2023届黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高三年级上册10月月考数学试题

2023届黑龙江省绥化市绥棱县第一中学高三上学期10月月考数学试

题

一、单选题

1.已如集合A=,B={x［y=log214-x卜则（。4）［B=（）

A.|x|-l<x<4}B.{x|x<4}C.（x］-l<x<4}D.{x<-l}

【答案】B

【分析】解不等式得集合A,由对数函数性质得集合8,然后由集合的运算法则计算.

［详解］曰〈xJ+x+l>。,因为X2+X+I=（X+_L）2+3>O,所以x+i>。，即人={》|》>-1},

x+lx+\24

j4-x>0=>x<4,8={x|x<4},

Q,A={x|x4-l},

所以@A）B={x|x<4}.

故选：B.

2.已知函数"同=疝，命题P：BxeN,〃x）=x,则（）

A.〃x）为幕函数B./（2,）=2e

C.。是真命题D.P的否定是VxwN,/（x）=x

【答案】C

【分析】根据事函数的形式可判断A；将2*代入解析式可判断B；当x=2时可判断C；根据特称命

题的否定变量词否结论可判断D,进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为/（x）不满足幕函数>=/的形式，所以，（力=岳不是幕函数，故选项A不

正确；

____________X+I

对于B：/（2*）=12x2*=5/^=2、，故选项B不正确；

对于C：当x=2时，/（x）=^/2^2=2=x,所以。是真命题，故选项C正确；

对于D：P的否定是VxcN,故选项D不正确；

故选：C.

3.已知平面向量”，方的夹角为:，若|4=l,|2a-4=Ji6,则可的值为（）

A.y/2B.5C.26D.3亚

【答案】D

【分析】利用平方的方法化简,-彳=加，从而求得用

【详解】由区可=而两边平方得(2“-”=10,

4a2-4。.人+//=4-4x1x'cos+1/?|=10,

W-2衣W—6=0,(欠-3础W+应)=0,

解得旧=3&.

故选：D

4.《几何原本》是古希腊数学家欧儿里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角

形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9&n，则它的体积为()

A.9底兀B.9兀C.80兀D.27兀

【答案】B

【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.

【详解】设直角圆角的底面半径为，•，母线为/,高为〃，

因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

所以有(2r)2=产+/=/=&八

因为直角圆锥的侧面积为90兀，

所以有9及兀=in7n9及兀=兀，,•夜r=>r=3，即/=3五，

因此=，］8—9=3,

所以该直角圆锥的体积为!兀产〃=3兀^^二加，

故选：B

5.已知函数〃x)=~^+x+sinx-5,若/卜，)=2,则/(一。)=()

A.-12B.2C.-18D.10

【答案】A

【分析】利用正弦函数的性质，直接计算/(〃)+/(-〃)可得.

邛—1—11—V

【详解】由题意/(〃)=--+a+sina-5=2,f(-ci)=~—j■-Q+sin(-。)-5=-~--a-sina-5,

所以/(〃)+f(—G=2+/(—编=-10,/(-«)=-12,

故选：A.

6.已知函数/(x)=sins+cosa)x,若/(x)在(0,])上有且仅有一个极值点，则整数。的最大值为

().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

兀,结合函数图象与在(0，£|有且仅

【分析】先利用辅助角公式化简得到"x)=3sinCOXH-----

4

有一个极值点，利用整体法得到方程组，求出9。<|,求出整数。的最大值.

【详解】/(x)=sin的+coscox=41sin3工,

4

兀7171(071

(OX+—G，-+

44F4

结合函数图象,“X)在呜有且仅有一个极值点,

L1兀①兀兀LX,

贝I」——十一£y,解得:

24222

因为。为整数,故整数。的最大值为2.

故选：B

7.已知”=如&,b=\,。="则。，8,c的大小关系为()

4e22万

A.a<c<hB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】构造函数，根据函数的单调性比较大小.

【详解】令〃x)=W，则尸⑴二一*,

令/'(x)<0,解得X>G，

因此“X)=容在(五+8)上单调递减，

又因为叫呼=牛=〃4),人口=华=〃虫-用=戚=/(6),

4IoeeL7t7ix7

因为4>e>6>所以a<b<c.

故选：C.

8.已知各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和5“，旦满足…+C=S；,〃eN*.设

%=4〃+(-1)"，九2%(4为非零整数，〃eN*),若对任意〃GN*,有%〃恒成立，则久的值是

()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】D

【分析】在a；+W+…+4=相中求得4，生，然后由a,=S„-5„.,(〃>2)得递推关系a-=S„+S„_t,再

用〃+1替换〃后相减，结合生-4得他“｝是等差数列，从而得通项公式耳，由C“M-C”>0恒成立，

分类讨论可得2的范围，从而得结论.

【详解】由…+a：=S：,a：=S：=。；，又4>0,所以q=l,

1+a-+4)2,又%>0,所以出=2,

由a：+£H---+a；=S；得0；+a：+---+a„-i=S：_\(n>2),

相减得，=S；-S3=(S„-5„.,)(5„+5„.l)=a„(5„+S„.l)，an>0，

所以a；=S“+S,i，所以匕尸S,,M+S.，

再相减得S用-S“_|=a„+l+«„>0,则an+l-an=\,而/一q=1,

所以数列｛“,』是等差数列，首项和公差均为1,

所以4,=”,

q=4"+(-1严九2"*|,

对任意〃6N”,有C”+|>%恒成立，则q,+|-C">。恒成立，

n+lnn+2nn+l,,,,+l

c„+l-c„=4+(-l)A-2-4"-(-l)-'2-2=3x4"+(-l)A-3x2>0,

2"-'+(-1)-2>0,

”是奇数时，2小一/1>0,2<2"T,2<1,

”为偶数时，2'-'+A>0,A>-2"-',：.A,>-2,

综上，-2<2<1,又2是非零整数，所以4=-1.

故选：D.

【点睛】思路点睛：数列问题中已知项明与和$“的关系时，一般利用%=5,,-5,-(n22)得出数列的

递推关系，从而再求解；在含有(-1)"的不等式参数问题中，需要利用〃的奇偶进行分类讨论化简不

等式得参数范围.

二、多选题

9.已知a,h,c为三条不同的直线，a,P，/为三个不同的平面，则下列说法错误的是()

A.若a〃b,bua,5JiJaPa

B.若cc夕=a,(3y=b,ar>y=c,a//b,则人〃c

C.若bu°,cufi,'aLb>aVc,则4J•尸

D.若aua,bu/3,a//b,则a〃/

【答案】ACD

【分析】由线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理判断各选

项.

【详解】选项A中，需要加条件40。才能得线面平行，A错；

选项B,a//b,buy,a(Zy,则a//7,aaa,ec?=c,则a//c,所以6//c,B正确；

选项C,需要加条件。,c相交，才能得出线面垂直，C错；

选项D,三棱柱的三条侧棱两两平行，但它们所在的平面是相交的不平行，D错.

故选：ACD.

C

10.已知数列｛%｝为等差数列,4=1,%=2及+1,前”项和为5”,数列也｝满足2=义.则下列说

n

法正确的是()

A.数列也｝为等差数列

B.数列｛24｝与㈤均为等比数列

C.数列答|为单调递减数列

D.数列｛q｝中的任意三项均不能构成等比数列

【答案】ABD

【分析】由题意可得+血("-进可得结果、

4,=11),"J+立"I),=AB

正确，C不正确；用反证法可得D正确.

【详解】由题意可得%=i+0(〃—i),s“=匕上&二叽"，2=&=纪色曰

2n2

所以A、B正确；

2=2"邛生/=2-------福——单调递增，故C不正确.

b„2+V2(n-l)2+V2(n-l)

假设a,=1+0(〃-1)中的三项4,成等比数列

则d,=a“q,

即1+2(m-l)2+2>/2(m-l)=l+&n-l)+x/2(p-l)+2(n-l)(p-l)

可得("2-1)2=(n-l)(p-l)@K2(/7?-l)=/7+p-2(2),

由②可得m=生产，代入①可得(亨—严=(n-l)(p-l),:.n=p

所以D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：证明是否存在问题，反证法是常用的方法，本题考查了运算求解能力和逻辑

推理能力，属于一般题目.

7T

11.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,AABC=~,内角B的平分线交AC于

点。且BD=g,则下列结论正确的是()

A.-+-=1B.8的最小值是2

ac

c.a+3c的最小值是4GD.71BC的面积最小值是6

【答案】ABD

【分析】由三角形面积公式寻找。，c关系，再利用基本不等式判断.

【详解】解：由题意得：S&JBC=$△"£>+SgCD,

由角平分线以及面积公式得〈acxsing=:6axsin?+：>/icxsin£,

232626

化简得ac=a+c,所以—F—=1,故A正确；

ac

ac=a+c>2y/ac,当且仅当。=。时取等号，

y[ac>2,..ac>49

所以SA8c=J〃csin/A8C=亭GCNG,当且仅当〃=c=2时取等号，故D正确；

由余弦定理〃二片+M-2accosZABC=a2+c2-ac

所以人22,即匕的最小值是2,当且仅当。=。=2时取等号，故B正确；

对于选项C:由欧=〃+。得：—+—=1,tz+3c=(«+3c)x(-+i)=1+—+—+3>4+2J—x—=4+2>/3,

acaccaVca

—+—=1ci=1+V3

当且仅当:。3c,BPg时取等号，故C错误；

—=-C~十号

{.Ca°

故选：ABD.

2Xx<0

12.已知x>0时，x>log2x,则关于函数/("=，八，下列说法正确的是()

log9x,x>0

A.方程.f(x)=x的解只有一个B.方程/(/(力)=1的解有五个

C.方程〃/(x))=f(O<f<l)的解有五个D.方程〃〃力)=《>1)的解有五个

【答案】ACD

【分析】作出函数/a)的图象，换元后从外到内研究，先求与y=/(x)图象交点的个数，转化

为内层函数"x)或"(X)的取值范围，据此再结合了*)的图象即可判断的根的个数.

,、2A,x<0

【详解】作出/x=hIc图象，如图，

Jlog2%],x>0

A项，因为x>logzx,显然、=》与/。)有唯一交点，故正确；

B项，令/(x)=r,则/⑺=lnr=O或，=：或，=2=/(x)=0或/'(%)=：或f(x)=2=>6个解，故

错误；

C项，令〃=/(x),则f(")=fe(O,l)="[CO,与e(0,D,“3e(l，2)

=>f(xl)<O,f(x2)e(0,1),/(x3)e(1,2)=>^有3个解,

马有2个解，共有5个解，故正确；

D项，令"=/(X),则/(")=/€(1,+00)=%€(0,1),“2€(2,+8)

=/(x”(0,l)J(X2)e(2,y)=X1有3个解，血有2个解，共有5个解，故正确.

故选择：ACD

【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析/(f(x)),根据方程的根的

个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.

三、填空题

r、(\T”2几十1

13.已知等差数列｛4,｝的前〃项和为S,,等差数列｛〃｝的前〃项和为萨=丁二，求工=

【答案】I3

[分析】利用等差数列的性质把和的比值转化为项的比值求解.

【详解】由题意52n_,=(2〃T)(；+%-P=⑵L])q，同理&T=(2«-1)2,

所以靠=立'

h4T72X74-1_3

所以

a4S73x7+45'

3

故答案为：

14.在正四面体ABC。中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为.

【答案】@##，石

66

【分析】取的中点F,作出异面直线AE与CQ所成的角，再利用三角形计算作答.

【详解】在正四面体ABC。中，取的中点尸，连接ERA尸，如图，设钻=2,

因E为BC的中点，则所〃CD,EF=\CD=\,即有是异面直线4E与CD所成的角或其

2

补角，

-EFr

而4E=AF=6，在等腰△/1£户中，cosZA£F=2:1='3,

AE2>/36

所以异面直线AE与CZ)所成角的余弦值为正.

6

故答案为：立

6

15.已知三次函数/(力=2/+3依z+笈+cg/ceR),且/(2020)=2020,/(2021)=2021,

/(2022)=2022,则/(2023)=

【答案】2035

【分析】构造函数g(x)=〃x)-x,根据g(2020)=g(2021)=g(2022)=0得到

g(x)=2(x-2020)(x-2021)(%-2022),然后代入求“2023)即可.

【详解】设g(x)=f(x)-x,贝iJg(2020)=g(2021)=g(2022)=0,所以

g(x)=2(x-2020)(x-202l)(x-2022),所以g(2023)=2x3x2xl=12,所以

“2023)=12+2023=2035.

故答案为：2035.

16.已知等边△A8C的内接于圆O:/+y2=l,点尸是圆。上一点，则PA-(PB+PC)的最大值是

【答案】2

【分析】设BC的中点为E,向量PO,OE的夹角为凡由向量的线性运算可得

PA\PB+PC)=PA(2PE)=2(PO+OA)(PO+OE),然后结合数量积的运算性质即可得出答案.

设BC的中点为E,连接4E,向量PO,OE的夹角为。,

因为等边AABC内接于圆O:/+y2=i,所以点。在AE上，且PO=AO=2OE=1,

所以

PA(PB+PC)=PA(2PE)=2(PO+OA)(PO+OE)=2Po"+PO(OA+OE)+OAOE

「-2211f1Y

=2[PO+PO（-OE）-2OEj=21-lx-cos（9-2x1--1-COS0,

所以当cos6=-l,即点尸为4E的延长线与圆的交点时，PA.(PB+PC)取最大值2,

故答案为：2.

四、解答题

17.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,ABA.BC,CD=2AB,以，平面ABC。，E为PD的

中点.

⑴证明：AE〃平面PBC；

（2）若孙=C£>=28C,求AE与面P8O所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵妪

21

【分析】（1）取CD的中点F,连接EF,AF,证明与平面尸BC平行，从而得面面平行后可

得线面平行；

（2）由已知和（1）可得AB,AF,孙两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A一个z.用空间

向量法求线面角.

【详解】（1）取CO的中点F,连接ERAF.

因为E为P。的中点，所以成〃PC.

EFe平面PBC,PCu平面PBC,所以EF//平面P8C,

因为CO=2AB,所以AB=C尸.

又AB//CD,AB1BC,所以四边形ABC尸是矩形，

所以A尸〃3c.同理AF〃平面P8C,

因为EFAF=E,EF,A尸u平面4£/，

所以平面AEF//平面PBC.

因为AEu平面AE凡所以AE〃平面P8C.

(2)由已知和(1)可得A8,AF,以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

设CD=2AB=2,则PA=CD=2BC^2,

所以A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,1,0),D(1,-1,0),

所以=DB=(-1,2,0),PD=(l,-l,-2),

设平面PBD的一个法向量为机=(x,y,z).

tn-DB=0[-x+2y=0

则,即\八，

mPD=01x-y-2z=0

令x=2,有y=l,z=；,得机=(2,1,g).

设AE与面PZ辽)所成角为a,所以cos<>=汉叵

21

故AE与面尸8。所成角的正弦值为名叵.

21

18.已知函数“x)=4sin(x-q卜osx+石.

⑴求函数/(x)的单调递增区间；

⑵若函数晨力=/(力-5在区间(0,n)上恰有2个零点冷/(%〈9)，求cosQ-w)的值.

【答案】(1)一左肛普+左乃keZ

/\3

(2)cos(x,-x2)=-

【分析】(1)由两角差的正弦公式、二倍角公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性求解;

(2)由对称性得阳=军-及，代入后再结合诱导公式求值.

O

【详解】(1)

6

〃x)=4—sinx-——COSX•cosx+百=2sinxcosx-26cos2x+g=sin2x-Gcos2x=2sin2x~—

22

.,.^--^+2k7r<2x~—<^+2k7r^keZ),解得：~^+k7t<x<(Z:eZ),

”(x)的单调递增区间为《+日净丘，丘Z.

3

（2）：g（x）在区间（0,肩上恰有2个零点看,赴（与<^）,，〃x）=5，在（0,兀）有两个根

由（1）知，当xe（（U）时，函数“X）图像的对称轴为.监

所以凡+々="，则须=学一、2

66

所以COS(X]-%2)=COS

又/(占)=$亩(2%_?)=33

“故COS（X|一々卜“

19.设等差数列｛，，,｝的前〃项和为S,,已知4+%=6,%+4=10,各项均为正数的等比数列他,｝

满足白+a="I，岫=[.

416

⑴求数列包｝与圾｝的通项公式；

⑵设g=（犯+5）也,数列匕｝的前〃项和为7；,求7；.

【答案】⑴氏=2〃一1："=（£|

3n+7

(2)7；,=7-

T

【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式及性质列出方程组求解即可;

（2）利用错位相减法求出数列的和.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为心

I%+%=2q+2d=6

"+a4=2q+4d=10，解得d=2,q=1,

an=2几一1；

设等比数歹IJ｛〃｝的公比为4（4>0）,

15

b、+4=4—+i

旧4解得々=:,q=；,4=1,

纳=&=1

lo

M-l

（2）由（1）可知味=今?

•-473n+l

473〃+1

则57>>+尹+…+亍7r'

THVT士口甘殂co/111>13n+122<2,,_|）3〃+173〃+7

两式相减得：-4=2+3x|—+—+.••+————=2+3x__乙——-r-=--------

2^22232”J2「I2"122"1

2

.3〃+7

,•】、=7---.

20.己知a,b,c分别为45c三个内角A,B,C的对边，a2-c2=bc.

（1）证明：A=2C；

（2）若a=2,且ABC为锐角三角形，求。+2c的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（3a,g石）

【分析】（1）结合余弦定理得人-2ccosA=c,然后由正弦定理化边为角后，利用两角和与差的正弦

公式化简变形可证；

（2）由三角形是锐角三角形得出C的范围，由正弦定理用C角表示出J从而求得c的取值范围，

再由（1）可用。表示出"可把6+2c表示为c的函数，利用函数的单调性得范围.

【详解】⑴证明：•.•/-2=税，

**'a2=b2+c2-2〃ccosA,a2-c2=lr-2AccosA,

b1-2/?ccosA=bc,:•b—2ccosA=c,

sinB-2sinCeos=sinC,

sin（A+C）-2sinCcosA=sinC,sinAcosC-cosAsinC=sinC,

,sin（A-C）=sinC,

B,Ce（0,7T）,JA—C=C即A=2C.

（2）*/a=―--,且。=2,Ac=-—

sinAsinCcosC

VA=2C,AB=TC-3C,

7T

0<2C<-

2

71

,/ABC为锐角三角形，所以0<K-3C<-,

2

0<C<-

2

7171

,/.cosC

44

由。=2,a2-c1=he所以力=—c,则Z?+2c=-+c,

且，嘘，竽局,

、几4

设y=—+c,cw，血,

c

7

设2"<Cl<C,<垃,则C]-仃2<0,℃-4<。,

3.

44_(q-c2){c}c2-4)

/.%一%=—----c2>°，乂>丫2，

q

4

所以y=-+c,c£，血为减函数,

c

b+2ce

21.在单调递增数列｛〃〃｝中，已知4=1,%=2,且。2〃-1，4〃，。2“+1成等比数列，/〃，。2〃+1，。2“+2

成等差数列

(1)求数列｛%｝的通项公式;

2〃+1

(2)设。=,1为数列｛"｝的前〃项和.若对T〃eN*,不等式均成立.求实数k的取

a2n-]a2n+\

值范围.

119

【答案】(1)当〃为偶数时，%=]〃(〃+2)；当〃为奇数时，atl=-(^+1)-；

(2)A:>1.

【分析】(1)根据递推关系可得数列｛n=｝(〃eN*)为等差数列，根据等差数列的通项公式可求

%-=〃2,根据*=a2„_ta2n+l可求a2„,从而可求数列｛4｝的通项公式;

,11

(2)”=/一逅『‘根据裂项相消法可得1<1，从而可求实数攵的取值范围.

【详解】(1)因为数列｛4｝单调递增，«,=1,故。”>0,

由己知条件得2色"|=%“+%“+2，或嫉+2=%向％,+3,

化简可得26e=向五二+7-3，

在等式左右两边同时除以国二，化简得2扃二=用二+口二，

故数歹财疯二｝("N*)为等差数列，%=匹=4，

a\

所以数列｛向二;｝的首项为用=1,公差为JZ-8=1,

故J“2〃一I=1+〃—1=〃，即。2〃一I=〃~，

因为a2n=a2n-\a2,^\‘可得心〃=J?(九+1)~=〃(〃+1),

119

故当〃为偶数时，an=-n(n+2)；当〃为奇数时，at