32湖北省武汉市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年湖北省武汉市部分学校九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2.从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据从该几何体的左面看到的图形，即可得到左视图．【详解】解：由图可得，几何体的左视图是：故选：B．【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．3.一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数拫根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定【答案】B【解析】【分析】求出判别式的值，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．4.下列图形中，一定相似的是（）A.一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形B.有一个内角为80°的两个等腰三角形C.两个长方形D.有一个内角为80°的两个菱形【答案】D【解析】【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可．【详解】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，故选项不符合题意；B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意；C．两个长方形不一定相似，故选项不符合题意；D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，故选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键．5.下列四个命题中不正确的是（）A.直径是弦 B.三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等C.顶点在圆周上的角是圆周角 D.半径相等的两个半圆是等弧【答案】C【解析】【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确；B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误；D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识．6.下表中所列的x，y的6对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若(x1，y1)，(x2，y2)是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（）A.当x1＜x2时，y1＜y2B.当y1＞y2时，x1＜x2C.该函数的最小值为3D.当x1＝1+n，x2＝1﹣n时（n为常数），y1＝y2【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向、对称轴来确定增减性，并进行判断即可．【详解】根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故A，B选项错误，不符合题意；根据表格可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标的纵坐标的值为最小值，最小值不是3，故C选项错误，不合题意；∵＝1，∴y1＝y2，故D选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识是解题的关键．7.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A.12 B.18 C.20 D.12或20【答案】A【解析】【分析】设草坪BC长为x米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解．【详解】设草坪BC的长为x米,则宽为，由题意得,，解得：，∵墙为16米，∴x=20不合题意故x=12.故选A.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于结合题意列一元二次方程.8.如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC为100米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A. B. C.1OOcos20° D.100sin20°【答案】D【解析】【详解】∵sin∠C=，∴AB=AC•sin∠C=100sin20°，故选D．9.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为时圆心的位置，故可求解．【详解】如图，圆心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，∴C（4+2，0），故当圆心经过的路径长为时，÷4=505…1∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=故选D．

【点睛】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．10.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC＝4，CD＝2，给出下列结论：①∠BAE＝∠CAD；②∠DBC＝30°；③AE＝；④AF＝，其中正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【详解】在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝∠DAE＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∵∠CAD＝∠ADB，∴∠BAE＝∠CAD，故①正确；∵BC＝4，CD＝2，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD＝，∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE＝；故③正确；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝45°，∴∠ACF＝45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BAE＝∠ACB，∴∠EAC＝90°﹣2∠ACB，∴∠EAC＝2∠ACF，∵∠EAC＝∠ACF＋∠F，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC，∵AC＝BD＝，∴AF＝，故④正确；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11.若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是______．【答案】6【解析】【分析】把代入一元二次方程中即可解得m的值．【详解】解：把代入一元二次方程中得：，解得．故答案为：6．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．12.已知与相似，并且点与点、点与点、点与点是对应顶点，其中，，则______度.【答案】40【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形内角和等于180°列式进行计算即可得解．【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，

∴∠B＝∠B′＝60°，

∴∠C＝180°−∠A−∠B＝180°−80°−60°＝40°．

故答案为：40．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确找出对应角是解题的关键．13.如图，，是的两条弦，且，点D，P分别在，上，若，则的度数为______．【答案】##110度【解析】【分析】连接，利用圆内接四边形的性质求出的度数，再利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆内接四边形的性质求出的度数即可．【详解】解：连接，∵，四边形是的内接四边形，∴，又，∴，∵四边形是的内接四边形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，明确题意，添加辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．14.如图，半圆O中，C为半圆O上一点，AB为直径，∠ABC=60°，以OA为直径作半圆D，若AB=4，则图中阴影部分面积为_____．【答案】【解析】【分析】求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．【详解】如图，连接OC．∵AB=4，∴OA=OB=2，OD=AD=1．∵∠ABC=60°，OB=OC，∴∠BOC=60°，∴S弓形BC=S扇形OBC﹣S△OBC．∵S半圆AOD，S半圆ABO2π∴S阴影=S半圆ABO﹣S半圆AOD﹣S弓形BC=2π（）．故答案．【点睛】本题考查了扇形的面积的相关计算，熟练运用割补法和扇形面积计算公式是解题的关键．15.二次函数y=x2+bx的图像如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜6的范围内无解，则的取值范围是___.【答案】t＜-4或t≥12.【解析】【分析】先根据已知条件求出二次函数解析式，求出交点坐标，仔细观查图象，最后根据函数与方程的关系得到结果.【详解】对称轴为x=-解得b=-4，

所以，二次函数解析式为y=x2-4x一元二次方程x2-4x-t=0(t为实数)

x=-1时，y=5x=6时，y=12x=2时，y=-4

∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，

∴当--4≤t＜12时，在-1≤x＜6的范围内有解则当t＜-4或t≥12时，在-1≤x＜6的范围内无解故答案为t＜-4或t≥12【点睛】此题重点考查学生对函数与方程的解的综合应用能力，把握在一定范围内有解和无解的解法是解题的关键.16.在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是_____________．【答案】【解析】【详解】解：如图，在AD上取点H，使，连接BH交AC于O，则，即，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴△AOH∽△COB，∴，，所以.故答案为：．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．三、计算题：本大题共1小题，共8分．17.为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．四、解答题：本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.计算：（1）；（2）解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【小问1详解】原式；【小问2详解】方程移项得：，分解因式得：，解得：．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂的意义，解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．19.如图，为的直径，弦于点，，．求的半径；求图中阴影部分的面积．【答案】（1）的半径为；（2）．【解析】【分析】（1）连接OC，OD，利用垂径定理得CP=2，AP=3x，PB=x，则AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得结果；

（2）根据OP=2，OC=4，利用直角三角形的性质易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积．【详解】连接，，如图所示：设，，则，，，∵，∴，∴，解得：或（舍去），∴，∴的半径为；∵，，∴在中，，，∴，∵，∴阴影部分的面积为：．【点睛】考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质和扇形面积公式，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．20.如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，直线经过点A，且与l关于直线对称．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．（3）已知直线与反比例函数的图象交于点另一点B，P在在平面内，若以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．【答案】（1）（2）7（3）所有符合条件点P的坐标为，，．【解析】【分析】（1）根据，，算出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数，即可解答．

（2）根据题意求出直线的解析式，结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，算出直线、直线与坐标轴的交点坐标即可解答．（3）分三种情况讨论，即以、、为对角线三种情况，再根据中点公式即可解答．【小问1详解】解：直线与反比例函数的图象交于点，把代入，得：，，将代入反比例函数，得：，，反比例函数的解析式为．【小问2详解】解：根据直线，可得直线与x轴的交点为，直线经过点A，且与l关于直线对称，直线与x轴的交点为，设直线，将，代入解析式得：，解得，直线，直线与y轴的交点坐标为，结合图形阴影部分面积直线、直线与x轴围成的三角形面积直线与x轴、y轴围成的三角形面积，．【小问3详解】解：直线与反比例函数的图象交于点另一点B，可列方程，解得：或，，设，①当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，根据中点公式，可得方程，解得，；②当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，根据中点公式，可得方程，解得，；③当以点A，B，P，O为顶点的四边形是平行四边形以为对角线时，根据平行四边形的性质，可知的中点与的中点相同，根据中点公式，可得方程，解得，；综上所述，所有符合条件点P的坐标为，，．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合的综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数以及一次函数，平行四边形的性质，熟知该性质是解题的关键．21.如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图．结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）（1）如图1，判断圆心______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点；（2）在图1中画出的切线（为格点）；（3）在图2中画出中点；【答案】（1）是，图见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查作图—应用与设计作图，涉及垂径定理，切线的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）画出弦，垂直平分线可得答案；（2）连接，取格点，使即可；（3）由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，即得的中点．【小问1详解】解：如图，，圆心在弦，的垂直平分线上，由图可知，是在格点上，故答案为：是；【小问2详解】解：如图：即为所求，；【小问3详解】解：如图，，由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，则点即为所求．22.如图，在中，D，E分别是上的点，的平分线交于点G，交于点F．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据已知和角平分线的定义即可证明；（2）利用相似三角形的性质：对应边成比例即可列式求解．【小问1详解】证明：平分，，又，；【小问2详解】解：，，，，又，，．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．23.用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点．（1）求证：是边的逆平行线．（2）点是的外心，连接，求证：．（3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点．①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值；②在①的条件下，比较大小关系．（“或”）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②=【解析】【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证；（2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE，（3）①设FC＝x，则BF＝6−x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABC−S△EFC−S△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线，得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长；②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB．【详解】（1）证明理由如下：边是的逆平行线；（2）如图1，连接，BO是边的逆平行线点是的外心=BO，，AO=AO∴△ABO≌△ACO，；（3）如图2，作AQ⊥BC∵AB=AC，∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3∴AQ=S△ABC===12,①设，，∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∴△FEC∽△ABC．，同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC∴△FBG∽△ABC∴＝−(x−3)2＋，当