2022-2023学年上海市杨浦区长阳实验学校八年级上学期数学期中试卷含详解

长阳实验学校2022学年第一学期

初二年级数学期中练习卷

（总分100+50分，时间90分钟）

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1.下列二次根式中，最简二次根式（）

3

A.CB.£C.D.V（k2

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

11c

A.工+。=0B.7+x=2

D.3（X+1）2=2（X+1）

3.已知关于x的一元二次方程（a—1）x2—2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A.a>2B.a<2C.a<2且a/1D.a<-2

4.在下列四个命题中，是真命题的是（）

A.有两边及其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等;

B.有两个内角是60。的三角形是等边三角形;

C.垂直于同一条直线的两条直线平行:

D.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°,则顶角是70°.

5.如图，AO是AA3C中/B4c的角平分线，DEJ.AB于点、E，OE1AC于点/，S^BC=26,

DE=4,AB=1,则AC长是（）

C.7D.8

6.如图，在AA8C中，NA4c和1A6C的平分线A£,3尸相交于点O，AE交8c于£,所交AC于

F，过点。作。D±BC于D,下列三个结论：①NAO8=90+ZC；②当NC=60时，AF+BE=AB；

③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则5ABe=，由，其中正确的个数是（）

B

A.O个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：（本题共12小题，每小题2分，满分24分）

7.计算：712-73=.

8.若二次根式有意义，则x的取值范围是一.

9.把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成"如果……那么……”的形式.

10.为了降低药品的价格，物价部门对原价是。元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的

价格为元（用含a和x的代数式表示）.

11.若最简二次根式的痴。与疝不是同类根式，则。+匕=_____.

12.在实数范围内分解因式-3x_7=.

cr-ab（a>b）

13.对于实数a,b,定义运算“*”，，例如4*2.因为4>2,所以4*2=4?-4x2=8,若

ab-b\a<b）

XI,X2是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，则X1*X2=.

14.如图，已知△ABC中，AB=AC,AD=AE,/BAE=30°,则/OEC=.

15.如图，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BEJLCE,垂足分别为Q,E,AD=25cm,

DE=17cm,求BE=cm.

16.如图，在中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于。、E两点，并且相交于点尸，且“庄=80。，则

/ZME的度数是

B

DYEC

17.如图，在四边形A38中，ZB=ND=90°,NA=60°,CQ=l,AB=2,则四边形ABCD的面积是

18.在Rt/VLBC中，NC=90。，NA=30°,AC=26，点、D、E为AC,上两个动点，若将2C沿

OE折叠，点C的对应点C'落在边AB上，若△3CE为直角三角形，则此时CE的值为.

三、简答题：（本大题共5题，每题6分，满分30分）

19.计算：（石+夜了-5.

20.解方程：X2-2X-99=0.

21.解方程：（2x—l）2—2（2x—1）—8=0

22.已知加~,求加2-加的值.

J5+2"=V5F-2

23.已知关于x方程炉-（2,〃-2）x+,〃2=o有两个实数根.

（1）求机的取值范围；

（2）当，”取最大非零整数时，求方程的两个根.

四、解答题：（本大题共4题，第24题6分，25、26每题7分，第27题8分，满分28分）

24.如图，根据防疫相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观，我校要建一个面

积为10平方米的长方形临时隔高区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，

与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长A3是多少

米？

4.5米

进出通道临时隔离区

jL

AD

25.如图，AABC中，CD1.AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,

(1)求DC的长；

(2)求证：AABC是直角三角形.

26.如图，已知4B=AC,NBEF=NCFH,BE=CF,M是EH的中点.求证：FMLEH.

27.在平面直角坐标系中，已知点A(0,a),B(b,O),其中“，b满足(x+Z?)(x+3)=f+3+12",b为常

数).

(2)如图1,。为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且NA6C=AOC=90°,OA=OD,过点C作

CELDB于点、E,求证：DE=OB；

(3)如图2,P为y轴正半轴上一动点，连接的，过点B在x轴下方作BQL5P,且BQ=BP,连接

PC,PQ,QC,在(2)的条件下，设尸(O,p),求△PC。的面积(用含p的式子表示).

附加题：(50分)共8题

28.已知a<0,化简，同—/=.

29.当x=2+，2022时,代数式--41一您的值是.

30.如图，在ABC中，是高，E是CO的中点，AE的延长线交CB于点F,AE=C£>,且AF_LCB,

若EF=1，求AE的长是

31.如图，把一张长方形的纸片ABC。折叠起来，使其对角顶点4、C重合，若BC长为“，长为。（。＞匕），

其不重合部分的面积是

32.已知实数a、b、x、y满足y+|6-=I-”。，|x-3|=y-1-Z?2,求2A＞+2""的值.

2

33.已知a,“是方程f—7x+8=0的两个根，。＞£，不解方程，利用根与系数的关系求一+3"?的值.

a

34.等边一。石尸内接于等腰直角一ABC（直角边长为a）内，且砂平行斜边A8,那么.£）所面积是多少？

35.如图1所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CO上且NEFG=NFEG,£户平分NAEG，如图2

所示，H是A3上点E右侧一动点，NEG”的平分线GQ交所的延长线于点Q,设NQ=a,/EHG=。，

(1)若NHEG=40。,NQGH=20°,求N。的度数;

（2）判断：点”在运动过程中，a和4的数量关系是否发生变化？若不变，求出a和4的数量关系；若变化，请

说明理由.

长阳实验学校2022学年第一学期

初二年级数学期中练习卷

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）

1.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V4B.73C.D.屁

【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可

【详解】解：A、"=2,不是最简二次根式，不符合题意；

B、6是最简二次根式，符合题意;

C、E=也,不是最简二次根式，不符合题意；

V22

D、屈=£=*不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：

（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每

一个因式（或因数），如果基的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.x+c=0B.-4-+—=2

x~x

c.X2+2X^X2-1D.3（X+1）2=2（X+1）

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义：整理后，如果方程只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2,

像这样的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解.

【详解】A.x+c=0,是一元一次方程，不符合题意；

B.-4+,=2,是分式方程，不符合题意；

c.Y+2x=Y—1化简后得2x=-1是一元一次方程，不符合题意；

D.3（x+iy=2（x+l）是一元二次方程，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，特别注意判断之前需要进行化

简.

3.已知关于x的一元二次方程(a—1)x2—2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()

A.a>2B,a<2C.a<2且存1D.a<—2

【答案】C

【分析】当A=b2—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当

△=b2—4ac<0时，方程没有实数根.

【详解】解：A=4-4(a-1)=8-4a>0,

得a<2.

又a-1/0,

所以aV2且a，l.

故选：C.

【点睛】本题考查函数的零点以及方程根的关系，是基础题.

4.在下列四个命题中，是真命题的是()

A.有两边及其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；

B.有两个内角是60。的三角形是等边三角形；

C.垂直于同一条直线的两条直线平行；

D.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20。，则顶角是70。.

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定判定A；利用等边三角莆的判定判定B；利用平行线的判定判定C；利用等腰三角

形分类讨论判定D.

【详解】解：A、因为有两边及其中一边上的高线对应相等的两个三角形，若是第三边的高对应相等，则两个三角

形不一定全等，所以原命题假命题，故此选项不符合题意；

B、有两个内角是60。的三角形是等边三角形，是真命题，故此选项符合题意；

C、因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；

D、因为等腰三角形--腰上的高与另•腰的夹角是20。，则顶角是70。或110。，所以原命题是假命题，故此选项不

符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是

要熟练掌握全等三角形的判定，等边三角形的判定，平行线的判定，等腰三角形分类讨论等知识.

5.如图，A。是AABC中NB4C的角平分线，DEJ.AB于点、E，于点/，SMBC=26,

DE=4,AB=7,则AC长是（）

E

B

A.6B.5C.7D.8

【答案】A

【分析】先利用角平分线的性质得出。石=。尸=4,再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】A0是AABC中的角平分线，DE工AB于点、E，DFJ.AC于点F，DE=4,

・・・DE=DF=4,

ABDCD~~,

S.AHC.-SntflJ+Sr\y^AlJ2A8•DE+2—•AC-DF-26,AB=7,

/.AC=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

6.如图，在AA3C中，N84C和/ABC的平分线AE，防相交于点。，AE交BC于E，防交AC于

F，过点。作0。1BC于D,下列三个结论：①NAO8=90+ZC；②当NC=60时，AF+BE=AB^

③若OD=a,AB+BC+CA=2i?,则5,“=，必，其中正确的个数是（）

C.2个D.3个

【答案】C

【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与/C的关系，进而判定①；在上取一点”,

使BH=BE,证得,HBOMAEBO,得到ZBQ”=NBOE=60°,再证得也合£40,得到AF=A77,

进而判定②正确；作O//LAC于H,OW_L43于M,根据三角形的面积可证得③正确.

【详解】解：：。和/ABC的平分线相交于点0,

：.NOBA=-NCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

:.ZAOB=\80°-/OBA-ZOAB

ISO°--ZCBA--ZCAB

22

=180°-1(180°-ZC)

=90°+-ZC,

2

故①错误;

•••ZC=60°,

：.ABAC+ZABC=nO°,

AE,即分别是/B4C与/ABC的平分线,

ZOAB+AOBA=-(ABAC+ZABC)=60°,

，ZAOB=\20°,

...ZAOF=60°,

：.ZBOE=GO0,

如图，在AB上取一点H,使=

V时是/ABC的角平分线,

二NHBO=/EBO,

在和E8O中，

BH=BE

<NHBO=NEBO,

BO=BO

:—HBO出《EBO(SAS),

：.ZBOH=/BOE=60。,

ZAO"=180°-60°-60°=60°,

:.ZAOH=ZAOF,

在和..E4O中，

ZHAO=ZFAO

<AO=AO,

ZAOH=ZAOF

：..HAOFAO(ASA),

/.AF=AH，

；•AB=BH+AH=BE+AF，

故②正确；

作OH_LAC于”，QW，至于M,

,/。和/ABC的平分线相交于点O,

.♦.点。在NC的平分线上，

/.OH=OM=OD=a,

'：AB+AC+BC=2b,

：.SABC=^ABOM+^ACOH+^BCOD=^AB+AC+BC)a=ab,

故③正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得

HBO-EBO,得到N&»/=NBOE=60°,是解决问题的关键.

二、填空题：(本题共12小题，每小题2分，满分24分)

7.计算：疝一&=—.

【答案】73

【分析】利用二次根式的性质化简，再相减.

【详解】解：V12-V3

=2+-+

故答案是：x/3.

【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质.

8.若二次根式有意义，则x的取值范围是一.

【答案】x>2

【详解】解：根据题意，使二次根式JT与有意义，即x-2K),

解得:x>2.

故答案为：x>2.

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键.

9.把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成“如果……那么……”的形式.

【答案】如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等

【分析】命题一般都可以写成如果…那么…形式：如果后面是题设，那么后面是结论.

【详解】把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成"如果……那么……”的形式为：如果两个三角形三条边对应相

等，那么这两个三角形全等.

故答案为：如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等

10.为了降低药品的价格，物价部门对原价是。元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的

价格为___________元(用含〃和x的代数式表示).

【答案】a(1-x)2

【分析】利用代数式先表示出第一次降价后的价格，再在第一次的基础上表示出第二次降价后的价格，整理后即

可得出结论.

【详解】解：第一次降价后的价格为：a(1-JC)元，

则第二次降价后的价格为：a(1-x)(1-x)=a(17)2元，

故答案为：a(1-x)2.

【点睛】本题主要考查增长率问题，利用已知条件表示出第一次降价后价格是解题的关键.

11.若最简二次根式船必工法与J二不是同类根式，则。+匕=.

【答案】0

【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，

就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可.

【详解】解：...最简二次根式2"一4疡二与疝工是同类根式，

，2。-4=2,3a+b=a-b

解得：a=3,/?=—3.

，a+8=0.

故答案为：0.

【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键.

12.在实数范围内分解因式Y—3%一7=.

【答案】口-三里二回

【分析】将f一31-7化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式.

【详解】解：X2-3X-7

⑶237

=x~—3x+

2_37

T

3屈X3

x—+---x——

22

3-

故答案为:

【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用.

a-ab（a>b）

13.对于实数0b,定义运算“*”，,例如4*2.因为4>2,所以4*2=42-4x2=8,若

ab-b\a<b）

XI,X2是一元二次方程1-7x+12=o的两个根，则见*冗2=

【答案】±4

【分析】先解一元二次方程，再根据新定义进行计算.

【详解】解：Vx2-7x+12=0

:.（%一3）（亢一4）=0

・X3=0或厂4=0

/.x=3或片=4；

当xi=4,X2=3时，xi*X2=x\2~xiX2=42-3x4=4,

当沏=3,X2=4时，x\^X2=x\X2~%22=3X4-42=-4，

综上所述，X1*X2=±4：

故答案为：±4.

【点睛】本题考查了一元二次方程解法和新定义运用，解题时正确理解新定义并能够运用新定义是解题关键.

14.如图，已知△ABC中，AB=AC,AD=AE,N84E=30°，则NDEC=

【答案】15°

【分析】设/OEC=x,NB=/C=y,根据NAOE=/AEC=x+y,N4EC=NB+NBAE即可列出方程，从而求

解.

【详解】解：设/。EC=x,NB=NC=y,

ZADE=ZDEC+ZC=x+y,

又•.,4£>=AE,

NADE=ZAED^x+y,

则NAEC=ZAED+ZDEC^2x+y,

又,?ZAEC=ZB+ZBAE=y+30°,

.•.2x+y=y+30°,

解得x=15°,

.../DEC等于15°.

故答案为：15°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，

此题难度一般.

15.如图，ZACB=90。,AC=BC，ADA.CE,BE工CE,垂足分别为。，E,AD=25cm,

£>£=17cm,求BE=cm.

H-

【答案】8

【分析】根据已知条件证明；BCE^_C4。，则可得BE=CD,4D=C£进而根据

BE=CD=CE-DE=AD—OE即可求得BE的长.

【详解】VAD1CE,BELCE,

•••NAZ>C=NCEB=90。，

•；ZACB=90°,

NBCE+NDCA=90°.

V/BCE+/EBC=90。，

：./DCA=NEBC.

,/AC=BC,

：.△BCE^AC4Z)(AAS).

BE-CD，AD=CE.

，BE=CD=CE—DE=AD—DE=8cm.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关

键.

16.如图，在一ABC中，AC的垂直平分线分别交8C于。、E两点，并且相交于点凡且NE>EE=80°,则

的度数是.

【答案】200##20度

【分析】根据四边形内角和是360。求出/84C,再根据线段垂直平分线的性质得出。8=£>AE4=EC,结合

三角形内角和可得N3+NC=80°，继而计算即可.

【详解】AC的垂直平分线分别交8c于。、E两点，并且相交于点F,且NZ）尸E=80。，

ABAC=360°-90°-90°-80°=100°，DB=DA,EA=EC,

:.NB=ZDAB,ZC=ZEAC,Zfi+ZC=180°-ABAC=180。—100°=80°,

.-.Zfi+ZC=80°,

ZDAE=ABAC-ZDAB-ZEAC=100。-80。=20°,

故答案为：20°.

【点睛】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理及线段垂直平分线的性质定理，掌握线段垂直平分线

上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键.

17.如图，在四边形A88中，/8=/。=90°,44=60。,8=1,/18=2,则四边形ABC0的面积是

【分析】延长和8C交于点E,先由三角形的内角和定理求出/石的度数，再根据直角三角形中30°角所对

的边是斜边的一半，及勾股定理求出各个直角边的长度，再根据四边形A3CD的面积=sABE-S,8E进行求解即

可.

【详解】延长AD和8C交于点E,

NB=90°,ZA=60。，

.•.ZE=30。，

­.ZD=90°,CD=\,AB=2,

..CE=2CO=2,AE=2AB=4,

CD=\ICE2-CD2=V22-l2=6BE=>JAE2-AB2=V42-22=2百，

，四边形ABC。的面积=S-S=-BE-AB--DE-CD=-x2V3x2--x>/3xl=—,

ABREFrCnDFE22222

故答案为：巫

2

【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点是解题的关

键.

18.在Rt/VLBC中，NC=90。，NA=30°,AC=26，点、D、E为AC，上两个动点，若将/C沿

OE折叠，点C的对应点C'落在边AB上，若为直角三角形，则此时CE的值为.

【答案】3-6或4百-6

【分析】根据△3CE为直角三角形，分两种情况进行讨论：①如图1,当N8EC'=90。时，②如图2,当

NBC'E=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：•••在中，ZC=90°,NA=30。，AC=2瓜

AB-2BC,

BC-+AC2=AB\

•••BC1+n=ABC2,

：.BC=2,AB=4,

①如图1,当NBEC'=90°时，

B

图1

,/ZBEC'=ZC=90°,

：.EC//CA,

，NBC'£=ZA=30。，

/.BC'=2BE,

由折叠得CE=CE,

：.CE=CE=2-BE,

*：BE2+EC'2=BC'2，

，国+（2-5£）2=48炉，

解得：BE=6-I（负值已舍去），

C,£=2-BE=2-（V3-1）=3-X/3,

②如图2,当N5C'£=90°时，ZEC*A=90°,

由折叠可得，ZC=ZEC'D=90°,CE=C'E,

二点A、。重合，BE=2-CE=2-C'E,

NB=90。—NA4C=60°,

：.ZBEC'=90°-ZB=30°,

：.BC=-BE=\--C'E,

22

■:C'E1+BC'2=BE2,

（］A2

C'E1+1——C'E（2-CE）2,

I2J

解得：C'E=4j5—6（负值已舍去）,

综上，C'E的值为3-J5或46一6.

故答案：3-6或48-6.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30。直角三角形的性质以及解一元二次方程，解题时选择适

当的直角三角形，根据折叠的性质和含30。直角三角形的性质表示出线段的长度，运用勾股定理列出方程是解题

的关键.

三、简答题：（本大题共5题，每题6分，满分30分）

19.计算：（6+可一5.

【答案】盛

【分析】先利用完全平方公式公式去括号，再利用二次根式的性质和乘法计算化简，最后进行加减计算即可.

【详解】解：+5

=（V3）2+2X>/3XV2+（V2）2-5

=3+2A/6+2-5

=2-\/6

【点睛】本题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算的法则是解题的关键.

20.解方程：X2-2X-99=0.

【答案】=-H,々=9

【分析】应用因式分解法，将原方程化为两个一次因式的积即可求解.

【详解】解：f+2x—99=0

（x+U）（x-9）=0

解得：玉=-U,x2=9.

【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，把方程右边等于0,方程左边化为两个一次因式的积是解

此类试卷的关键.

21.解方程：（2%一1）2-2（2%-1）-8=0

［答案］X］,工2=_；

【分析】首先将方程转化成一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程求解即可.

【详解】解：（2x—1）2—2（2x—l）—8=0

4M—4x+1-4-x+2—8=0

4X2-8X-5=0

（2x-5）（2x+l）=0

；.2x—5=（）或2x+l=0

解得X1=T，%2=_g.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式

分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

1

22.已知加=，——n~/一~,求机2—mn+nr的值.

V5+2

【答案】17

【分析】先进行分母有理化得到加=逐-2，〃=君+2,再对原式变形，直接代入计算即可.

—四二一—直旦向2

【详解】解:石+2一（6+2）（石-2）5-4"

…1石+26+2一行12

行一（右同（6+2厂TT"，

・•♦nr2-mn+n2

=（/n-n）"+mn

=（石-2-6-2『+（君-2）（有+2）

=16+5-4

=17.

【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

23.已知关于X方程*2-（2,77-2）x+,〃2=0有两个实数根.

（1）求相的取值范围；

（2）当机取最大非零整数时，求方程的两个根.

【答案】（1），"Wg；（2）xi--2-6,X2—-2+0

【分析】（1）根据方程有两个实数根，结合根的判别式可得△20,即可得出关于，”的一元一次不等式，解之即

可得出力的取值范围；

（2）由（1）的结论可得出，”可取的最大非零整数为-1,将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即

可求出此时方程的两个根.

【详解】解：（1）;•关于x的方程x2-（2皿-2）苫+病=0有两个实数根，

2

j=/,2_4ac=[-（2m-2）]-4X1X/M2=4-

解得：mW；,

・・・加的取值范围为

（2）・，后3，

，当机取最大非零整数时，m=-1.

当机=-1时，原方程为N+4X+1=0,

解得：X!--4一“jXi,：2-5x2=_4+“2_4xin=_2+G

2x12x1

.•.当〃，取最大非零整数时，方程的两个根分别为》=-2-石，X2=-2+K.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握“利用一元二次方程根的判别式求

解参数的范围”是解本题的关键.

四、解答题：（本大题共4题，第24题6分，25、26每题7分，第27题8分，满分28分）

24.如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观，我校要建一个面

积为10平方米的长方形临时隔高区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，

与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长A6是多少

米？

4.5米

进出通道临时隔离区

jL

ALJ

【答案】隔离区的长为4米.

【分析】设隔离区边AB=x米，得到边BC=巴立米，根据面积列出尤=求出尤取符合添加的值

22

即可.

【详解】解：设隔离区边AB=x米，则边BC=把上⑹=竺。米

22

根据题意得方程r"二立=10

2

解得：xt=4,X2=5>4.5（舍去），

答：隔离区的长为4米.

【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解.

25.如图，在AABC中，CD_LAB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,

(1)求DC的长；

(2)求证：AABC是直角三角形.

【答案】(1)12；(2)证明见详解.

【分析】(1)直接根据勾股定理求出CD即可；

(2)根据勾股定理的逆定理即可证明出AABC是直角三角形.

【详解】解：(1)VCD1AB,

.,.ZCDB=ZCDA=90°,

在Rt^CDB中，VBC=15,DB=9,

.•.根据勾股定理，得CD/BC2-BD?=12；

(2)证明：Rtz^CDA中，CD2+AD2=AC2,

122+AD2=202,

；.AD=16,

；.AB=AD+BD=16+9=25,

AC2+BC2=202+l52=625=AB2

.•.△ABC是直角三角形.

【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键.

26.如图，已知AB=AC,NBEF=/CFH,BE=CF,例是EH的中点.求证：FM1EH.

【答案】见解析

【分析】根据等腰三角形的性质可求NB=/C,根据ASA可证ABEF也△<?"/,根据全等三角形的性质可求

EF=FH,再根据等腰三角形的性质可证尸MLE”.

【详解】解：证明：：AB=AC,

ZB=ZC,

在ABEF与△CFH中,

ZB=ZC

<BE=CF,

ZBEF=ZCFH

:ABEF与△CFH（ASA）,

：.EF=FH,

是E”的中点，

：.FMVEH.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明ABEF之△（7"/.

27.在平面直角坐标系中，已知点A（0,a）,B（h,O）,其中°,匕满足（x+8）（x+3）=f+公+12Q,b为常

（2）如图1,Q为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且NA5C=ADC=90°,OA=OD,过点C作

CELDB于■点、E,求证：DE=OB；

（3）如图2,P为y轴正半轴上一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ_L8P,且8Q=8P,连接

PC,PQ,QC,在⑵的条件下，设「（（）,〃），求△PC。的面积（用含0的式子表示）.

【答案】⑴A（0,7）,6（4,0）；

]3

TP?-TP-14（P>7）

（2）证明见解析；⑶SpcQ=^

--/?2+1/?+14（0</?<7）

【分析】（1）将左边展开，左右恒等得出方程求得；

（2）作斯_LBO交D4的延长线于尸，易得BD=BF,证明A3尸乌。C3（AAS）,可得AB=BC,再证明

ABO^5CE（AAS）,可得CE=OB,证明」DEC是等腰直角三角形，可得DE=CE,即可证明。E=OB；

(3)分为P在A点上方和在4点下方，可得_QBC知PBA,从而CQ_Ly轴，进而表示出CQ及CQ上的高，从

而求得.

【小问1详解】

解：•.,(x+b)(x+3)=d+公+12,

/.x2+(b+3)x+3b=x2+<2X4-12,

’3。=12

，〈，

b+3=a

b=4

a=7

AA(0,7),8(4,0)；

【小问2详解】

证明：如图1,

"：OA=DO,ZAOD=90°,

/.ZADO=ADAO=45°,

...ZBFD=90°-ZADB=45°,

乙BDA=4BFD,

BD=BF,

VZADC=ZABC=90°,

:.ZBDC=90°-ZADB=45°,ABAD+ZBCD=180°.

■:ZBAD+ZBAF=\80°,

/BCD=/BAF,

:.ABF^DCB(AAS),

AB=BC,

•：ZABC=90°,

：.ZABO+ZCBE=90°,

'：CE±BD,

：.ZBEC=90°,

：.ABCE+NCBE=90°,NCEB=ZAQB=90°,

?ABO?BCE,

,ABg_BCE(AAS),

CE-OB,

•；NBDC=45°,CEJ.AB,

.•.一DEC是等腰直角三角形，

/.DE=CE,

:.DE-OB；

【小问3详解】

解：如图2,

当p>7时，

延长QC交A4于Q，PD与BQ交于I,

•；ZPBQ=ZABC=90°,

：.NPBA=NQBC,

•/BQ=PB,

由⑵知，,AOBgBEC,

BC=AB,

：.QBC冬PBA(SAS),

,NBQC=NBPA,CQ=PA=p_1,

■:ZP1B=ZQID,

：.NQDI=NPB[=90°,

：.QC1PA,

,:PD=p+4,

iii3

SPCQ=-CQPD=-(p-7)(p+4)=-p---p-14,

CQ=AP="p,

PD=〃+4,

iii3

・・・SPCQ=/0PD=5（7-P）・（P+4）=-y2+y+i4，

；p2一；p_14（p〉7）

・q-J22

・・uPCQ-]3•

——p2+—p+14（0</?<7）

、22

【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，列函数关系式等知识，解决问题的关键是利用数形

结合的思想解决问题.

附加题：（50分）共8题

28.已知〃<0,化简，时—"=.

【答案】-2a

【分析】根据立方根的定义和绝对值的意义化简，进而求解即可.

【详解】解：•••avO,

|a|-V?=-a-a--la

故答案为：-2a.

【点睛】本题考查了立方根和绝对值的化简，掌握#/=〃是解题的关键.

29.当x=2+,2022时,代数式Y-4x-18的值是.

【答案】2000

【分析】先将£-4X-18化成(》-2)2-22,再把x值代入计算即可.

【详解】解：%2-4X-18

=/-4x+4-4-18

=(x-2)2-22,

；x=2+J2022，

原式=(2+J2022-2『-22=2022-22=2000.

故答案为：2000.

【点睛】本题考查代数式求值，将代数式化成一个完全平方式与数的和进行简便计算是解题的关键.

30.如图，在ABC中，CO是高，E是CD中点，AE的延长线交C8于点F,AE=CD,且AE_LC3,

若EF=1，求AE的长是.

【答案】4

【分析】证明ACEF.AED,根据题意及相似三角形的性质可得£>E=2防=2,求得CD的长，即可得到AE

的长.

【详解】W：'：AE=CD,E是CD的中点，

CE=DE=-AE,

2

'：AF±CB,CDLAB,

；・_CEF_AED,

.AEEF_I

"'CE~~DE~2'

，DE=2EF=2,

：.CD=2DE=4,

：.AE=CD=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

31.如图，把一张长方形的纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点4、C重合，若3C长为。，AB长为〃（。＞8），

其不重合部分的面积是

D

【答案】也Q##遗

2a2a2a

【分析】设=则尸C=a—x,根据矩形的性质和折叠的性质可证明RtABF^RtAD,E（HL）,再由勾

股定理求出x,继而表示出Rt_A8/的面积，即可求解.

【详解】四边形ABCO是矩形，BC长为a,A8长为名。＞。），

ZB=90°=ZC,AD^BC,

：.ZAEF=ZCFE,

设=则尸C=a-x,

把一张长方形的纸片ABO）折叠起来，使其对角顶点A、C重合，

.-.FC^FA^a-x,ZAFE=ZCFE,DC=AD=b=A3,NO'=NC=90°,

:.ZAEF^ZAFE,

：.AF=AE，

.•.Rt.A防=RtAD'E（HL）,

,•0Rt.ABF-°RtAD'E

在Rt_AB尸中，由勾股定理得+=人尸2,

即Z?2+x2=(a-x)2,

a2-b2

解得x

2a

•q==.ABBF=Lb.土土=

,,。ABF

222a4a

其不重合部分的面积为2sABF=2义Tb—b，=「b-b3

ABF4a2a

故答案沏笥

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握知识点是解

题的关键.

32.已知实数a、b、x、y满足y+|6-G|=l-"2,|x-3|=y-1-/72,求2f+2"*"的值.

【答案】17

【分析】利用非负数性质求出“与6的值，进而求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果.

【详解】解：y+|五—刊=1—/，

y=\—a2—

|x-3|=y-l-/>2,

|x—3|=1—4/"—|>/x—>/5|—\—b~=-a2-14x—6卜b2,

•r|x-3|?0,

'-仔+/-询+〃)？0,

:.a2+\4x-^\+b2=0,

。=0,Z?—0,x=3.

••y=1,

2*+)'+2。+匕=24+2°=17.

【点睛】此题考查了实数的运算，解题的关键是注意非负性质的应用.

2

33.已知a,“是方程f—7x+8=0的两个根，。＞£，不解方程，利用根与系数的关系求一+3"?的值.

a

【答案】"（403—85如）

【分析】由题可得：。+月=7,3=8,则。2+42=（。+尸『一2丽=33,

22

(a—02=(a+02—4o夕=17,而则a-£=JF7,设A=^+3夕2，B=-+3a2,求出A+B及

A—5即可得出答案.

【详解】解：由题可得：。+尸=7,必=8,

则々2+尸2=(a+#)2_2姐=33,(a-侪=(e+0、-4aB=17,

而a>/7,则a-〃=Vn,

23=Z+3Q2,

设A=—+3尸2,

aB

A+B=2-+^+3（«2+7?2）=^j^+3（a2+^2）=^+3x33=100|,

A—5=2：—）+3（户2—。2）=^^^）+3伊+可（夕—c）=Z^Z+3x7xbg）=_^I,

A=-fl00--^^>|=-（403-85Vi7）,

2（44J8、'

即一+3/2=-（403-85717）.

【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方

法.

34.等边」）所内接于等腰直角“ABC（直角边长为。）内，且所平行斜边A8,那么.Q防的面积是多少？

［答案］…”二

8

【分析】连接CO,过点尸作EG1AB于