影响线-静定梁的影响线（建筑力学）

影响线一、静力法作单跨静定梁的影响线静力法就是以单位移动荷载F=1的作用位置x为自变量，利用静力平衡条件求出某量值与x的函数关系式（即影响线方程），再据此作出影响线的方法。(一)简支梁的影响线１．反力影响线如图15-2（a）所示简支梁，作支座反力ＦAy、ＦBy的影响线。选取A点为坐标原点，以梁轴线为x轴，设F=1作用位置为x,显然x∈［0，l］。设支座反力向上为正，由梁整体的平衡条件∑MＢ＝0得FＡy＝（l－x）/l（a）∑MＡ＝0得FＢy＝x/l（b）

静定梁的影响线影响线式（a）、式(b)分别为反力FＡy、FBy的影响线方程。由方程可绘出FＡy、FBy的影响线，如图15-2（d）、（e）所示。作影响线时，通常规定正值画在基线的上方，负值画在基线的下方，并标出正负号。

2．弯矩影响线作简支梁截面K的弯矩影响线，弯矩规定以下侧纤维受拉为正。由于单位移动荷载F=1在K截面左边和右边时，ＭＫ的表达式不同，故应分别考虑，分段列出影响线方程。当F=1在AK段移动时，取K截面右边为隔离体，如图15-2（b）所示。由∑MＫ＝0，得ＭＫ＝ＦBy·b＝（x/l）·b(0≤x≤a)(c)当F=1在KB段移动时，取K截面左边即AK段为隔离体，可得ＭＫ＝ＦＡy·a＝[(l－x)/l]·a(a≤x≤l)（d）式(c)、式(d)是ＭＫ影响线方程，作ＭＫ影响线如图15-2（f）所示。由图可见，ＭＫ影响线由左、右两段直线组成，并形成一个三角形。当Ｆ=1移动到Ｋ截面时，弯矩ＭＫ为极大值ab/l。3．剪力影响线作简支梁截面Ｋ的剪力影响线，剪力正负号规定同前面。和弯矩影响线一样，需分段列出剪力影响线方程。当Ｆ=1在AK段移动时，取KB段为隔离体，如图15-2(b)所示。由∑Fy＝0，得ＱＫ＝－ＦＢy＝－x/l(0≤x＜a)（e）当Ｆ=1在KB段移动时，取AK段为隔离体，如图15-2（c）所示。由∑Ｆy＝0，得ＱＫ＝ＦAy＝(l－x)/l(a＜x≤l)（f）由ＱＫ影响线方程（e）和（f）可知，ＱＫ影响线由左、右两段互相平行的直线段组成，绘出影响线如图15-2（g）所示。影响线在K点处有突变，表明F＝1由K截面的左侧移动到右侧时，ＱＫ发生了突变，突变值等于1。而当F=1正好作用于K点时，ＱＫ的值是不确定的。

综合以上的分析，静力法作影响线步骤可归纳如下：（1）选取坐标系，以坐标x表示单位移动荷载F=1的作用位置。（2）由平衡条件求出反力或内力的表达式，即为影响线方程。（3）根据影响线方程画出影响线，并标上正负号。为了更好地掌握影响线的概念，现把简支梁的弯矩影响线与恒载作用下弯矩图的区别对比如下：简支梁的弯矩影响线——承受的荷载为单位移动荷载，横坐标x表示单位移动荷载的作用位置，纵坐标y表示单位移动荷载作用在该点时指定截面弯矩的大小；弯矩图——承受的荷载为作用位置固定不变的实际荷载，横坐标x表示梁各截面位置，纵坐标y表示对应截面弯矩的大小。（二）外伸梁影响线1．反力影响线要作如图15-3（a）所示外伸梁支座反力的影响线，仍选A为坐标原点，由平衡条件∑ＭＢ＝0和∑ＭＡ＝0得两支座反力ＦＡy、ＦＢy的影响线方程为ＦＡy＝(l－x)/lＦＢy＝x/l可见方程与相应简支梁的反力影响线方程完全相同，反力影响线如图15-3（b）、(c)所示。很明显，简支梁的反力影响线向外伸部分延长，即得到外伸梁的反力影响线。2．跨间各截面内力影响线如图15-3（a）所示，K截面在AB段内，现讨论ＭＫ、ＱＫ的影响线。按简支梁求弯矩和剪力影响线方程同样的方法可求出{ＭＫ＝b/l·x(-l１＜x≤a)ＭＫ＝[(l－x)/l]·a(a≤x＜l+l2){QＫ＝－x/l(-l１＜x＜a)ＱＫ＝(l－x)/l(a＜x＜l＋l2)外伸梁影响线方程与简支梁的方程形式完全相同，影响线如图15-3(d)、(e)所示。与图15-2比较发现，简支梁的弯矩和剪力影响线向外伸部分延长即得外伸梁的影响线。

3．外伸部分内力影响线现作外伸部分CA段上E截面的ＭＥ、ＱＥ影响线。以E截面为坐标原点，F=1作用点到E的距离为x，如图15-4（a）所示。当F=1在CE段上时，有ＭＥ＝－xＱＥ＝－1当F=1在ED段上时，有ＭＥ＝０ＱＥ＝０由此可作出ＭＥ、ＱＥ的影响线如图15-4（b）、(c)所示。

影响线一、静力法作单跨静定梁的影响线静力法就是以单位移动荷载F=1的作用位置x为自变量，利用静力平衡条件求出某量值与x的函数关系式（即影响线方程），再据此作出影响线的方法。(一)简支梁的影响线１．反力影响线如图15-2（a）所示简支梁，作支座反力ＦAy、ＦBy的影响线。选取A点为坐标原点，以梁轴线为x轴，设F=1作用位置为x,显然x∈［0，l］。设支座反力向上为正，由梁整体的平衡条件∑MＢ＝0得FＡy＝（l－x）/l（a）∑MＡ＝0得FＢy＝x/l（b）

静定梁的影响线影响线式（a）、式(b)分别为反力FＡy、FBy的影响线方程。由方程可绘出FＡy、FBy的影响线，如图15-2（d）、（e）所示。作影响线时，通常规定正值画在基线的上方，负值画在基线的下方，并标出正负号。

2．弯矩影响线作简支梁截面K的弯矩影响线，弯矩规定以下侧纤维受拉为正。由于单位移动荷载F=1在K截面左边和右边时，ＭＫ的表达式不同，故应分别考虑，分段列出影响线方程。当F=1在AK段移动时，取K截面右边为隔离体，如图15-2（b）所示。由∑MＫ＝0，得ＭＫ＝ＦBy·b＝（x/l）·b(0≤x≤a)(c)当F=1在KB段移动时，取K截面左边即AK段为隔离体，可得ＭＫ＝ＦＡy·a＝[(l－x)/l]·a(a≤x≤l)（d）式(c)、式(d)是ＭＫ影响线方程，作ＭＫ影响线如图15-2（f）所示。由图可见，ＭＫ影响线由左、右两段直线组成，并形成一个三角形。当Ｆ=1移动到Ｋ截面时，弯矩ＭＫ为极大值ab/l。3．剪力影响线作简支梁截面Ｋ的剪力影响线，剪力正负号规定同前面。和弯矩影响线一样，需分段列出剪力影响线方程。当Ｆ=1在AK段移动时，取KB段为隔离体，如图15-2(b)所示。由∑Fy＝0，得ＱＫ＝－ＦＢy＝－x/l(0≤x＜a)（e）当Ｆ=1在KB段移动时，取AK段为隔离体，如图15-2（c）所示。由∑Ｆy＝0，得ＱＫ＝ＦAy＝(l－x)/l(a＜x≤l)（f）由ＱＫ影响线方程（e）和（f）可知，ＱＫ影响线由左、右两段互相平行的直线段组成，绘出影响线如图15-2（g）所示。影响线在K点处有突变，表明F＝1由K截面的左侧移动到右侧时，ＱＫ发生了突变，突变值等于1。而当F=1正好作用于K点时，ＱＫ的值是不确定的。

综合以上的分析，静力法作影响线步骤可归纳如下：（1）选取坐标系，以坐标x表示单位移动荷载F=1的作用位置。（2）由平衡条件求出反力或内力的表达式，即为影响线方程。（3）根据影响线方程画出影响线，并标上正负号。为了更好地掌握影响线的概念，现把简支梁的弯矩影响线与恒载作用下弯矩图的区别对比如下：简支梁的弯矩影响线——承受的荷载为单位移动荷载，横坐标x表示单位移动荷载的作用位置，纵坐标y表示单位移动荷载作用在该点时指定截面弯矩的大小；弯矩图——承受的荷载为作用位置固定不变的实际荷载，横坐标x表示梁各截面位置，纵坐标y表示对应截面弯矩的大小。（二）外伸梁影响线1．反力影响线要作如图15-3（a）所示外伸梁支座反力的影响线，仍选A为坐标原点，由平衡条件∑ＭＢ＝0和∑ＭＡ＝0得两支座反力ＦＡy、ＦＢy的影响线方程为ＦＡy＝(l－x)/lＦＢy＝x/l可见方程与相应简支梁的反力影响线方程完全相同，反力影响线如图15-3（b）、(c)所示。很明显，简支梁的反力影响线向外伸部分延长，即得到外伸梁的反力影响线。2．跨间各截面内力影响线如图15-3（a）所示，K截面在AB段内，现讨论ＭＫ、ＱＫ的影响线。按简支梁求弯矩和剪力影响线方程同样的方法可求出{ＭＫ＝b/l·x(-l１＜x≤a)ＭＫ＝[(l－x)/l]·a(a≤x＜l+l2){QＫ＝－x/l(-l１＜x＜a)ＱＫ＝(l－x)/l(a＜x＜l＋l2)外伸梁影响线方程与简支梁的方程形式完全相同，影响线如图15-3(d)、(e)所示。与图15-2