（课标专用）天津市高考数学二轮复习 题型练6 大题专项（四）立体几何综合问题-人教版高三数学试题

题型练6大题专项(四)立体几何综合问题题型练第60页

1.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G为BE的中点.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)若AB=3BC,求二面角D-CA-G的余弦值.(1)证明∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∴AD⊥AB.∵矩形ABCD∩菱形ABEF=AB,∴AD⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF,∴AD⊥AG.∵菱形ABEF中,∠ABE=60°,G为BE的中点,∴AG⊥BE,即AG⊥AF.∵AD∩AF=A,∴AG⊥平面ADF.(2)解由(1)可知AD,AF,AG两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=3BC=3,则BC=1,AG=32,故A(0,0,0),C32,-32,1,D(0,0,1),G3则AC=32,-设平面ACD的法向量n1=(x1,y1,z1),则n1·AC=32得n1=(1,3,0),设平面ACG的法向量n2=(x2,y2,z2),则n2·AC=3得n2=(0,2,3).设二面角D-CA-G的平面角为θ,则cosθ=n1易知θ为钝角,∴二面角D-CA-G的余弦值为-2172.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.解:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,设AC,A1C1的中点分别为O,O1,则OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB,以{OB,OC,因为AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2).(1)因为P为A1B1的中点,所以P32从而BP=-故|cos<BP,AC因此,异面直线BP与AC1所成角的余弦值为310(2)因为Q为BC的中点,所以Q32因此AQ=32,32设n=(x,y,z)为平面AQC1的一个法向量,则AQ不妨取n=(3,-1,1).设直线CC1与平面AQC1所成角为θ,则sinθ=|cos<CC1,n>|=所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为553.在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=23,AD=AB=PD=PB=2.(1)若点E为PC的中点,求证:BE∥平面PAD.(2)当平面PBD⊥平面ABCD时,求二面角C-PD-B的余弦值.(1)证明取CD的中点为M,连接EM,BM.由已知得,△BCD为等边三角形,BM⊥CD.∵AD=AB=2,BD=23,∴∠ADB=∠ABD=30°,∴∠ADC=90°,∴BM∥AD.又BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD.∵BE⊂平面BEM,∴BE∥平面PAD.(2)解连接AC,交BD于点O,连接PO,由对称性知,O为BD的中点,且AC⊥BD,PO⊥BD.∵平面PBD⊥平面ABCD,PO⊥BD,∴PO⊥平面ABCD,PO=AO=1,CO=3.以O为坐标原点,OC的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则D(0,-3,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),则n2⊥DC,n2⊥DP,∴n∵DC=(3,3,0),DP=(0,3,1),∴3令y=3,得x=-1,z=-3,∴n2=(-1,3,-3),∴cos<n1,n2>=n1·n设二面角C-PD-B的大小为θ,则cosθ=13134.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D?(1)证明如图建立空间直角坐标系.设棱长AA1=a,则D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PD·PB=0,PD·所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和PB,由线面垂直的判定定理,得PD⊥平面PBC.(2)解A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1),所以cos<PA,n1>=-111×所以PA与平面ABCD所成角的正弦值为1111所以PA与平面ABCD所成角的正切值为1010(3)解因为D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a设平面AB1D的法向量为n2=(x,y,z),则有DA令z=2,可得平面AB1D的一个法向量为n2=(0,a,2).若要使得PC∥平面AB1D,则要PC⊥n2,即PC·n2=a-2=0,解得a=2.所以当AA1=2时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.解:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B-12,1(1)证明:易得PC=(0,1,-2),AD=(2,0,0).于是PC·AD=0,所以PC⊥(2)PC=(0,1,-2),CD=(2,-1,0).设平面PCD的法向量n=(x,y,z).则n·PC=0可得n=(1,2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos<m