2024年湖南师大附中博才实验学校八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024年湖南师大附中博才实验学校八年级数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．点A(-3,-4)到原点的距离为()A．3 B．4 C．5 D．72．下列说法正确的是（）A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等B．两条直角边分别相等的两直角三角形全等C．一个命题是真命题，它的逆命题一定也是真命题D．经过旋转，对应线段平行且相等3．在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上作等腰三角形，且含边长为4的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．34．将某个图形的各个顶点的横坐标都减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位5．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（)A． B． C． D．6．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17．用反证法证明:“中，若.则”时，第一步应假设()A． B． C． D．8．如图，函数y=kx+bk≠0的图象经过点B2,0，与函数y=2x的图象交于点A，则不等式组kx+b>0kx+b≤2x的解集为A．x≤1 B．x>2 C．1≤x<2 D．0<x≤19．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A． B． C． D．2二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是__．12．不等式组的解集是_________.13．我们知道，正整数的和1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，若把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32），…，现有等式Am＝（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A8＝（2，3），则A2018＝_____14．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）15．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____．16．如图，将△ABC向右平移到△DEF位置，如果AE＝8cm，BD＝2cm，则△ABC移动的距离是___．17．一支蜡烛长10cm，点燃时每分钟燃烧0.2cm，则点燃后蜡烛长度(cm)随点燃时间(min)而变化的函数关系式为_____________________，自变量的取值范围是________________．18．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知三角形纸片ABC的面积为41，BC的长为1．按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转110°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转110°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．图1图2（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．20．（6分）如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E是AB边上一动点（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE交BC边于点F、交DA的延长线于点G，且FH∥AB．（1）当DE＝433时，求（2）求证：DE＝GF；（3）连结DF，设AE＝x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数关系式．21．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点B″的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．22．（8分）如图，在矩形中，为对角线，点为边上一动点，连结，过点作，垂足为，连结．(1)证明：；(2)当点为的中点时，若，求的度数；(3)当点运动到与点重合时，延长交于点，若，则．23．（8分）用适当的方法解一元二次方程：x2+4x+3=1．24．（8分）25．（10分）如图，点分别是对角线上两点，.求证：.26．（10分）已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与轴的交点为，顶点为.（1）求该二次函数的解析式及点，的坐标；（2）点是轴上的动点，①求的最大值及对应的点的坐标；②设是轴上的动点，若线段与函数的图像只有一个公共点，求的取值范围.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】

根据点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】∵点A的坐标为（-3，-4）,到原点O的距离：OA==5，

故选C．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．2、B【解析】

A,B利用斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判定直角三角形全等时，也可以运用其它的方法．C利用命题与定理进行分析即可，D.利用旋转的性质即可解答；【详解】A、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故A选项错误；

B、根据SAS可得，两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故B选项正确；C、一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．故C选项错误；D、经过旋转，对应线段相等，故D选项错误；故选：B．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、B【解析】

①以A为圆心，以4为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取2个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取4个单位，以截取的点为圆心，以4个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取2个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取4个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可，⑥以A为端点在AD上截取4个单位，再作这条线段的垂直平分线交BC一点，连接即可（和⑤大小一样）；⑦以A为端点在AD上截取4个单位，以截取的点为圆心，以4个单位为半径画弧，交CD一个点，连接即可（和③大小一样）．【详解】解：满足条件的所有图形如图所示：共5个．

故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法．4、A【解析】

纵坐标不变则图形不会上下移动，横坐标减2，则说明图形向左移动2个单位．【详解】由于图形各顶点的横坐标都减去2，故图形只向左移动2个单位，故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化---平移，要知道，上下移动，横坐标不变，左右移动，纵坐标不变.5、D【解析】

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、B【解析】如图，过点P作PC垂直AO于点C，PD垂直BO于点D,根据角平分线的性质可得PC=PD，因∠AOB与∠MPN互补，可得∠MPN=∠CPD,即可得∠MPC=∠DPN，即可判定△CMP≌△NDP，所以PM=PN，（1）正确；由△CMP≌△NDP可得CM=CN，所以OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON的面积等于四边形PCOD的面积，（3）正确；连结CD，因PC=PD，PM=PN，∠MPN=∠CPD，PM>PC，可得CD≠MN，所以（4）错误，故选B.7、B【解析】

熟记反证法的步骤，直接选择即可【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”的过程中，第一步应是假设∠B=∠C．故选：B【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8、C【解析】

先利用正比例函数解析式确定A点坐标，再利用函数图象找出直线y=kx+b在x轴上方且在直线y=1x上方所对应的自变量的范围即可．【详解】当y=1时，1x=1，解得x=1，则A（1，1），

当x＜1时，kx+b＞0；

当x≥1时，kx+b≤1x，

所以不等式组的解集为1≤x＜1．

故选：C．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9、D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．10、A【解析】

连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．【详解】连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD=45°，FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，∴∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△ACF中，AF=，∵H是AF的中点，∴CH=AF=．故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理．二、填空题(每小题3分,共24分)11、16【解析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，又由OM⊥AC，可得AM=CM，然后由△CDM的周长为8，求得平行四边形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长为8，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.故答案为:16.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质.12、x>1【解析】

求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可.【详解】∵解不等式x-1≥0得：x≥1，

解不等式4-1x＜0得：x＞1，

∴不等式组的解集为x＞1，

故答案是：x＞1．【点睛】考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．13、（32，48）【解析】

先计算出2018是第1009个数，然后判断第1009个数在第几组，进一步判断是这一组的第几个数即可．【详解】解：2018是第1009个数，设2018在第n组，则1+3+5+7+（2n﹣1）＝×2n×n＝n2，当n＝31时，n2＝961，当n＝32时，n2＝1024，故第1009个数在第32组，第32组第一个数是961×2+2＝1924，则2018是第+1＝48个数，故A2018＝（32，48）．故答案为：（32，48）．【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是关键．14、①③④【解析】

根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y1=20x﹣200（40≤x≤60），y2=100x﹣4000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟，此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确，综上可得①③④正确.15、x（x﹣1）=1【解析】

利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x-1）解决问题即可．【详解】由题意列方程得，x（x-1）=1．故答案为：x（x-1）=1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键.16、3cm.【解析】

根据平移的性质，对应点间的距离等于平移距离求出AD、BE，然后求解即可．【详解】∵将△ABC向右平移到△DEF位置，∴BE＝AD，又∵AE＝8cm，BD＝2cm，∴AD＝cm．∴△ABC移动的距离是3cm，故答案为：3cm.【点睛】本题考查了平移的性质，熟记对应点间的距离等于平移距离是解题的关键．17、y＝10－0.2x0≤x≤50【解析】

根据点燃后蜡烛的长度＝蜡烛原长－燃烧掉的长度可列出函数关系式；根据0≤y≤10可求出自变量的取值范围.【详解】解：由题意得：y＝10－0.2x，∵0≤y≤10，∴0≤10－0.2x≤10，解得：0≤x≤50，∴自变量x的取值范围是：0≤x≤50，故答案为：y＝10－0.2x；0≤x≤50.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一次函数，正确得出变量之间的关系是解题的关键.18、4【解析】

解:解不等式2x+1＞3可得x＞1，解不等式a-x＞1，可得x＜a-1，然后根据不等式组的解集为1＜x＜3，可知a-1=3，解得a=4.故答案为4.【点睛】此题主要考查了不等式组的解，解题关键是根据不等式组的解集和求出不等式的解集的特点，求解即可.三、解答题(共66分)19、21【解析】

（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出的边长边上的高为，进而求出与间的距离为，再判断出最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.【详解】（1）∵DE是△ABC的中位线，∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，∴补全图形如图1所示，（2）∵△ABC的面积是41，BC=1，∴点A到BC的距离为12，∵DE是△ABC的中位线，∴平行线DE与BC间的距离为6，由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=110°，∴点H''，A，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF，∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=110°，∴点F，E，F'在同一条直线上，同理：点F，D，F''在同一条直线上，即：点F'，F''在直线DE上，由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，∴F'F''=2DE=BC=H'H''，∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，即：FH⊥BC，∴FH=6，∴周长的最小值为16+2×6=21，故答案为21．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形是平行四边形是解本题的关键.20、（1）233；（2）见解析；（3）y＝4+x22（0【解析】

（1）根据勾股定理计算AE的长；（2）证明△FHG≌△DAE即可解决问题；（3）由（1）可知DE=FG，所以△DGF的底与高可以利用勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来.【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝90°，∵AD＝2，DE＝43∴AE＝DE2-AD2（2）证明：∵在正方形ABCD中，∠DAE＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴FH＝AB＝DA，∵DE⊥FG，∴∠G＝90°﹣∠ADE＝∠DEA，又∴∠DAE＝∠FHG＝90°，∴△FHG≌△DAE（AAS），∴DE＝GF．（3）∵△FHG≌△DAE∴FG＝DE＝AD2+A∵S△DGF＝12FG•DE∴y＝4+x∴解析式为：y＝4+x22（0＜x【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会证明全等三角形解决问题.21、（1）图略；（2）图略，点B″的坐标为（0，﹣6）；（3）点D坐标为（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）．【解析】

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；

（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．【详解】解：（1）如图所示△A′B′C′即为所求；

（2）如图所示，△A''B''（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）．

当以BC为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；

当以AB为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；

当以AC为对角线时，点D1坐标为（3，3）．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22、（1）见解析；（2）53°;(3)【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）只要证明△CPQ∽△APC，可得∠PQC=∠ACP即可解决问题．（3）连接AF．与Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，证明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy-y2=0，解得x=y或（舍弃），由此即可解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=90°，∵BQ⊥AP，∴∠BQP=∠ABP=90°，∵∠BPQ=∠APB，∴△ABP∽△BQP．（2）解：∵△ABP∽△BQP，∴∴PB2=PQ•PA，∵PB=PC，∴PC2=PQ•PA，∴∵∠CPQ=∠APC，∴△CPQ∽△APC，∴∠PQC=∠ACP，∵∠BAC=37°，∴∠ACB=90°-37°=53°，∴∠CQP=53°．（3）解：连接AF．∵∠D=∠AQF=90°，AF=AF，AD=AQ，∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），∴DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，∵∠BCF=∠CQB=∠CQF=90°，∴∠BCQ+∠FCQ=90°，∠CBQ=90°，∴∠FCQ=∠CBQ，∴△BCQ∽△CFQ，∴，∴∴，∵CF∥AB，∴，∴∴∴x2+xy-y2=0，∴x=y或（舍弃），∴∴.故答案为：.【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．23、x2=-3，x2=-2【解析】

利用因式分解法解方程．【详解】解：（x+3）（x+2）=2，x+3=2或x+2=2，所以x2=-3，x2=-2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．24、3【解析】试题分析：利用平方差公式展开和二次根式的乘除法则运算；然后合并即可．试题解析：原式=7-5+3-2=2+1=3.25、见解析【解析