专题14 二次函数存在性问题四边形篇分类训练（4种类型40道）（解析版）

专题14二次函数存在性问题四边形篇分类训练（4种类型40道）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型1存在性平行四边形类】 1【题型2存在性菱形类】 27【题型3存在性矩形类】 58【题型4存在性正方形类】 90【题型1存在性平行四边形类】1．如图，抛物线y=ax2+2x+c与y轴相交于点C0,3，与x正半轴相交于点(1)求此抛物线的解析式．(2)如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设Pm,n①用含m的式子表示：PD=________，DE=________．直接用①的结论求解②③②若PE=DE，请直接写出点P的坐标．③若PE=2DE，求点P的坐标．(3)如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．【答案】(1)y=-(2)①-m2+2m+3，-m+3；②点P(1,4)；③(3)点F的坐标为：2,3或1+7，【分析】本题考查的是二次函数综合运用，平行四边形的性质、函数的图象和性质；（1）由待定系数法即可求解；（2）①根据点的坐标，即可求解；②若PE=DE，则-m③若PE=2DE，则-m（3）当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3=-m2+2m+3，即可求解；当BF【详解】（1）解：由题意得：a-2+c=0c=3解得：a=-1c=3则抛物线的表达式为：y=-x（2）解：①设点P(m,-m由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+3，则点E(m,-m+3)，则PE=-m则PD=-m2+2m+3，DE=-m+3；故答案为：-m2+2m+3②若PE=DE，则-m解得：m=3(舍去)或1，即点P(1,4)；③若PE=2DE，则-m解得：m=3(舍去)或2，即点P(2,3)；（3）解：设点F(m,-m2+2m+3)当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3=-m解得：m=0(舍去)或2，即点F(2,3)；当BF或BG为对角线时，同理可得：3=-m2+2m+3解得：m=0(舍去)或2或1±7故点F的坐标为：(2,3)或1+7，-3综上，点F的坐标为：(2,3)或1+7，-32．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-1,0，B3,0(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线向上平移433个单位得到新的抛物线，点E是新抛物线上一点，点F是已知抛物线对称轴上一点，若以点B、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出点E的坐标，并把求其中一个点【答案】(1)y=(2)△PBC的面积取值最大值为938(3)点E的坐标为2,33或-2,33【分析】（1）利用待定系数法，设函数解析式为y=ax+1（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=33x-3，设Pt,（3）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得新抛物线的解析式，利用平行四边形的性质和中点坐标公式分类讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意设抛物线y=ax+1x-3中，则-3a=-3∴抛物线的解析式为：y=3（2）解：由B3,0，C0,-3，得直线BC过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N，设点Pt,33∴PN=3∴S△PBC∴当t=32时，△PBC的面积取值最大值为此时yP∴P3（3）解：原抛物线可化为y=33x-12-43由题意得新抛物线为y=33x-12，∴设点①当BC为对角线时，3+02=1+m2，∴m=2，②当BM为对角线时，3+m2=1+02，∴m=-2，③当BN为对角线时，3+12=0+m2，∴即点E的坐标为2,33或-2,33【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的性质、二次函数图象的平移、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．3．综合与实践如图，在半面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+6经过点A-6，0，点B12，0，与y轴交于点C，过C作y轴的垂线交抛物线于点D，过D作x轴的垂线交x轴于点E(1)求a,b的值；(2)过点P作PQ⊥CE交直线CE于点Q．求线段PQ的最大值和此时点P的坐标；(3)点F在CD上（点F不与点C、点D重合），连接OF，过点E作EK⊥OF于点K，∠EKF的平分线交CE于点N．①当直线KN经过OA的中点H时，点P也恰好在直线KN上，求此时点P坐标．②在①的情况下，平面内有一点R，使得以C、N、【答案】(1)a=-112(2)2728(3)①P36,36+32，【分析】1利用待定系数法即可求得解析式，得到对应系数；2过点P作PH⊥y轴交y轴于点H，交CE于点G，根据已知求得点D和点E，即可求得直线CE的解析式，则有点G的坐标，将求线段PQ的最大值转化为求PG的最大值，利用二次函数的性质即可求得；3①根据题意得则点O，K，N和E四点共圆，且OE为直径，连接ON，连接ON，得到点N为BE的中点，且N3,3，即可求得直线HN的解析式，联立二次函数即可求得点P；②由①知，点C，N，P的坐标，结合平行四边形的性质中点坐标公式即可求得点R【详解】（1）解：抛物线y=ax2+bx+6过点Aa×-62+b×则a=-112，（2）过点P作PH⊥y轴交y轴于点H，交CE于点G，如图，抛物线y=-112x当y=6时，-112x2+则点D6,6，点E设直线CE的解析式为y=kx+b，得6k+b=0b=6，解得k=-1直线CE的解析式为y=-x+6，∵点P的横坐标为t，∴Pt,-∵PG⊥y轴，点G在直线CE的图象上，∴点G1则PG=t-1根据题意得∠OEC=45°，则∠EGP=45°，在Rt△GQP中，PG=PG=-1∵a=-1∴t=9时，PG取到最大值274则点P9,则PQ=2故PQ取到最大值为2728，此时点（3）①∵EK⊥OF，∴∠EKF=∠OKE=90°，∵CE平分∠EKF，∴∠EKN=45°，则∠OKN=135°，∵OE=OC=6，∴∠OEC=45°，则点O，K，N和E四点共圆，且OE为直径，连接ON，则∠ONE=90°，∵四边形OCDE为正方形，∴点N为BE的中点，∴N3,3∵点H为OA的中点，且OA=6，∴H-3,0设直线HN的解析式为y=kx+b，得3k+b=3-3k+b=0，解得k=那么，直线HN的解析式为y=1y=-112x2+故点P3②由①知，点C0,6，N3,3，∵以C、∴设▱CNPR1的对角线交点为Sm,n∵2m=3+x2n=3+y，解得∴R1同理得R236故点R136-3,3【点睛】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式、勾股定理、二次函数最值、平行四边形的性质和中点坐标，解题的关键是熟练二次函数的性质和找到四点共圆的隐含条件．4．如图，抛物线y=ax2-2x+ca≠0与x轴交于A、B3，0(1)求抛物线的解析式；(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；【答案】(1)y=(2)27(3)Q-2，0，P1【分析】（1）把B3，0，C0，（2）过点E作EH⊥x轴，交BC于点F，求出一次函数直线BC的解析式，设Ee，e2-2e-3，Fe（3）设Qq【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2-2x+ca≠0与x轴交于A、B3∴把B3，0，C得0=9a-2×3+c解得a=1∴抛物线的解析式为y=x（2）解：如图：过点E作EH⊥x轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为y=kx+b把B3，0，C得0=3k+b解得k=1∴抛物线的解析式为y=x-3；设Ee则EF=e-3-故S∵点E是第四象限内抛物线上的动点，即S∴-32<0，开口向下，当e=32（3）解：∵y=∴对称轴直线x=-b∵点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，∴设Q∵以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，∴当四边形BCQP是平行四边形时，如图：∵BC∥PQ，BC=PQ，B∴点C向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B，则Qq，即q+3=1解得q=-2，p=3此时Q-2，0∴当四边形BCPQ是平行四边形时，如图：∵BC∥PQ，BC=PQ，B∴点C向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B，则P1，即1+3=q解得q=4，p=-3此时Q4，0综上：满足条件为：Q-2，0，P1【点睛】本题考查了二次函数与特殊平行四边形综合，二次函数的图象性质与面积最大值、平行四边形的性质、平移性质、待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性强，熟练运用分类讨论是解决第（3）小问的关键5．如图，直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y=ax2+2x+c(1)求抛物线的解析式；(2)点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；(3)在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P,Q,A,M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)M(3)72,-94【分析】（1）令y=-x+3=0，则x=3，即点C3,0，点B0,3，将点C3,0，点B（2）由S△BCE=12EM⋅OC，设点E（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：∵直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，当x=0时，y=3，当y=0时，x=3，∴B0,3，C将B0,3，C3,0代入y=ax解得：c=3a=-1∴抛物线的解析式为：y=-x（2）解：由（1）知抛物线的解析式为：y=-x设点Ex,-x2∴EM=-∵OC=3，∴S△BCE∴当x=32时，∴M3（3）解：∵y=-x∴抛物线的对称轴为：x=1，令y=0，则-x解得：x1∴A-1,0∵M3设点Pm,n，点Q①当AM是平行四边形的一条边时，当点P在对称轴的右侧时，点M向左平移52个单位向下平移32个单位得到同理Pm,n向左平移52个单位向下平移32即m-52=1，解得：m=当点P在对称轴的左侧时，同理可得点P-②当AM是平行四边形的对角线时，AM的中点坐标为14,34，此坐标即为即m+12=14，解得：综上，点P的坐标为72,-94或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为1,0(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，当四边形ABCD面积最大时，求出此时面积的最大值和点D的坐标．(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N【答案】(1)y=(2)最大值758，点(3)2,-3或-2,5或-4,21【分析】（1）根据点B的坐标及OC=3OB可得出点C的坐标，再根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y=-x-3，设Dm,m2+2m-3，则Em,-m-3（3）先求得平移后的抛物线解析式为y=(x-1)2-4=x2【详解】（1）∵点B的坐标为1,0，OC=3OB，∴点C的坐标为0,-3，将点B1,0、0,-3代入y=a得a+2a+c=0c=-3解得：a=1c=-3∴抛物线的解析式为y=x（2）由x2解得：x1=-3，∴A-3,0∴AB=1--3∴S设直线AC的解析式为y=kx+b，把A-3,0、C得-3k+b=0b=-3解得：k=-1b=-3∴直线AC的解析式为y=-x-3，设Dm,m2∴DE=-m-3-m∴S==-∵-3∴当m=-32时，S△ADC取得最大值27∴S（3）∵y=x2+2x-3=∴将抛物线y=(x+1)2-4向右平移2联立y=(x+1)解得：x=0y=-3∴M0,-3设Ht,t2-2t-3，N-1,n①以MN、AH为对角线，则MN、AH的中点重合，∴t-3=-1+0解得：t=2n=0∴H2,-3②以MA、NH为对角线，则MA、NH的中点重合，∴t-1=-3+0解得：t=-2n=-8∴H-2,5③以MH、NA为对角线，则MB、NA的中点重合，∴t+0=-1-3解得：t=-4n=18∴H-4,21综上所述，点H的坐标为2,-3或-2,5或-4,21．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上上点坐标的特征，三角形面积，二次函数的图象和性质，平行四边形性质等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．7．如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与y轴交于点C0，4，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为-2，0

(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．【答案】(1)y=-x+4(2)当点F的坐标为2，4，三角形BFC(3)3，1或2+【分析】（1）先根据对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得QF，根据面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）设Pm，-m+4，Qm，-12m2+m+4，由DE∥PQ知，以D、E、P【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴交于点A-2，0∴B设直线BC的解析式为y=kx+b将B4，0∴b'解得k=-1b∴直线BC的解析式为y=-x+4；（2）解：设抛物线的解析式为y=ax+2把C0，4带入y=a∴a=-1∴抛物线的解析式为y=-1过F点作FQ⊥x轴交BC于Q，如图，

设点Q的坐标是m，-m+4，则点F的坐标是∴FQ=-∴S△BCF∵-1<0，∴当m=2时，S△BCF最大，最大值是4当m=2时，-12m2+m+4=4（3）解：∵抛物线解析式为由y=-1∴顶点D1又∵点E在直线BC上，∴E1∴DE=9若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，由于DE∥PQ，则设点P的坐标是m，-m+4，则点Q的坐标是①当0<m<4时，PQ=-∴-1解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，即P1②当m<0或m>4时，PQ=-m+4∴12解得m=2±7此时P22+7综上所述，满足题意的点P有三个，分别是3，1，2+7【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的对称性，待定系数法，解方程组，三角形的面积的计算方法，平行四边形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键，抛物线上关于对称轴对称的两点函数值相同；求函数解析式，利用待定系数法求解；涉及平行四边形，可知平行四边形对边平行且相等，涉及二次函数与图形面积的关系，利用未知数表示出面积，得到对应的二次函数求解．8．如图，抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C

(1)点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标．(2)如图2，当点D在第四象限时，连接BD、CD和BC，得到△BCD，求△BCD的面积的最大值及此时点(3)点E在x轴上运动，以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．【答案】(1)-1,0；3,0；0,-6(2)3(3)-1,0或5,0或7-2,0或-【分析】（1）求出当y=0时x的值即可求出A、B的坐标，求出当x=0时y的值即可求出点C的坐标；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD．根据S△BCD=S（3）分四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．【详解】（1）解：把y=0代入y=2x2-4x-6解得：x1∴点A的坐标是-1,0，点B的坐标是3,0．把x=0代入y=2x2-4x-6∴点C的坐标是0,-6；故答案为：-1,0；3,0；0,-6（2）解：设点D的坐标是m,2m如图，过点D作DH⊥x轴于点H，作DG⊥y轴于点G，连接OD．

∴DG=m,DH=-2m∵点B的坐标是3,0，点C的坐标是0,-6，∴OB=3,OC=6，∵S△BCD∴S△BCD即S△BCD∵-3<0，∴当m=32时，△BCD的面积最大，最大值为此时点D的坐标是32（3）解：如图所示，当四边形CDBE是平行四边形时，则CD∥BE,CD=BE，

∴点D的纵坐标为-6，令2x解得x=2或0（舍去），∴D2,-6∴BE=CD=2，∴E1,0如图，当四边形CDEB是平行四边形时，同理可得E5,0

如图，当四边形CBDE是平行四边形时，

设点D的坐标是s,2s2-4s-6，点E∴2s解得，s=1+7∴点E7如图，当四边形CBDE是平行四边形时，

同理可求E-7综上所述，点E的坐标为-1,0或5,0或7-2,0或-【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．如图，抛物线y=12mx2-mx-4m与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点C0,-4，连接BC

(1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标；(2)当点P在第四象限时，△BCP面积是否有最大值？若有，求出P点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由；(3)M是抛物线对称轴上任意一点，若以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．【答案】(1)y=12x2-x-4(2)S△BCP最大为4，此时点P(2,-4)(3)t=3或5或-3．【分析】（1）由题意得，-4m=-4，求出m代入即可求解；（2）过点P作DT⊥x于点T，交BC于点H，则∠QPH=∠OCB=45°，则PQ=22PH（3）分情况讨论，当BC为对角线时，当BM为对角线时，当BP为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解．【详解】（1）由题意得：-4m=-4，解得：m=1，∴抛物线对应的函数表达式为y=1令y=12x2-x-4=0∴点A-2,0，B（2）有，理由：设BC的解析式为y=kx+b，∴4k+b=0b=-4，解得：k=1∴直线BC的解析式为y=x-4，如图，过点P作DT⊥x于点T，交BC于点H，则∠QPH=∠OCB=45°，

则PQ=22PH，则点P∴PQ=2=2=-2=-2由B4,0，C0,4，则由S△BCP∴当t=2时，S△BCP最大，为4，此时点P(2,-4)（3）由（1）可知：y=1∴设M1,a，由题意可知P当BC为对角线时，由中点坐标公式得：1+t=0+4，解得：t=3；当BM为对角线时，由中点坐标公式得：1+4=t+0，解得：t=5；当BP为对角线时，由中点坐标公式得：1+0=t+4，解得：t=-3；综上：t=3或5或-3．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．10．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a≠0相交于A12,52和B4,d，点M为抛物线的顶点，点G是线段AB上不同于A、

(1)求抛物线的解析式：(2)在y轴上找一点P，使BP+MP的值最小，P点的坐标为_________；(3)请你求出△ABD的面积的最大值；(4)平面内是否存在点N，使以点A、点E、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=2(2)0,(3)343(4)存在，92,12【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）作点B关于y轴的对称点K，连接KM，交y轴于点P，则点B-4,6此时BP+MP的值最小，求出直线KM（3）设Gt,t+212<t<4，则（4）设点N的坐标为m,n，分三种情况讨论，结合平行四边形的性质，即可求解．【详解】（1）解：把点B4,d，代入y=x+2﹐解得d=6把点A12,52解得a=2,b=-8∴抛物线的解析式为y=2（2）解：∵y=2x∴点M2,-2如图，作点B关于y轴的对称点K，连接KM，交y轴于点P，则点B-4,6此时BP+MP

设直线KM的解析式为y=kx+c，把点M2,-2和B2k+c=-2-4k+c=6解得：k=-4∴直线KM的解析式为y=-4当x=0时，y=2∴点P0,（3）解：∵点G在直线y=x+2上，点D在抛物y=2x∴设Gt,t+212∴GD=t+2-2∴S△ABD∴S△ABD（4）解：存在，对于y=x+2，当y=0时，则x=-2，∴点E-2,0设点N的坐标为m,n，若以AM,EN为对角线，此时12解得：m=9∴点N的坐标为92若以AE,MN为对角线，此时12解得：m=-7∴点N的坐标为-7若以EM,AN为对角线，此时-2+22解得：m=-1∴点N的坐标为-1综上所述，点N的坐标为92,12或【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．【题型2存在性菱形类】11．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A-4,0，(1)求抛物线的解析式；(2)点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=13EF时，求点(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、【答案】(1)y=(2)E(3)N1-52【分析】（1）直接利用待定系数法求解；（2）待定系数法求出直线AC的解析式，设Dm,0，分别表示出E和F的坐标，进而得到DF和EF，利用DF=（3）分AE是边和AE是对角线两种情况，进行讨论求解．【详解】（1）解：将A-4,0，B1,0，C0,-2得：16a-4b+c=0a+b+c=0解得a=1∴抛物线的解析式为y=1（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+d，将A-4,0，C0,-2代入得-4k+d=0d=-2解得k=-1∴直线AC的解析式为y=-1设Dm,0，则Em,1∴DF=12m+2∵DF=1∴12m+2解得m=-3或-4（舍），将m=-3代入12m2∴E-3,-2（3）解：存在，理由如下：当以A、E、∵E-3,-2,A∴AD=-3--4=1，∵y=1∴对称轴为：直线x=-3在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=①当AE是边时，当AM=AE=5时，点A到直线l的距离为-∴此时点M不存在；当EM=AE=5时，如图，此时菱形为AM1过点E作EH⊥l于点H，则yH=y在Rt△EMH中，由勾股定理得MH=∴yM=-2+11∴M1-3当点M-32,-2+112时，由即-32-解得xN=-5∴N1同理，可得N2②当AE是对角线时，MA=ME，此时菱形为AM3EN，设对称轴与x∵MA∴MG设M-32解得n=0，∴M3-32,0则EN=AM解得xN=-11∴N3综上：N1-52,【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，菱形的性质等，利用数形结合、分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．12．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，请直接写出点D的坐标；(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)D(3)当点E的坐标为32，-21(4)点N的坐标为-2，210或-2，【分析】（1）由题意得出A-2，0（2）求出点B3，0，抛物线的对称轴为直线x=12，得出当点B、D、C（3）过点E作EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，设Et，t2-t-60<t<3，则（4）分两种情况：当AC为菱形的边长时，当AC为菱形对角线时，利用菱形的性质，分别求解即可．【详解】（1）解：∵OA=2，OC=6，∴A-2，0∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A点，与y∴4-2b+c=0解得：b=-1c=-6∴抛物线的解析式为y=x（2）解：在y=x2-x-6中，当y=0解得：x1=-2，∴B3，0∵点D在直线x=12上，点A、∴xD=如图，当点B、D、C在同一直线上时，△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC，此时最小，，设直线BC的解析式为y=kx+b将B3，0，C解得：k=2b∴直线BC的解析式为y=2x-6，当x=12时，∴D1（3）解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，，设Et，t∴EF=2t-6-t∴=====-3∴当t=32时，∴y∴当点E的坐标为32，-214（4）解：存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，∵A-2，0∴AC=2当AC为菱形的边长时，如图所示，，则MN∥AC，且MN=AC=210∴N1-2，2当AC为菱形对角线时，如图，，则AN4∥C设N4∴-n=2解得：n=-10∴N综上所述，点N的坐标为-2，210或-2，-2【点睛】本题主要考查饿了二次函数的综合应用、菱形的性质，解题的关键是找特殊点，充分利用对称轴、顶点坐标等知识，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c过点2,3，与x轴交于点A-1,0和点B，与(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，求PE+2BE的最大值及此时点(3)在（2）中PE+2BE取得最大值时，将该抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度，点P的对应点为点N，点Q为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点H，使得以点P，N，Q，H为顶点的四边形是菱形，且线段PN是菱形的一条边，请直接写出所有符合条件的点【答案】(1)y=-(2)PE+2BE最大值为254，此时点(3)点H的坐标为(3,27-2314)或(3,【分析】（1）把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x2+bx+c，求出b（2）设P(m,-m2+2m+3)，E(m,-m+3)，D(m,0)，证明△BDE（3）分四边形PNHQ是菱形与四边形PNQH是菱形两种情况，求出点Q的坐标后根据菱形的性质求出点H的坐标．【详解】（1）解：把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x得-1-b+c=0-4+2b+c=0，解得b=2∴抛物线的表达式为y=-x（2）把x=0代入y=-x2+2x+3∴点C的坐标为(0,3)，把y=0代入y=-x2+2x+3解得x1=-1(点A的横坐标，舍去)，∴点B的坐标为(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B(3,0)，C(0,3)得：3k+b=0b=3解得：k=-1∴直线BC的解析式为y=-x+3，设P(m,-m2+2m+3)，E(m,-m+3)∴PE=-m2+3m∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠EBD=45°，∵∠EDB=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=2∴PE+2当m=-12×(-1)=12此时点P的坐标为(1（3）抛物线y=-x2+2x+3∵A(-1,0)，C(0,3)，∴AC=10由抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度，得点A的对应点为点C，则抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，得点N的坐标为(3设Q(2,m)，H(a,b)，①若四边形PNHQ是菱形，则PN=PQ=10∵P(12,∴(2-1解得m=15±2∴点Q的坐标为(2,15-2314∵四边形PNHQ是菱形，∴PN∥QH，且PN=QH=10∵点P向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点N，∴点Q向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点H，∴点H的坐标为(3,27-2314②若四边形PNQH是菱形，则PN=NQ=10∵N(32,∴(2-3解得m=27±2∴点Q的坐标为(2,27-2394由①得点Q向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点H，∴点H的坐标为(1,15-2394综上所示，点H的坐标为(3,27-2314)或(3,27+2【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合，利用二次函数性质求最值，平移的性质，菱形的判定与性质等知识点，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点(3)将抛物线向右平移1个单位，M为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)y=-(2)四边形BPCE的面积最大为32，P(3)存在，N-2,±219【分析】（1）直接利用两点式写出函数解析式即可；（2）过点P作x轴的垂线，交直线BC于点H，根据平行线间的距离相等，得到△BCQ的面积等于△BAC的面积，进而得到四边形BPCQ面积等于△BAC的面积加上△BCP的面积，得到当△BCP的面积最大时，四边形BPCQ面积最大，转化为二次函数求最值即可；（3）求出平移后的解析式，分BC为菱形的边和BC为菱形的对角线，两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A∴y=-x+2（2）解：∵y=-x∴当x=0时，y=8，∴C0,8设直线BC的解析式为：y=kx+8，把B4,0代入，得：0=4k+8，解得：k=-2∴直线BC的解析式为y=-2x+8．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点H，设点P的坐标为（m,-m2+2m+8)，则H∴PH=-m∴S△BCP∵AD∥BC∴△BCQ和△BCA的BC边上的高相等，∴S△BCQ∴S=S===-2m-2∵-2<0，∴当m=2时，四边形BPCE的面积最大为32，此时P2,8（3）解：∵y=-x∴抛物线向右平移一个单位，得到新的抛物线的解析式为：y=-x-2∴新的抛物线的对称轴为直线x=2，设M2,t∵B4,0∴BC=45，C当BC为菱形的边时：分两种情况：①四边形BCNM为菱形，∵点B先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点C，∴点M先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点N，∴N-2,t+8∵BC=BM，∴t2解得：t=±219∴N-2,±2②四边形BCMN为菱形，∵点C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点B，∴点M先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点N，∴N6,t-8∵BC=CM，∴t-82解得：t=8±219∴N6,±2当BC为对角线时：此时MN为另一对角线，则BC垂直平分MN，∵BC的中点为2,4，又M的横坐标为2，∴不存在点N，能构成菱形．综上：N-2,±219+8【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及交点式求函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形的问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3过点-1,4，且与x轴交于点A1，0和点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求PE+PF的最大值及此时点(3)将该抛物线沿射线CB方向平移2个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线y'与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x(2)PE+PF有最大值942(3)N点坐标为-134,74或-2+1226,-1+【分析】（1）将点-1,4，A1，0（2）由题意可得PE+PF=22+1PF，设点Pt,-t2（3）由题可求平移后的抛物线解析式为y'=-x+22+3【详解】（1）解：将点-1,4，A1，04=a-b+3解得a=-1∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：当x=0时，y=3∴C0当y=0时，-x解得x∴B-3∴OB=OC=3，∴∠CBO=45°，∵PF∥∴∠PFE=∠CBO=45°，∵PE⊥BC，∴PE=EF，∴PE+PF=设直线BC的解析式为：y=kx+r，则r=3-3k+r=0解得：r=3k=1∴直线BC的解析式为：y=x+3，设点Pt,-t2-2t+3∴PF=-PE+PF=∴当t=-32，即点P-32（3）解：由题意得：抛物线向x轴负方向平移1个单位，则向y轴负方向平移1个单位，∵y=-x+1∴平移后的抛物线解析式为y'当-x+12+4=-∴D-2设Mn,n+3当BD为菱形的对角线时，BM=MD，-3-2=n+x解得n=-∴N-当BM为菱形的对角线时，BD=DM，-3+n=x-2解得n=-1+12N-2+1当BN为菱形的对角线时，BD=BM，-3+x=-2+n解得n=-3+5x=-2+∴N-2+5,3+综上所述：N点坐标为-134,74或-2+1【点睛】本题考查二次函数与线段、特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质和菱形的性质，分类讨论是解题关键．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为-2,9，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为0,5，连接DB、DC(1)求抛物线的解析式；(2)P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；(3)若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)点P的坐标30-10(3)点M的坐标为7，12或35-5，【分析】（1）把点D-2,9，B0,5代入y=ax2+bx+c中，再根据顶点坐标-b2a（2）求出直线BC，直线CD的解析式，设点P的坐标为n,0，则得到G点的坐标，H的坐标，根据S△CGH=12HG×CP；根据S△BCD=S△DKC（3）设点M的坐标为m，m+5，求得CD的值，再分情况讨论：当CD与DM是菱形的两边时，则CD=DM；当CD与CM″是菱形的两边时，则CD=CM″；当DM'与CM【详解】（1）解：∵点D-2,9，B∴9=4a-2b+c，c=5，∴9=4a-2b+5，∵点D-2,9∴-b∴b=4a，把b=4a代入9=4a-2b+5，∴a=-1，b=-4，∴抛物线的解析式为：y=-x（2）解：∵点A、点C在抛物线上，∴0=-x∴x1=-5，∴A1,0，C∵点B0,5∴设直线BC的解析式为：y1∴0=-5k+b5=b∴k=1，∴设直线BC的解析式为：y1∵C-5,0，点D∴设直线CD的解析式为：y2∴9=-2k+b0=-5k+b∴k=3b=15∴设直线CD的解析式为：y=3x+15，∵点P在x轴上，∴点P的坐标为n,0，∴G点的坐标为n,n+5，H点的坐标为n,3n+15，∴S===5+n设抛物线的对称轴交直线BC于点K，∵点D-2,9∴对称轴为直线x=-2，∴K-2,3∴DK=6，∴S==15，∴若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，∴5+n2解得：n1=30∴点P的坐标30-10（3）解：如图，设点M的坐标为m，∵C-5,0，D∴CD=(-5+2)当CD与DM是菱形的两边时，则CD=DM，∴310解得m1=-5（不合题意，舍去），∴点M的坐标为7，当CD与CM″是菱形的两边时，则∴310解得m=±35∴点M的坐标为35-5，当DM'与CM∴(m+5)2解得m=-5∴点M的坐标为-5综上所述，点M的坐标为7，12或35-5，【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数图象上的点的坐标特点、三角形的面积计算、一元二次方程及菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．17．如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C两点，且与

(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，点Q为任意一点，是否存在点P、Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)S的最大值为252，(3)存在；P-1,13【分析】（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA=PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．【详解】（1）解：当x=0时，y=4，∴C0,4当y=0时，43∴x=-3，∴A-3,0∵对称轴为直线x=-1，∴B1,0∴设抛物线的表达式：y=ax-1∴4=-3a，∴a=-4抛物线的表达式为：y=-43（2）解：如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴Dm,-∴DE=-4∴S∵S∴S=-2m当m=-32时，S当m=-32时，∴D-（3）解：设P-1,n∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA=PC，即：PA∴-1+3∴n=13∴P-1∵xP+x∴xQ=-3-∴Q-2,【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、菱形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A4,0、B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，点M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)y=-(2)PE+PF的最大值72，此时点P的坐标为(3)N2,132或【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）可求直线AC的解析式为y=-x+4，设Pm,-12m2+m+4，可得（3）分三种情况：①当MH为对角线时，②当MP为对角线时，①当PH为对角线时，根据菱形的性质可解.【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A4,0、B∴16a+4b+c=04a-2b+c=0解得：a=-1∴y=-1（2）解：∵A4,0，设直线AC的解析式为y=kx+4，将A4,0代入得0=4k+4解得：k=-1∴直线AC的解析式为y=-x+4∵y=-∴抛物线的对称轴为直线x=-设Pm,-12m2+m+4∴PE=-12m∴PE+PF=-∵-∴当m=3时，PE+PF取得最大值，最大值为72，此时P（3）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于∴该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于点10,0，4∴H∵点M为平移前抛物线对称轴上一点∴设M∵P∴PH2M①当MH为对角线时，PH=PM∴29解得：t=5±∴M∵H4,0,P设Nx,y，则解得：x=2y=13∴N的坐标为2，132②当MP为对角线时，则PH=MH∴294①当PH为对角线时，则PM=MH∴t解得：t=∴M∵H4,0,P设Nx,y，则解得：x=6∴N的坐标为6，9综上所述，N2,132或【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段的最值问题，特殊四边形的问题，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．19．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-2x+c(c为常数)与一次函数y=-x+b(b为常数)的图像交于A,B两点,其中A(1)求B点坐标．(2)点P为直线AB上方抛物线上一点,连接PA,PB,当S△PAB=1258时(3)将抛物线y=-x2+2x+c(c为常数)沿射线AB平移52个单位长度,平移后的抛物线y1与原抛物线y=-x2-2x+c相交于点E,点F为抛物线y1的顶点,点M为y轴上一点,在平面直角坐标系中是否存在点N,使得以点E,F,M,N为顶点且EF为对角线的四边形是菱形?【答案】(1)2,-5(2)-(3)存在，6,-【分析】(1)根据点A的坐标,分别求得b,c的值,然后利用待定系数法即可得到答案;(2)过P作PH⊥y轴,交AB于点H,然后设出点P的坐标,从而得H的坐标,代入三角形面积公式即可得到答案;(3)由(1)直线y=-x-3得∠OAD=45°,然后根据平移性质得y1的顶点坐标,然后分类讨论:①当EF为菱形对角线时,②当EM为菱形对角线时,③当EN为菱形对角线时,联立方程得N点坐标,最后根据菱形的性质列出方程,【详解】（1）解:∵抛物线y=-x2-2x+c∴-9+6+c=0,解得:c=3,∴y=-x∵一次函数y=-x+b的图像经过A-3,0∴3+b=0,解得:b=-3,∴y=-x-3,∴y=-x2-2x+3y=-x-3,解得∴B2,-5（2）解:如图1,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q,∴∠OAD=45°,设Pt,-t2-2t+3∴PQ=-t∴S△PAB==1=5∴4t2+4t+1=0,∴P-（3）解:存在.如图2,直线AB与y轴交于点D,∴∠OAD=45°,令x=0,则y=∴D0,-3∴OD=3,∵A-3,0∴OA=3,∴OA=OD,∵∠AOD=90°,∴∠OAD=45°,∴抛物线y=-x2-2x+3沿射线AB平移52个单位长度,即先向右平移5个单位长度,∵y=-x∴平移后抛物线的解析式为y1∵点F为抛物线y1的顶点∴F4,-1∴y=-x2-2x+3y∴E2,-5当EF为对角线,且四边形FMEN是菱形时,EF,MN互相平分,MF=ME,设对角线EF,MN相交于点H,∵E2,-5∴H3,-3设点M0,m∴p∴p=6,m+q=-6,∴q=-6-m,N6,-6-m∵ME∴m2+10m+29=m2∴-6-m=-6+3∴N6,-【点睛】本题属于二次函数的综合题型,其中主要考查待定系数法求二次函数,二次函数的性质,三角形的面积,菱形的性质．20．如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A0,4，已知点C坐标为4,0，

(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点(3)如图2，将抛物线向左平移92个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N【答案】(1)y=x(2)P2,-2(3)N点坐标为3,218或-3,22+4或-3,4-22【分析】（1）根据三角形的面积求出BC=3，则可知B1,0（2）由题意可得∠PQH=45°，则PH=QH=22PQ，设Pt,t2-5t+4，则Qt,-t+4，可得△PHQ周长=-2（3）先求出平移后的函数解析式为y=x2-5x+4=x+22【详解】（1）解：∵点A0,4∴OA=4，∵△ABC面积为6，∴12∴BC=3，∵C4,0∴B1,0将A0,4，B1,0，C4,0∴c=4a+b+c=0∴c=4b=-5∴y=x（2）解：∵A0,4，C∴OA=CO=4，∴∠OAC=45°，∵PQ∥∴∠PQH=45°，∵PH⊥AC，∴PH=QH=2∴△PHQ周长=QH+PH+PQ=2设直线AC的解析式为y=kx+b，∴4k+b=0b=4解得k=-1b=4∴y=-x+4，设Pt,t2∴PQ=-t+4-t∴△PHQ周长=-2∴当t=2时，△PHQ周长的最大值为42此时P2,-2（3）解：∵y=x∴平移后的函数解析式为y=x∴抛物线的对称轴为直线x=-2，设M-2,t，N当AB为菱形的对角线时，AM=BM，∴1=x-24=t+y解得x=3y=∴N3,当AM为菱形的对角线时，AB=BM，∴-2=1+xt+4=y解得x=-3y=22+4∴N-3,22+4当AN为菱形的对角线时，AB=AM，∴x=-2+1y+4=t解得x=-1y=13t=4+∴N-1,13或综上所述：N点坐标为3,218或-3,22+4或-3,4-22【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的PD长转化为求PE的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段PD的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键．【题型3存在性矩形类】21．（1）已知抛物线C1:y=ax2+bx经过原点O，其顶点P（2）如图1，若抛物线C1与x轴交于另一点E，过O，E两点作开口向下的抛物线C2，设其顶点为Q（点Q在点P的下方），线段PQ的垂直平分线与抛物线C1相交于M，N两点，若四边形PMQN的面积为32（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C3，且与y轴正半轴，x轴正半轴分别交于A，B两点，连接AB，过点P作PH⊥x轴于点H，在直线PH上有一点C，坐标平面内有一点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的D点的坐标：【答案】（1）y=-x2+4x；（2）y=-59x-22+209【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=ax-22+4（2）根据题意可得PQ∥y轴，Q2,q，PQ=4-q，yM=yN=q+42；xM,x（3）根据题意求出抛物线C3的表达式为：y=-x2+2x+3，进而可得A,B的坐标，设Cm,4，设点Dn,t，分类讨论【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax-2将点0,0代入得：0=a0-2解得：a=-1，∴y=-x-2（2）如图所示：∵C2为过O，E两点的抛物线，且其顶点为Q则PQ∥∴Q2,q，PQ=4-q∵线段PQ的垂直平分线与抛物线C1相交于M，N∴yM令y=-x即：-x2+4x-∴xM∴MN=x∵四边形PMQN的面积=1解得：q=20∴Q2,设抛物线C2的函数表达式为：y=将点0,0代入得：0=a解得：a'∴物线C2的函数表达式为：y=-（3）由题意得：抛物线C3的表达式为：y=-令x=0，则y=3；令y=0，则x1∴A0,3∵在直线PH上有一点C，∴设Cm,4设点Dn,t则：AB①∠BAC=90°时，B∴m-32解得：m=1，∴C1,4此时n=3+1-0=4,t=3+4-3=4，∴D4,4②∠ABC=90°，A∴m-32解得：m=7，∴C7,4此时n=0+7-3=4,t=3+4-0=7，∴D4,7③∠ACB=90°，A∴18=m解得：m=-1或m=4，∴C-1,4或C此时n=0+3--1=4,t=3+0-4=-1∴D4,-1或D综上所述，D4,4或D4,7或D4,-1故答案为：D4,4或D4,7或D4,-1【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了解析式的求解、二次函数图象的性质、面积问题、特殊四边形的存在性温题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．22．如图1，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx-3a≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点【答案】(1)y=(2)PM+QN(3)存在E-1,-2或5,-2或1,-3-172或【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设Pa,a2-2a-3，则Qa+1,（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把A-1,0,B3,0a-b-3=0解得：a=1∴抛物线的解析式为y=x（2）∵抛物线y=ax2+bx-3a≠0与y轴交于点C，令∴C点的坐标为0,-3设直线BC的解析式为y=kx+b，把B,C点的坐标代入得：3k+b=0解得：k=1∴直线BC的解析式为y=x-3．点P,Q为直线BC下方抛物线上的两点，设Pa,a∴M∴PM=-a2∴PM+QN=-2当a=1时，PM+QN∴Q2,-3（3）由题意可得：y∴y'∵抛物线y=ax2+bx-3a≠0∴C∵B∴OC=OB=3，如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴．∵D在y'的对称轴为∴FD=2∴CF=FD=2,OF=3+2=5，即点D∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E5,-3如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于F∵D在y'的对称轴为∴FO=2∴BF=3-2=1∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°∴BF=FD=3-2=1，即点D∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E-1,-2如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D2,d,∴BC的中点F的坐标为322+m解得：m=1又∵DE=BC∴解得：d+n=3解得：n=∴点E的坐标为1,-3-17综上，存在E-1,-2或5,-2或(1,-3-172【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．23．如图，已知直线y=x+1与抛物线y=-x2+mx+n交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．【答案】(1)y=-(2)9(3)Q2,7【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再把A、C坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；（2）记AD于y轴的交点为E，证明△OAE为等腰直角三角形，过F作FN∥y轴交AD于N，△FGN为等腰直角三角形，则FG=22FN，设F（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y=-x2+2x+3=-x-12+4，则M1,4，求解直线AM的解析式为y=2x+2，可得R0,2，设P0,y，而四边形APQM为矩形，可得∠RAP=90°，再利用勾股定理建立方程求解P0,-1【详解】（1）解：在y=x+1中，当y=0时，0=x+1，解得x=-1，则A-1,0把C0,3，A-1,0代入y=-∴m=2n=3∴抛物线的解析式为y=-x（2）记AD于y轴的交点为E，当x=0时，y=x+1=1，则E0,1，∴OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO=∠AEO=45°，过F作FN∥y轴交AD于∴∠FNG=45°，∴△FGN为等腰直角三角形，∴FG=2设Fx,-x2+2x+3∴FN=-x2当x=12时，FN有最大值∴FG的最大值为：94（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y=-x2+2x+3=-设直线AM的解析式为y=mx+n，把A-1,0、M1,4分别代入得解得m=2n=2，∴直线AM的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则R0,2，设P0,y，而四边形APQM∴∠RAP=90°，∴2-y2解得：y=-12，即由平移的性质可得：Q2,如图，当P在AM的左边，同理可得：y-22解得：y=92，即由平移的性质可得：Q-2,综上：Q2,72【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．24．如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0经过x轴上A-1(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线与直线y=-x-1交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标；(3)F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由．【答案】(1)y=-(2)点P的坐标为35，(3)不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由见解析【分析】（1）由二次函数的对称性可得B3（2）如图1，连接BE，记直线AE与y轴的交点为D，联立y=-x-1y=-x2+2x+3，可得E4，-5，则AE=52，求C0，3，由OC=3=OB，可得∠CBO=45°，BC=32，求D0，-1，由OA=1=OD，可得∠OAD=45°，∠CBP=∠BAE，即AE∥BC，设Pm，0，则（3）由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况，①假设AE为矩形的一边，则D，F必在直线AE的同侧，过A，E作直线AE的垂线交直线BC于F1、F2，交抛物线于D1、D2，如图2，根据矩形的性质进行判断作答即可；②假设AE为矩形的对角线，则D，F必在直线AE的两侧，取A，E的中点Q，以Q为圆心，以AQ为半径画⊙Q，交直线BC于F1、F【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，且过点A-1∴B3将A-1，0，B3，解得，a=-1b=2∴抛物线的函数表达式为y=-x（2）解：如图1，连接BE，记直线AE与y轴的交点为D，

联立y=-x-1y=-解得，x1=-1y∴E4∴AE=4-当x=0时，y=-02+2×0+3=3∴OC=3=OB，∴∠CBO=45°，当x=0时，y=-0-1=-1，即D0∴OA=1=OD，∴∠OAD=45°，∴∠CBP=∠BAE，即AE∥BC，设Pm，0∵以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，分△BPC∽△ABE，△BCP∽△ABE，两种情况求解；①当△BPC∽△ABE，∴PBAB=BC解得，m=35，即②当△BCP∽△ABE，∴PBAE=BC解得，m=-92，即综上所述，点P的坐标为35，0（3）解：不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由如下：由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况，①假设AE为矩形的一边，则D，F必在直线AE的同侧，过A，E作直线AE的垂线交直线BC于F1、F2，交抛物线于由（2）可知，直线AE∥BC，∴当点F必在F1、F2处，而点D必须在D1、D2处，由图可知，此时②假设AE为矩形的对角线，则D，F必在直线AE的两侧，取A，E的中点Q，以Q为圆心，以AQ为半径画⊙Q，交直线BC于F1、F2，作射线F1Q交抛物线于D1∴当点F必在F1、F2处，而点D必须在D1、D2处，由图可知，此时综上所述，不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，等腰三角形判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与相似三角形综合，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，平行线的判定是解题的关键．25．已知抛物线C1：y=14x2-1与x轴交于A，B两点（点A在点(1)则点A、点B、点C的坐标分别是________、________、_________；(2)如图1，经过原点O的直线EF：y=kx（k为常数，且k≠0）与抛物线C1交于E、F两点（点E在点F左边），当S(3)将抛物线C1沿x轴向左平移，得到抛物线C2与x轴交于点O及另一点D，如图2所示，设点G、点H、点I分别在对称轴、y轴、抛物线C2上，若以B、G、H、I【答案】(1)-2，0；2(2)k=(3)G-2，1或【分析】（1）在y=14x2-1中，分别求出当x=0时y（2）设Ex1，y1，Fx2，y2，联立y=kxy=14x2-1得x2-4kx-4=0（3）先求出平移后的抛物线解析式为y=14x+22-1，则平移后的抛物线对称轴为直线x=-2，设G-2，m，H0，【详解】（1）解：在y=14x2-1中，当x=0在y=14x2-1中，当y=0∴A-2故答案为：-2，0；2，（2）解：设Ex联立y=kxy=14∴x1∵C0∴OC=1，∵S△CEF∴12∴x2-x∴x1解得x1=-1或∴x2∴4k=4-1=3，∴k=3（3）解：设平移后的抛物线解析式为y=1把0，0代入y=1解得m=2或m=-2（舍去），∴平移后的抛物线解析式为y=1∴平移后的抛物线对称轴为直线x=-2，设G-2当BH为对角线时，由矩形对角线中点坐标相同可得2+02∴s=4，∴t=1∴I4∴BI2=4-22∵B∴m2∴m=1，∴G-2当BH，BG为边时，由矩形对角线中点坐标相同可得∴s=-4，∴t=0，∴I-4∴BI2=-4-22∵B∴36=m∴m=22或m=-2∴G-2，2综上所述，G-2，1或G【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，矩形的性质，二次函数图象的平移等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．26．如图1，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A-3,0和B(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出PD+EF的最大值及此时点(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点【答案】(1)y=-(2)258，(3)H点的坐标为-2,-13或0,73【分析】（1）设顶点式y=ax+3x-1，展开得-3a=3，解方程求出（2）根据题意推出△OAC，△PDE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出EF的表达式，从而建立起PD+EF的函数表达式，最终利用函数法求最值；（3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=ax+3即y=ax∵y=a∴-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的函数表达式为y=-x（2）解：由（1）知y=-x当x=0时，y=3，∴C0,3∴OA=OC，∴△OAC是等腰直角三角形，∠CAO=45°，设直线AC的解析式为y=kx+b，将C0,3，A-3,0代入，得解得b=3k=1∴yAC∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，点P作PD∥y轴交AC于点∴设Pm,-m2∴PD=-m2-3m如图，延长FE交PD于点G，则FG⊥PD，由题意可得△PDE是等腰直角三角形，∴EG=PG=1∴EF=GF-EG=-m--∴PD+EF=GF-EG=-m∴当m=-52时，PD+EF取最大值258（3）解：平移后的函数解析式为y=-x+3+2将y=-x2-6x-5与y=-x2解得两条抛物线交点M的坐标为-2，如图，以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形∴AM2=-2+32∵AM2+M∴10+-1解得y1设H1p1,q1，由A，-1+解得p1∴H1同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形∵AM2+A∴10+-1解得y2=-2设H2p2,q2，由A，-1+解得p∴H2如图，以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N∵AM2=A∴10=-1解得y3=1，y4=2，即设H3p3,q3，由A，-3+解得p3∴H3设H4p4,q4，由A，-3+解得p4∴H4综上可知，H点的坐标为-2,-13或0,73【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A-3,0，B-1,0，C0,3三点，顶点为M，连接AC、BC，抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使S△ACP=S(3)若点K是平面内一点，抛物线对称轴上，是否存在这样的点G，使得以A，C、G、K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x(2)存在，-2，-1，(-2,3)(3)-2,3+172或-2,3-17【分析】（1）设y=ax+3（2）过点B作BF∥AC交y轴于点F，与对称轴交于点P1，点P1即为所求；在点C上方取一点H，使CH=CF，过点H作HP∥AC，与对称轴交于点P2（3）若以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需使△ACG是直角三角形即可，需要分三种情况讨论∶∠AGC=90°或∠GAC=90°或【详解】（1）解：由抛物线y=ax2+bx+c经过A-3,0，∵设y=ax+3x+1过∴3=a0+3解得a=1，∴y=∴抛物线的解析式为y=x（2）解：存在，理由如下∶∵抛物线的解析式为y=x∴对称轴为直线x=-2，过点B作BF∥AC交y轴于点F，与对称轴交于点P1，直线AC交对称轴于点E设直线AC：y=kx+m，把A-3,0，C3=m0=-3k+m解得m=3k=1∴直线AC的表达式为∶y=x+3，∴设直线BF的解析式为∶y=x+n，E-2把B-1,0代入得0=-1+n，解得∴直线BF的解析式为∶y=x+1，∴F0∴CF=3-1=2∴P1②在点C上方取一点H，使CH=CF，过点H作HP∥AC，与对称轴交于点P2∵F0，∴H0,5∴直线HP的解析式为∶y=x+5，∴P2综上，若S△ACP=S△ACB，则点P的坐标为-2（3）解：存在，理由如下∶设G-2,p∵以A，C、G、K为顶点的四边形是矩形，∴∠AGC=90°或∠GAC=90°或①当∠AGC=90°时，G-2,p，C0,3AG2+C解得p=3+172∴G1-2,3+②当∠GAC=90°时，G-2,p，C0,3AG2+A解得p=-1，∴G3③当∠ACG=90°时，G-2,p，C0,3CG2+A解得p=5，∴G4-2,5综上所述，存在，此时点G的坐标为∶-2,3+172或-2,3-17【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，三角形的面积，矩形的存在性质等内容，第（3)问把矩形的存在性转化为直角三角形的存在性，再进行分类讨论是常用解法．28．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-5,0和B两点，与y

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PD∥y轴交AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线y',y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A,M，【答案】(1)y=-(2)PD的最大值为254，(3)存在，-3，-25或-1【分析】（1）待定系数法求抛物线表达式即可；（2）设AC的解析式为y=kx+b，待定