w=l时，b=l满足上式，所以〃=2"T.------------6分

In

(2)

由⑴知丽>=120,

数列｛〃｝前60项中与数列w｝的公共项共有6项，且最大公共项为人=26=64.

/In7

又因为。=132,6=27=128,--------8分

668

从而数列｛仇｝中去掉的是仇也也，…侬这7项，

2767x662-28

所以及=$67-(2+2+…+2)=134+—―x2-t_2=4302.---------12分

22.(1)=/(x)-g(x)=In工一炉+工一1的定义域为(0,+<»),

,1-2x2+x+l(x—l)(2x+l)

目.h(x)=_—2x4-1==—,