9.5 三角形的中位线 苏科版数学八年级下册素养综合检测(含解析)

第9章中心对称图形——平行四边形9.5三角形的中位线基础过关全练知识点1三角形中位线定理1.【新独家原创】如图,△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F、G分别是AD、AE的中点,BC=8,则FG的长为()A.1B.2C.3D.42.【一题多变】如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E为CD边的中点,P为AB边上的一动点(含端点),F为CP的中点,则EF长度的最大值为.

[变式1·变结论]如上图,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E为CD边的中点,P为AB边上的一动点(含端点),F为CP的中点,△CEF的周长的最小值为.

[变式2·变动点P的位置]如图,在Rt△ACD中,∠D=90°,AD=5,CD=12,点M是CD边上一点,点P为AC边上的动点,点E、F分别为DM、MP的中点,则EF长度的最小值是.

知识点2中点四边形3.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形,则四边形ABCD需满足的条件是()A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且互相平分能力提升全练4.(2022河南中考,5,★☆☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为()A.6B.12C.24D.485.(2023江苏南京外国语学校期中,5,★☆☆)如图,点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点,要使四边形EFGH是菱形,那么可以添加的条件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=CDD.AD=BC6.(2023四川泸州中考,7,★★☆)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点,若AD=4,CD=6,则EO的长为()A.1B.2C.3D.47.(2022湖北宜昌中考,15,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为.

8.(2023江苏宿迁怀文中学月考,17,★☆☆)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为.

9.(2022江苏南京江宁期末,22,★★☆)如图,△ABC的BC边上的中线AF与中位线DE相交于点O.(1)求证:AF与DE互相平分;(2)当△ABC满足时,四边形ADFE是正方形?

素养探究全练10.【推理能力】(2023山东东营中考)(1)用数学的眼光观察:如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点.求证:∠PMN=∠PNM.(2)用数学的思维思考:如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F.求证:∠AEM=∠F.(3)用数学的语言表达:如图③,在△ABC中,AC<AB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC的中点,连接MN并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明.图①图②图③

答案全解全析基础过关全练1.B∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12∵点F、G分别是AD、AE的中点,∴FG是△ADE的中位线,∴FG=12故选B.2.答案13解析如图所示,连接DP,∵E为CD的中点,F为CP的中点,∴EF为△CDP的中位线,∴EF=12DP,当PD的长度取得最大值时,EF的长度也取得最大值易知当点P与点B重合时,PD最长,此时PD=BD=32+2∴EF长度的最大值为132,故答案为13[变式1]答案4解析∵E为CD的中点,∴CE=1.5,∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=3,连接DP,∵E为CD的中点,F为CP的中点,∴EF为△CDP的中位线,CF=12CP,∴EF=1∴△CEF的周长=CE+EF+CF=1.5+12∴当DP+CP的值最小时,△CEF的周长最小.如图,延长DA至点G,使得AG=AD=2,连接CG,交AB于点P,此时DP+CP的值最小,DP+CP=PG+CP=CG,在Rt△DGC中,DG=DA+AG=4,CD=3,根据勾股定理,得CG=5,∴DP+CP的最小值为5,故△CEF周长的最小值为1.5+2.5=4.故答案为4.[变式2]答案30解析连接DP(图略),∵点E、F分别为DM、MP的中点,∴EF=12DP,∴当DP最短时,EF最短,易知当DP⊥AC时,DP最短在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,∴AC=52∵S△ACD=12×5×12=12×13×DP,∴DP=6013,∴EF长度的最小值=30133.CA.顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形,故此选项错误;B.顺次连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,故此选项错误;C.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形,故此选项正确;D.顺次连接对角线相等且互相平分的四边形各边中点所得的四边形是菱形,故此选项错误,故选C.能力提升全练4.C∵四边形ABCD为菱形,∴BO=DO,AB=BC=CD=DA,∵OE=3,且点E为CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴BC=2OE=6,∴菱形ABCD的周长为4BC=4×6=24.故选C.5.C∵点E、F、G、H分别为AD、BD、BC、CA的中点,∴EF=GH=12AB,EH=FG=1∴四边形EFGH是平行四边形.∵当EF=FG=GH=EH时,平行四边形EFGH是菱形,∴当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.故选C.6.A在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=CD,OD=OB,∴∠CDP=∠APD,∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP,∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD=4,∵CD=6,∴AB=6,∴PB=AB-AP=6-4=2,∵E是PD的中点,O是BD的中点,∴EO是△DPB的中位线,∴EO=12PB=1,故选7.答案48解析在矩形ABCD中,∠BAE=90°,∠CDE=90°,∵F,G分别是BE,CE的中点,∴FG是△BCE的中位线,∵FG=5,∴BC=2FG=10,在Rt△ABE中,F是BE的中点,∴AF是Rt△ABE斜边上的中线,∴AF=EF=BF=3,∴BE=6,同理,CE=8,在△BEC中,BE=6,EC=8,BC=10,∴BE2+EC2=BC2,∴△BEC是直角三角形,且∠BEC=90°.过E作EH⊥BC于H,如图所示.∴S矩形ABCD=BC·EH=2S△BEC=2×12BE·EC=6×8=48,故答案为8.答案12解析∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点,∴EF∥BD,且EF=12同理,HG∥BD,且HG=12BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=12AC=4,又∵AC⊥BD,∴EF⊥HE,∴四边形EFGH是矩形,∴四边形EFGH的面积=EF·EH=3×4=12.9.解析(1)证明:由题意知D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,AD=BD=12AB,∴EF∥AB,EF=12AB=AD,∴四边形DFEA是平行四边形,∴AF与DE(2)当△ABC满足AB=AC,∠BAC=90°时,四边形ADFE是正方形.理由如下:由(1)得四边形ADFE是平行四边形,∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AF是△ABC的BC边上的中线,∴AF⊥BC,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴AF⊥DE,∴平行四边形ADFE是菱形.又∵∠BAC=90°,∴四边形ADFE是正方形.素养探究全练10.解析(1)证明:∵P是BD的中点,M是AB的中点,∴PM=12AD,同理,PN=1∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.(2)证明:∵P是BD的中点,N是DC的中点,∴PN∥BC,∴∠PNM=∠F.同理,∠PMN=∠AEM.∵∠PMN=∠PNM,∴∠AEM=∠F.(3)△CGD是直角三角形.证明:如图,取BD的中点P,连接PM,PN.∵M是AB的中点,P是BD的中点,∴PM∥AD,PM=12同理,PN∥BC,PN