第6讲 等式性质与不等式性质（教师版）-高一数学同步讲义

第1讲等式性质与不等式性质

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课程标准课标解读

1.会用不等式表示不等关系；掌握等

式性质和不等式性质.

通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能

2.会利用不等式性质比较大小.

利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关

3.会利用不等式的性质进行简易的求系的证明、求解相应代数式的取值范围.

范围与证明.

破知识精讲

*'知识点01等式的性质

等式的基本性质

性质1如果&=/?,那么/?=a；

性质2如果a=b,b—c,那么a=c；

性质3如果那么。土c=Z?土c；

性质4如果a=b,那么ac=bc；

性质5如果c/0,那么?=g.

【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形(化简)、解方程与方

程组等.

【即学即练1】方程一3x2—12%+36=0的解为.

【答案】-6,2

【解析】利用等式的性质将方程一3x2—12x+36=0两边同时除以-3得/+4%—12=0,将方程左边因式

分解可得(x+6)(x-2)=0,所以有x=-6,x=2,所以方程的解为-6,2.

更,知识点02不等关系及不等式

【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系,

特别要注意的是等号的包含与不包含.

【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积〃与地板面积6的比应不小于10%,即而且比

10b

值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加，小采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等

式表示___________

aa+m

【答案】-<--

bb+m

【分析】运用不等式的性质可得答案.

【详解】

aa+m

若窗户面积与地板面积同时增加m,采光效果变好了，用不等式表示为:一＜-----

bb+m

aa+ma(b+m)-(a+m)b(a-b)m「a+m

所以一＜——成立.

bb+mb(b+m)b(b+m^bbtm

aa+m

故答案为:一＜-----

bb+m

【即学即练3］为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且

一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买

票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张

票，岂不是“浪费”吗？

那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.

【答案】答案见解析

【分析】计算两种不同的购票方式所花的费用比较大小即可.

【详解】如果买27张票要花27x5=135(元)，

如果买30张票要花30x(5-1)=120(76).

通过比较，135>120,所以27人买30张票不是浪费，反而还节省15元呢.

塞、知识点03不等式的相关性质

不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质①a>b,ab>0=>~<r.(2)a<0<b=>-<r.@a>b>0,0<c<d=»->7.®0<a<x<ba<x<b<0=>r<-<-.

a-Da—Dc-ciD—x—a

(2)有关分数的性质

,,r—bb+mbb-ma+maa-m

若a>b>0,m>0,则啜<*；£>M(b—m>0).@p>^；后<石8-m>°)-

3.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b=b<a=

传递性a>b,b>c=>g>c=>

可加性a>b<^>g-\-c>b+c<=>

a>b

>nac>bc

c>0

可乘性注意c的符号

a>b

>=>ac<bc

c<0

a>b

同向可加性>=>a+c>h+d=

od

a>b>0

同向同正可乘性=ac>bd=>

c>d>0

可乘方性a>b>0=>a">bn(n^N,M>1)

a,b同为正数

可开方性a>b>0=>y[ci>甑(〃eN,/?>2)

【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随

意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则：一是满

足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

【即学即练4】对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是

则工>:

11B.a>b>0,

A.若a>bf则ac>hc

ab

C.a<b<0,则厘D.a>b,1>工,则a>0,b<0

abab

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：选项A,取c等于0,由不等式可知若“>江则ac2=bc2,故命题A为假命题;

选项B,若心b>0,则！<！，故命题B为假命题；

ab

命题C,由a<Z?<0,则故命题C为假命题；

ab

命题D,由工〉二得，L—』>0即"@>0,而由得。一。<0,故出?<0,即异号；乂a>b,

ababab

故a>0,b<0,命题D为真命题.

故选D.

考点：不等式的性质及命题的真假判断与应用.

【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误

的原因.

甲：因为-6<“<8,-4cb<2,所以-2<a-X6.

乙：因为2<〃<3,所以

3b2

又因为-6<tz<8,所以-2<—<4.

b

丙：因为2<a-b<4,所以-4<b-a<-2.

又因为-2<a+b<2,所以0<a<3,-3<b<0,

所以-3<a+b<3.

【答案】甲乙丙做的都不对，理由见解析.

【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.

【详解】

甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.

乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改

变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负.故不能将与一6<a<8两边分别相乘，只有两边都是

3b2

正数的同向不等式才能分别相乘.

丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<“方<4与-2<4+b<2两边相加

得0<a<3,又将与-2<a+X2两边相加得出-3<*0,又将该式与0<a<3两边相加得出-3<“+*3,多

次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大.

J能力拓展

考法01

不等关系的表示：

【典例1】。克糖水中含有人克塘（4>人>0）,若在糖水中加入X克糖，则糖水变甜了.试根据这个事实提炼

出一个不等式：

【答案】*，m>b>o)

a+xa

【分析】利用糖水的浓度可得标>2m>/>>0)即可.

a+xa

【解答】解：由。克糖水中含有人克塘(。>匕>0)可得糖水的浓度为2x100%；

a

在糖水中加入X克糖，可得糖水的浓度为3X100%.

a+x

糖水变甜了，于是可得5xl00%>2xl00%;

a+xa

/x+bb,八、

化b为---->—(az>b>0).

a+xa

故答案为*>?(a>6>0).

a+xa

【点评】本题考查了溶液的浓度，及不等关系的表示.

【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进

行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得

到支付款的80%.

①当户10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为

【答案】①130；②15.

【解析】(1)x=l(),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+8())—10=13。元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

^^120元时,有()—力*8()%2/7()%恒成立,即8(丫一“27丫/42.即》《传=15元.

87min

所以X的最大值为15.

考法02

比较大小：两个实数比较大小的方法

a—b>0<=>a>b

⑴作差法彳a—b=0oa=b(a,beR)；

a-b<0<=>a<b

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化

等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

a

r>l<=>a>b

b-----

(2)作商法〈仁=9a=b(a£R,b>0).

a

r<1<=>a<b

VD---------

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.

(3)特值法:

若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法

判断.

注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论.

【典例3】1)己知0,a2G(0,1)，记M=0s，N=ai+z-l，则M与N的大小关系是()

A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定

【解析]M—N=ai“2—(ai+"2—l)=ai42—，"一1=。1(42—1)一(俏一—1)(42—I)，

又•.ZiG(0,l),a2G(0,D，Aai-KO,a2~l<0..*.(ai-1)(a2-1)>0,即M-N>0.，M>N.

【答案】B

2)设a,b^[0,+oo),A=W+的，B=，不①，则A,B的大小关系是()

A.A<BB.A>BC.A<BD.A>B

【答案】B

【解析】VA>0,B>0,A2-B2=(/+2屈+〃一(。+力=2标对，AA^B.

3)若a>b>0,c<d<0,则一定有()

abababah

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

dccdcddc

【答案】D

【解析】因为c<"<0.所以—c>—d〉0,0<」-<」一又a>力>0,所以4>2>0,变形得且<2,

~c—cl-d—cd.c

选D.

4)若。=18%〃=16艮则。与b的大小关系为.

【答案】a<b

【解析】£=瞿=揄喘=(版(君6=(泰严，

麻3：曲

6<1,VlS'Soje'So,18%16叱即avb.

5）已知a>Z;>c且Q+/?+C=0,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2>c2B.a\b\>c\k\C.ac>beD.ab>ac

【解析】己知〃>Z»c且a+〃+c=0,则〃>0,c<0,对于A:令〃=1,b=0fc=-\,不成立，

对于B:令〃=0,不成立，对于C:c〈O,由力得：ac<hc,不成立，对于D:由b>c,都乘以得到〃/?>a,

故选：D.

【答案】D

考法03

不等式的性质的运用：

【典例4】已知a,b,c,d均为实数，有下列命题：

①若ah>0,bc-ad>0,则。一工>。；②若ab>0,^>0,则bc-ad>0；

③若/?c—ad>0,^>0.则加>0.其中正确的命题是.

【答案】①②③

【解析】：。匕>0,bc-ad>0,.•.：_£=",出,二①正确；

Vab>0,又彳一/>°,即j”>o,/.bc-ad>G,②正确；

■：bc—ad>0,又:-f>°，即次厂>0,二③正确.故①②③都正确.

考法04

利用不等式的性质证明：利用不等式的性质证明不等式注意事项

（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等

式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更

不能随意构造性质与法则.

【典例5】1）已知a,。,c,de（0,1）,试比较"cd与a+b+c+d—3的大小,并给出你的证明.

【答案】abcd>a+b+c+d-3，证明见解析.

【分析】

先证明—然后用。人，c分别替换Q/?>Q+8-1中的〃，匕可证明

aboa+b+c-2,再用访。，d分别替换。/?>。+匕一1中再利用已证的不等式放缩即可求证.

【详解】ahcd>a+b+c+d—3

证明如卜：因为力£(0』)，所以勿?—(a+b—1)=1=(a—1)(/?-1)>0,

即ab>a+b-l.

因为a,O,cw(O,l),所以。/?£(0』)，所以=>a〃+c-l>〃+〃-1+。一1,

即abc>a+b+c—2.

因为a,瓦c,d£(O,l),所以必c£(O,l),

abc♦(d)>cibc+d—l>a+Z?+c—2+d—l=a+b+c+d—3,

即证得"cd>a+Z?+c+d-3

【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是首先利用。力w(O,l),证明"〉a+b-L通过类比和放缩即

可证明.

2)设a>b>c,求证：be2+ccr+ab1<b2c+c2a+a2b.

【答案】证明见解析

【分析】利用综合法的思想证明不等式，作差后♦定要化为因式乘积的形式.

【详解】

he2+cc/-\-cib1-b2c-c2a-a2h

=b^c2_*+。2(Q-C)+QC(Q_C)

=b(a+c^c-a)-b2(^c-a)-ac(c-a)

=(C-Q)(C-/?)(Z?-Q)<0.

考法05

利用不等式的性质求范围：求含字母的数(或式子)的取值范围时.，一要注意题设中的条件，二要正确使

用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.

【典例6】1)已知一工求4+2,4二日的取值范围

2222

■Ari▼.-I、r式/c/冗1.17CCLTC7C。7C

【解析】r因为---£a<■0&—，所以---<一<一，------<—4一.

22424424

„„Ka+BTC

两式相加，得<———<—.

222

因为一工<2«工，所以-三4—2〈工，

424424

,,,兀a—Bn

则——<——-<—.

222

又。</，所以归2<o,

“2

,,,7ta-B八

则——<——-<0.

22

a-P

2

2)己知一l<xvy<3,求x—y的取值范围.

【解析】,.,一l<x<3,—l<y<3,A—3<—y<l,-4<x—y<4.

又,.•x<y,x—y<0,—4<x—y<0,故x—y的取值范围为(一4,0).

3)—1<x+y<4,2<x—y<3,求3x+2y的取值范围.

fm+n=3,[m=i

【解析】设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),贝小：.\

m—n=2,

〔l7

即3x+2y=|(x+y)+^(x—y),又3—1<x+y<4,2<x—y<3,/.—|<|(x+y)<10,1<^(x—y)<|，

—|<|(x+y)+1(x—y)<^,即一方<3x+2y<当

.•.3x+2y的取值范围为(一/y).

分层提分

题组A基础过关练

1.已知“，b为非零实数，且则下列命题成立的是（）

A.a2<b2B.a2h<ab2

11ba

C.—7<-；—D.一<一

ab'a'bab

【答案】C

【分析】根据反例或作差法逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

对于A,取a=—3/=—2,则。<匕，但故A错误.

对于B,取〃=-3力=2,则。<。，但。2〃=18>-12=出;2,故B错误.

而2=_2故D错误.

a32b

对十C,因为———=一五丁<0,故——<---，故C止确.

ab~crbcrb~ab-ab

故选：C.

2.已知了<。<0,下列不等式一定成立的是（）

A.x2<a2<0B.x2>ax>a1C.x2<at<0D.x2>a2>ax

【答案】B

【分析】

根据不等式的性质判断.

【详解】

22

x<a<0,x<0,a<0/>的办>/,x>ax>a

故选：B.

3.已知a<匕<0,下列不等式中成立的是（）

11

22-<

A.a<hB.—<1C.a<4—bD.4

b

-

【答案】Cb

【分析】

令a=—2,b=-l,验证排除可得结果.

【详解】

令a=—2,b=-l,满足。</?vO，则a?>/,—=2>1,—>—,故A、B>D都不成立，排除A、

hab

B、D，

故选：C.

4.若a>b,c>d,则下列关系一定成立的是（）

A.ac>bdB.ac>bc

C.a+c>b+dD.ci-c>b—d

【答案】C

【分析】

利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案；

【详解】

对A,当a>b>0,c>d>0=>ac>bd,故A错误；

对B,当c>0时，aobc,故B错误；

对C,同向不等式的可加性，故C正确；

对D,若。=2*=l,c=0,d=-3na—c=l,b—d=4,不等式显然不成立，故D错误；

故选：C.

5.若a,b,cGR,B.a>b,则下列不等式一定成立的是（）

c2

A.a+c>b-cB.ac2>he2C.------>0D.（a-b）c2>0

a-b

【答案】D

【分析】

作差法比较大小，再取值验算.

【详解】

因为。+c-伍-c）=。-b+202c,

当取。=l,/?=0,c=-2时，b-c=2,有a+cvb—c.故选项A错误；

2

因为4c2-be2=^a-b^c2>0,——>0,

a-b

c2

当取c=0时，ac1=b$，」一=0,故选项B错误，选项C错误，选项D正确.

a-b

故选：D.

6.、/7+3与指+J16的大小关系是()

A.V7+3<V6+V10B.V7+3>V6+V10C.@+3=指+屈D.不

确定

【答案】B

【分析】

利用平方作差，再判断差的正负即可得解.

【详解】

因0+3>0，V6+V10>0.

RiJ(x/7+3)2-(V6+ViO)2=(16+6x/7)-(16+4^)=2(377-2^)=2(763-760)>0,

所以J7+3>指+JiU.

故选：B

7.若xe(0,l),a=咽三，6=3(:),咽三］,则a,"c的大小关系是()

XX21X,

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】

因为本题是选择题，所以可以用特值法排除错误的选项，进而得到正确答案.

【详解】

7T

因为X£(0,l),所以取1=一,

4

7TTC

tan—tan一

则”一4显然c>4,故可排除选项A和B；

7171

44；

又匕=C，故可排除选项C.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：对特值成立的选项不一定是正确答案，但是对特值不成立的选项一定是错误答案.因此特值法

往往和排除法结合在一起使用.

8.实数X、》、z满足/=4x+z—y—4且％+/+2=(),则下列关系成立的是()

A.y>x>zB.z>x>y

C.y>z>xD.z>y>x

【答案】D

【分析】

分别把两个等式转化，写成2-、=》2-4》+4=。-2)220及％=-(；/+2)的形式，从而比较数的大小.

【详解】

由x?=4x+z—y-4知，

z-j=x2-4x+4=(x-2)2>0,即zNy；

由尤+y-+2=()如，x——(y~+2),

,1,7

则y—X=y2+2+y=(y+-)2+->0,即y>X；

24

综上，z>y>x

故选：D

题组B能力提升练

1.已知a>6>2,则一定有（

,11

A.1>—+—B.ab>4

ab

C.若ceR,则ac2>be2D.若%>y,贝ijar>〃y

【答案】AB

【分析】

利用不等式的基本性质对选项逐一分析判断.

【详解】

对A,因为〃>〃>2,所以一</<一,所以—F-<—I—=1,故A正确;

ab2ab22

对B,因为a>h>2,所以出7>2x2=4，故B正确;

对C,若C=0,则比2=儿2,故C错误;

对D,若x=-4,y=-5,a=4,Z?=3,则(-4)x4<(—5)x3,此时arc外，故D错误.

故选：AB

2.设实数。、b、c满足〃+c=6—4a+3a2,c-b=4-4a+a2^则下列不等式成立的是（）

A.c<bB.h>\C.b<aD.a<c

【答案】BD

【分析】

由已知可得匕=/+],作差即可比较大小，得出答案.

【详解】

0+。=6—4。+3。2…一..

2，两式相减得2b=2/+2，即b="+i，•♦・匕21.

。一人二4-4。+。~

、23.

Lb-ci—ci~+1—a=H—>0，♦.b>a.

2)4

而c—Z?=4—4。+。2=(a—2)-NO.c>b,从而cNb>a.

故选：BD.

3.下列命题不正确的（）

ab,

A.-<-<()=>|«|>|ZJ|B.—>—=>a>b

ahcc

a3>/?11cr>b211

c.>n—<一D.=>—<-

ab>0abab>0ab

【答案】ABD

【分析】

利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.

【详解】

A：—<—<0:.ab>0且一■->>0,因此一,.aZ?》一,

ababah

即—b>—ci>0=>|—/?|>|-6?|>0=>|/?|>|tz|,故本命题不正确；

48

B：因为不，显然4>8不成立，所以本命题不正确；

-2-2

C:由>万3=（。一〃）（/++而Q〃>（）,

所以有a>b,而工―二q<O=L<L,故本命题正确；

ababab

D：若。=一2/=-1,显然>b成立，但是_?_<」_不成立，故本命题不正确，

ab>0-2-1

故选：ABD

【点睛】

方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.

4.下列命题正确的是（）

A.3^/?G/?,|6Z-2|+（Z?+1）2<0B.PawRmxeR,使得6>2

C.出7彳0是"+〃/（）的充要条件D.若则旦之上

1+al+b

【答案】AD

【分析】

对A.当。=2/=-1时，可判断真假，对B.当。=0时，0-x=0<2,可判断真假，对C.当。=0,〃力0

时，可判断真假，对D可用不等式性质证明.

【详解】

对于A选项，。=21=—1时，一2|+3+1）2<0,故A选项正确；

对于B选项，当。=0时，or>2不成立，故B选项错误；

对于C选项，当“而。0”时，“"+62#0”成立；当“。2+62#0，，时，如。=1/=o,此时而=（）,故

“他H0”不成立，也即“必*0”是wo”的充分不必要条件，故c选项错误.

对于D选项，当。2人>0时，4+。/?2匕+。良。（1+/?）2仇1+。），由于1+。>0,1+。>0,故/一，

1+al+b

所以D选项正确.

故选：AD

5.下列命题为真命题的是（）

A.若a>6,c>d,则a-c>Z?-d

B.若>0,a>b,则，<?

ab

C.设a,b是任意实数，则〃（〃—。）之火4—勖）

D.若八>&，则Q匕A/??

E.若a>/?>（）,c>d>0,则ac>bd>0

【答案】BCE

【分析】

利用不等式的性质对各个选项逐一分析和判断，即可得到答案.

【详解】

解：若。=5,。=4,c=4,d=2时，则有c>d成立，但是a-cvZ?-d，故选项A错误;

因为出?>0,。>人，所以/?—。<0,则有-----——■—<0,故-----<0»

ahahab

所以故选项B正确；

ab

因为一6（4—2与=/一246+2》2=（。一/?）2+/?220恒成立，

故对任意实数“，b,都有a（a-A）20（a-力），故选项C正确；

当b=0时，ab=b2故选项D错误；

因为。>。>0,c>d>0,

所以@>1,->1,故所以ac>Z?d>0,故选项E正确.

bdbd

故选：BCE.

6.已知xwO,贝与/+炉+1的大小关系为.

【答案】（/+1）2>/+为2+1

【分析】

计算可得（/+）_（/+/+］）=*2,由"0,可得可>0,从而可得（丁+1）2>/+/+1.

【详解】

因为（犬+1）一（X，+x2+1）=%4+2x2+1-x4-x2-1=x2>

又xwO,所以炉>0

所以(J+1)2>彳4+*2+].

故答案为：(/+1)2>/+/+1.

,2019I,2020,1

7.勺产篇上(用不等号“V”或“〉”填空).

【答案】>

【分析】

利用作差法比较大小即可.

【详解】

22019+122020+1_(22019+1)(2202,+1)-(22020+1)2_22019+22021-2.22020

'=(22020+1)(2202,+1)=(22020+1)(22021+1)

22019(1+4-4)八

=---------------------->0

(22020+1)(22021+1)'

220"+i22020+1

故答案为：＞

8.P^a2+a+\,Q^-^一,(aeE),则P,Q的大小关系为

a-a+1

【答案】＞

【分析】

用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.

【详解】

因为P=a2+a+i=(a+，]+->0.cT-a+\.=[a-^\+->0则Q>0

I2；4I1)4

由：=(a2+a+l)(a2a+l)=(q2+l)-a~=a4+a2+1>1

所以PNQ

故答案为：N

题组C培优拔尖练

1.命题：若a>6,则工<1.

ab

（1）请判断这个命题的真假.若是真命题请证明；若是假命题，请举一个反例；

（2）请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题.

【答案】（1）假命题，反例不唯一；（2）答案不唯一.

【分析】

（I）通过a>0>匕即可知原命题为假，且能得到反例；

（2）将变为同号，根据不等式的性质知命题为真命题.

【详解】

（1）若。=1,/，=—2,满足a>6,此时工>工；

ab

二原命题为假命题.

（2）可改成：若a>〃>0,则』<1（或：若0>a>6,则!<4）.

abab

2.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.

甲：因为-6<“<8,-4cb<2,所以-2<a-X6.

乙：因为2<6<3,所以,（!<工，

3b2

又因为-6<tz<8,所以-2<—<4.

b

丙：因为2<a-b<4,所以-4<6/<-2.

又因为-2<a+b<2,所以0<a<3,-3<Z?<0,

所以-3<a+*3.

【答案】甲乙丙做的都不对，理由见解析.

【分析】

根据不等式的性质逐一分析即可.

【详解】

甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.

乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改

变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负.故不能将!与-6<a<8两边分别相乘，只有两边都是

3b2

正数的同向不等式才能分别相乘.

内同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.内同学将2<a-b<4与-2<〃+X2两边相加

得又将-4<儿。<-2与-2<a+K2两边相加得出又将该式与0<“<3两边相加得出-3<4+次3,多

次使用了这种转化，导致ra+b范围的扩大.

a+b+c

3.已知a>/?>c>0,比较优。%,与的大小

a+b+c

【答案】〉（abc尸

【分析】

利用作商法比大小.

【详解】

优b%c

从而a+6+c>

(abc)3

a+b

即aabbcc>(abc)~

4.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升

降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一

定.

（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物

品平均价格分别为多少;

（2）设两次购买这种物品的价格分别为。元，。元问甲、乙谁的购物比较经济合算.

24

【答案】（1）5,y；（2）乙的购物比较经济合算.

【分析】

（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为加，乙每次购买这种物品所花的钱数为〃，再分别计算甲、乙的

平均价格即可.

（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.

【详解】

(1)设甲每次购买这种物品的数量为加，乙每次购买这种物品所花的钱数为〃，

6m+4/77

所以甲两次购买这种物品平均价格为，--------=5,

m+m

In_24

乙两次购买这种物品平均价格为，nn=~5.

6+4

(2)设甲每次购买这种物品的数量为加，乙每次购买这种物品所花的钱数为〃，

所以甲两次购买这种物品平均价格为，-a一m4-乙hni=幺ci+上h，

m+m2

2〃_2ah

乙两次购买这种物品平均价格为几，"一a+b，

ab

a+b2ab(a+h)2-4aba2+b2-lab(a-b)2..

_________—___________—__________—______>■j

2a+b2(。+〃)2(a+h)2(a+〃)

所以乙的购物比较经济合算.

5.已知cvdvO.证明：

(1)ac<bd\

a-cb-c

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)利用不等式的性质即可证明；

(2)利用不等式的性质即可证明.

【详解】

解：证明：(1)・・・〃>/?>(),c<0,

ac<be<01

又Qcvd<0,/?>O»

bc<bd<0^

故ac<bd•、

(2)由evO,得一c>0,

乂・a>b>0，

:.a—c>b—c>0，

即。<」一<」一

a-cb-c

又•tz>0.

aa

：.------<------

a-cb-c

6.比较Ja—