黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

哈九中2024届高三学年上学期开学考试数学试题

(考试时间：120分钟满分：150分)

I卷

一、单选题:本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1,设全集U=R,集合M=∙⅛>T},N={+2<x<3},则∙⅛≤-2}=()

A.e(MN)B,d(MN)

C.M@N)D.N(⅛M)

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.

【详解】由题意可得MCN={H-l<x<3},MuN={V-2<x},

M={x∣x<T},tyN={x∣x<-2或χ≥3},

对于A,Q∕(Λ/N)={x∣x<-1或x≥3},故A错误，

对于B,4(M∣N)={x∣x≤-2},故B正确，

对于C,MC(Q∕N)={x∣x≥3},故C错误，

对于D,NU(QM)={x∣x<3},故D错误,

故选：B

2.已知正实数机，〃满足加+〃=1,则J£+〃的最大值是()

A.2B.√2C.也D.ɪ

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式(审］≤求解即可.

【详解】由于疔-乙亘=一色心I<0n色吆丫<且包，

22422

所以]亚也≤S=1,

I2J2

即J∕+6≤J5,当且仅当m=〃=g时等号成立.

故选:B.

3.若P：实数。使得“办,eR,X+2/+α=0”为真命题，<7：实数α使得“∀xe[l,+8),/一“〉。，，为真

命题，则P是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出P和q,进而根据充分条件和必要条件的定义

判断即可求解.

【详解】对于。:叫eR,ɪɑ+2x0+α=0,

所以A=4-4α'0,即α≤l.

2

对于4：VX∈[l,+∞),χ-a>0,

因为函数y=∕-α在[1,+8)上单调递增，

所以当X=I时，(x2-6f)=∖-a

∖/ɪnɪn9

则1—α>0,即a<1.

所以"是g的必要不充分条件.

故选：B.

yy

【答案】D

【解析】

[分析】利用y=sinx∙In为奇函数排除A,B；利用XW(0,兀)时，y=SinA-In>(),排除C,

JrX

从而可求解.

2ɔ

【详解】因为y=/(力=51院」11与土定义域为{乂为彳0},

(T>:2=_sinx,In=-/(x),

对于AB,/(-x)=sin(-x)∙ln

(-X)2X2V)

所以y=sinx∙lMn±+F2为奇函数，函数图象关于原点对称，故A,B都不正确;

X

2-ɔɔ2.ɔ

对于C,XW(O,兀)时，si∏Λ>0,^4^=l+4>l>所以In3^>0,

XXX

χ2+2

所以y=siarIn——ʒ—>(),故C不正确；

x~

2.ɔ

对于D,符合函数图象关于原点对称，也符合XW(O,兀)时，y=sinx∙lnW4>O,故D正确.

X

故选：D.

a

ɪ-∣-----3ɪ≥4

5.若函数/(x)TX'一，在R上单调递增，则实数”的取值范围是()

αv^3,x<4

A.0B.C.(1,2)D.(1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】首先，对勾函数/(x)=x+q-3,和/(x)=α∙i都是递增函数，当》=4时，对勾函数取值要大

X

于或等于指数式的值，再求交集即可实数4的取值范围.

【详解】当x<4时，函数/(x)=αAT单调递增

所以α>l

当χ≥4时，〃x)=x+7—3,是单调递增函数，

所以JZ≤4,所以0<α<16

当x=4时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，

所以。<4+3—3,

4

4

解之得：6Z≤-,

3

综上所述：实数”的取值范围是Q,g

故选：B

γ∙if)-4-/7

6.设函数/(x)=Ig亡，若/(a)+/®=。，则与J的最小值为()

A.4+2√3B.4+2√2

C.l+4√2D.2+4√3

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数/O)的定义域，根据给定等式求出的关系，再利用“1”的妙用求解作答.

YX

【详解】函数/(X)=Ig;一中，——>0,解得O<x<l,由/(a)+/(力)=0，得。,人∈(0,l),

I-X1-

Lτ/。人、CEab

且Ig(I----；^^T)=°，则:；-----；~7=1,整理得

1—cii—b1—a\—b

E”3b+α,、/3l,3baC—∙--4+2^,当且仅当过=0,即a=√⅛取等

因此-----=①z+/7)(—+-)x=4+—+—≥4λ+2.

ababababab

号,

由α=∖βb且=得。=~~-^∙,b—--

22

所以当a=*'"=铝时’絮取得最小值4+2"

故选：A

7.已知/(χ)是定义在R上的偶函数且在［(),+8)上为减函数，若α=/log,3,⅛=∕(θ.9"),

I2√

c=∕(0.912),则()

A.c>b>aB.h>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的定义及对数的运算，利用指数对数函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】因为/(X)是偶函数，

所以α=/IogI3)=/(-log?3)=F(IOg23),

由Iog23>Iog22=1,

由指数函数的性质知，函数y=0.9*在R上单调递减，且L1<L2,

所以l>0.9">0.9'2>0，

所以log23>l>0.9">0.9∣∙2>0,

因为/(χ)在［0,+8)上为减函数，

12

所以/(Iog23)</(0.9")<f(0.9),即〃<b<C.

故选：A.

8.定义m⅛{x,y}表示两个数X,5'中的较小者，max{x,y}表示两个数羽)中的较大者，设集合

M={1,2,3,4,5,6,7,8},S∣,S2,∙,S*都是〃的含有两个元素的子集，且满足：对任意的

E={q,4},Sj={%也}（，。〃,je{l,2,3,…用）都有，min<2,幺>∙max<2，与4=1，则%的最大

IbJ%」

5cii

值是

A2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集有C；=28个,

其中，｛1,2｝、｛2,4｝、｛3,6｝>｛4,8｝可以任选两个;

｛1,3｝、｛2,6｝符合题意;

[2,3｝、｛4,6｝符合题意;

｛3,4｝、｛6,8｝符合题意;

%b匕>=1的任意的S,={α,∙闻,S,={%也∙}(i≠j,i,j∈{1,2,3,,左})最

即满足mini>∙maxʌ

b；aj.

多有4个,

故％的最大值是4,

应选：C.

二、多选题:本题共4个小题，每小题5分，共2()分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得5分，有选错的得O分，部分选对的得2分.

9.下列结论正确的是()

A.“x>1”是“国>1”的充分不必要条件

B√1a∈PcQ”是"aeP"的必要不充分条件

C."∀x∈R,有d+χ+ι≥o”的否定是“使V+x+ivo”

D."χ=l是方程以2+bχ+c=0的实数根，，的充要条件是“。+〃+。=0，，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；

将1代入方程求解判断D.

【详解】对于A,因凶>1,所以x>l或％<-1,所以“当x>l”时，“忖>1”成立，反之不成立，

故“X>1”是“W>1”的充分不必要条件,正确;

对于B,"a∈PcQ"一定有eP”成立，反之不成立，

故"a∈PcQ”是"aeP"的充分不必要条件，错误；

对于C,命题“VxeR,有f+x+iNO”是全称量词命题，

其否定是存在量词命题，即“玉eR,使f+χ+ι<(r,正确；

对于D,当a+h+c=O时，1为方程ax?+bχ+c=O的一个根，故充分;

当方程ax?+bx+c=O有一个根为1时，代入得α+b+c=O,故必要，正确；

故选：ACD

10.下列各式正确的是()

A.设α>0,α。1则〃2.iΓ~2_I

Cl"≡"VC<一Cl

B.已知3α+∕j=l,则包工=3

3«

1n+

C.若Iogfl2=/”，log“5=∕ι,则a'"=20

11C

D--------+-------->2

Iog49Iog53

【答案】BCD

【解析】

［分析］由基指数的运算可判断AB.由对数的运算性质以及换底公式可判断CD.

224

【详解】对于A,以町=02~=上=板,故A错误,

Oit/ɔbo4aqb

对于B,^~=^-Z-=2>3a+b=3,故B正确，

3〃3"

对于C,由log,,2=m,log“5=〃得2m+〃=21og“2+lOg„5=k>g04+log.5=log.20,所以

a2,,,+n=20(故C正确，

对于D,—ɪ-+-ɪr=Iog94+log35=Iog32+log,5=Iog310>Iog39=2,故D正确，

Iog49Iog53

故选：BCD

11.设函数/(x)的定义域为R∕(3无+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe［l,2］时，

/(x)=α+log2%∙则下列结论正确的是()

A./(1)=1B./(7)=0

2023100

C.X/伏)=1D.ZV(A)=-IOO

A=Ik≈∖

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数/(X)的奇偶性和题设条件，推得/(X)是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质，利

用赋值法，逐项判定，即可求解.

【详解】因为/(3x+l)为奇函数，所以/(一3x+l)=—/(3x+l),即函数/(x)关于(1,0)对称,

即/(1一X)=-/(1+X),即/(—x)=_/(2+x),

又因为/(x+2)为偶函数，所以/(τ+2)=∕(x+2),即函数/(x)关于x=2对称，

则/(一x)=∕(4+x),所以〃T)=F(4+x)=-F(x+2),即/(χ+2)=-∕(x),

所以/(4+χ)=-/0+2)=/(X),所以F(X)是周期为4的周期函数，

令X=O,由"1-X)=-/(l+x),可得〃1)=V(1),可得〃1)=0,所以A错误；

因为xe[l,2]时，/(x)=α+log2x,所以〃l)=α+0=0,可得α=0,

即当xe[l,2]时，"x)=log2》,则"7)=f⑶=f(l+2)=-〃1)=0,所以B正确;

因为/(l)=0,/(2)=log22=l,/(3)=0,/(4)=-/(2)=-1,

所以一个周期内的和为/⑴+/(2)+〃3)+〃4)=0+1+0—1=0,

2023

则Zf伏)=504x"⑴+〃2)+/⑶+f(4)]+∕(l)+"2)+"3)=l,所以C正确；

k=∖

100

由ZV(A)=2"2)+4∕⑷+646)++98/(98)+100/(100)

Λ=l

=2-4+6-8++98-100=(2-4)+(6-8)++(98-100)=-2×25=50,

所以D错误;

故选：BC.

3

12.若a=tan0.03,/?=In1.03,c=----,则()

103

A.a<bB.a>bC.c>aD.b>c

【答案】BD

【解析】

Y

【分析】记/(x)=tanx-x,xe∣0,g),,g(x)=lnx-x+1,Λ(x)=ln(l+ʌ)-际利用导数判断函

100

3

数的单调性，从而可得tan0.03>0.03,lnl.03<0.03,lnl.03-->0,由此能判断。，b,C的大小关系.

(八π，则f'(χ]=坐二〉0,所以/(x)在10,外单调递增,

【详解】记/(X)=ta∏Λ-x,x∈0,—

I2

COSXV2Z

故/(0.03)>/(O)=Ontan0.03>0.03,

记g(x)=lnx—x+1,则g'(χ)=一—1,

X

令g’(x)<0,解得X〉l,故g(χ)在(l,+∞)上单调递减,

故g(l.03)<^(l)=0,g[Jlnl.O3-l.O3+l<0,BlnnI.03<0.03<tan0.03，

故4>b,

YX

记〃(X)=In(1+——)-------

IOO100+x

7“、111OO+%-XX

hIyi—_________X______________________=_____________

贝IJ-∣,XIOO(IOO+x)2-(100+x)2，

1十---

IOO

故当九∈(0,+∞)时，h,(x)>O,故〃(X)在(0,+∞)上是增函数,

3

故刈3)>/?(0),即Inl.03-忘>0,故b>c,

故0>6>c,

故选：BD

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式大小问题：

I.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

∏卷

三、填空题:本题共有4个小题，每小题5分，共20分..

13.已知幕函数f(x)="-2加-2日满足/(2)</⑶，则机=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据幕函数的定义和单调性进行求解即可.

【详解】因为函数〃2=(>-2"-2)/'为寻函数,

则加-2，"一2=1,解得〃？=3或，"=T,

又因为/(2)<∕(3),所以机=3,

故答案为：3.

14.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依

据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所

示，C为线段AB上的点，且AC=a,5C=b,O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点。作AB的垂

线交半圆于。，连结OD,4。,3。，过点C作。。的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完

成的所有无字证明为.(填写序号)

①?≥疝(a>0,b>0);②/+/≥2ab(a>0,b>0);

0≥jgθQo)④JZIE>叫>0Q0)

a+b'22

【答案】①@

【解析】

【分析】先明确竺2,而的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例

2

式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于/+/在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项.

【详解】由题意可知AB=α+匕,OA=OB=。。=—,

2

CDAC

由Rt二ACz)SRtDCB可知一~=——，即CD2=AC∙BC-cιb，

BCCD

所以CD=J^；在RtAOCD中，OD>CD,即@!^>疝3>0,匕>0)

当时，C点重合，a=b,此时把2=疯(a>0,0>0),所以①正确;

2

在RtAOCD中，Rt_DECSRtDCO可得诂=*即CD?=DE∙OD，

CLCD2ab2ab

[)卜',----------,-----2----

所以—0。—。+人—a+力—1,1，

ah

Γ~Γ]

由于cr>>θE,所以>11,

—+—

ab

1

当α=b时，Cr)=DE,此时ɪ1,所以③正确；

—I—

ab

由于"+〃在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，

故答案为：①③.

15.己知函数/(X)=2022'^3+(X-3)3-20223-jt+2x,则不等式/任—4)+/(2—2x)≤12的解集为

【答案】[—2,4]

【解析】

【分析】令g(x)=2022'-2O227+X3+2X,分析函数g(x)的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式

变形为g(Y-7)≤g(2x+l),结合函数g(x)的单调性可得出关于X的不等式，解之即可.

【详解】设g(x)=2022'-2022^Λ+√+2x,则函数g(x)定义域为R,

因为g(_力=2022T-2022x+(-x)3—2X=-(20221—2022-x+x3+2x)=-g(x),

故函数g(x)为奇函数，

因为函数y=2022，y=-2022T'y=V、y=2x均为R上的增函数，

故函数g(x)为R上的增函数，

因为/(χ)=2022——20223-，+(X-3Y+2(x-3)+6=g(x-3)+6,

由/(V一4)+/(2-2x)≤12∏T⅛g(Λ2-4-3)+g(2-2x-3)+12≤12,

可得g(d-7)≤-g(-l-2x)=g(2x+l),

所以，X2-7≤2%+1,即f-2χ-8≤0,解得一2≤尤≤4.

因此，不等式/任一4)+/(2-2力412的解集为[-2,4].

故答案为：[-2,4].

16.已知a>0,b>0,c>0,Z?log42+4clog16V∑=，则"-2.+最小值为.

2be«+1

【答案】IO

【解析】

C2+2

【分析】根据给定的等式求出仇C的关系式，再求出的最小值，然后利用均值不等式求解作答.

he

【详解】依题意，⅛log,2+4clog.,即+'C=逅∙，则/?+0=灰，又8>(),c>0,

/%2222

2,O十C∖2ΓT

2

因此c?+2C+√34C2+b2+2bc2√4C¼+Ibc.，当且仅当b=2c=效■时取等号,

bebe3bc3bc

又α>0,

Hac~+2a18萨.〃+念≥2α+息=2(α+l)+急-222拙+1).焉一2=10,

从π而-------+----

be67+1

18

当且仅当2(α+l)=即α=2时取等号,

A+l

所以当"如半,C=半时’竺B+总取得最小值I。

故答案为：10

四、解答题:本题共有6个小题，共70分.

17.设函数/(x)=x2+ax+b(‹a,beR),集合

4={x∣x=/(X),x∈R},B={x∣X=/[/(X)],x∈Rj

(1)证明:AUB.

(2)当A={-l,3}时，求8.

【答案】(1)证明见解析；

(2)β={-√3,-l,√3,3).

【解析】

【分析】(1)按A=0与A70分类讨论，结合集合包含关系的定义推理作答.

(2)根据给定条件，结合韦达定理求出4,6,再代入解方程作答.

【小问1详解】

当A=0时，方程/(x)=X无实根，即χ2+(α-i)χ+z,=o无实根，A=(α-1>一4b<0,

此时/(x)-x>0恒成立,又方程/"(x)]=x,即"(X)F+叭χ)+b=χ,

[/(x)l2+3—1)/(%)+b=x-f∖x),显然[/(x)]2+(a-1)/(x)+⅛>0,≡Λ-∕U)<0,

因此方程/"(x)]=X无实根，8=0,则A=8,

当A40时，任取XOWA,则Xo=∕O⅛),于是/(/(Xo))=∕(∙⅞)=∙⅞,即有XoeB，因此AU8,

所以A=Bo

【小问2详解】

-l+3=-(π-l)

由4={-1,3},得一1,3是方程/+(。一1)%+6=0的二根,由<-1×3→'解得

于是/(x)=χ2_*_3,方程∕T∕(x)]=X,即(X2_》_3)2_(*2_*_3)_3=X,

22

整理得(%-X-3)(X—3)=O>解得N=-l,x2=3,X3=-∖∣3,X4=百，

所以B={-G,-l,6,3}∙

18.在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，

于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.

某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产X千件，需另投入成本C(X)(万

元).经计算，若年产量于件低于100千件，则这X千件产品的成本C(X)=gV+iOx+uoo；若年产量X

千件不低于100千件时,则这X千件产品的成本C(X)=I20x+?!黑-5400.每千件产品售价为100万元，

为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.

(1)写出年利润L(X)(万元)关于年产量X(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

1,

——X2+90X-3100,0<X<100

2

【答案】(1)M尤)=<

—20X-+3400,x≥100

x-90

(2)最大值为IOOO万元，此时年产量为105千件

【解析】

【分析】(1)分0<x<100与x2100两种情况，求出函数解析式；

(2)在(1)基础上，结合函数单调性与基本不等式求出分段函数的最大值.

【小问1详解】

当0<x<100时

∣x2+10%+1100j-2000=-∣1√+90x-3100,

L(X)-1OOx-

2

当x≥IOO时，

L(X)=IooX-1120x+-5400|-2000=-20X-+3400,

,)Ix-90)x-90

12

—X+90X—3100,0<X<1OO

ΛL(χ}=∙2.

,,4500

-20x---------+3400,X>100

Ix-90

【小问2详解】

当0<x<100时

22

L(Λ)=-1Λ+90X-3100=-∣(X-90)+950,

无=90时，L(X)取得最大值，最大值950,

当x≥100时，

4500「225'

L(χ}=-2Qx--------+3400=-20(Λ-90)+——+1600

`jx-90Lx-9θj

I225

≤—20x2J(X—90)--------+1600-1000

Γ'尤-90

225

当且仅当X—90=-------,即X=IO5时取等号，

x-90

因为Iooo>950,所以L(X)的最大值为IooO万元，此时年产量为105千件.

19.已知的定义域为R,对任意x,y∈R都有〃x+y)=∕(x)+∕(y)-l,当χ>0时,

/(x)<l,∕(l)=0

⑴求/(O)J(T);

(2)证明:/(x)在R上是减函数；

(3)解不等式：/(2/一3%一2)+2/(力>4.

【答案】(1)/(0)=1,/(-1)=2

(2)证明见解析⑶

【解析】

【分析】(1)由/(χ+y)=/(X)+/(力―1,取特殊值即可求解;

(2)由题构造/(χ+y)-f(x)=f(y)-1,结合题意可证明单调性；

(3)根据单调性解抽象不等式即可.

【小问1详解】

根据/(χ+根=f(χ)+/(y)-l,

令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0)-1,解得/(0)=1,

再令X=Ly=—1,则有/(O)=/(1)+/(-1)—1,解得—.

【小问2详解】

设x+y=x∣,x=X2,Xι>X2<则y=F_%>°，

所以Fa)=/(/)+/(>)-1，即/(芯)一/(々)=/3)-1，

因为y>0,所以/(y)<l,所以/(再)一/(马)<0，

即VX],々GR,%>孙都有了(否)<f(∙x2)，

所以F(X)在R上单调递减.

【小问3详解】

由题可知f(χ)+∕(y)=∕(χ+y)+l,

所以2∕(x)=∕(x)+/(X)=/(2x)+1,

所以由/(2X2-3X-2)+2∕(x)>4得/(2x2-3x-2)+/(2x)+1>4,

即f(2x~—3x—2+2x)+1+1>4,即/(2x^—ɪ—2)>2,

又因为/(-1)=2,所以/(2χ2-χ-2)>∕(-l),

由(2)知/(χ)在R上单调递减，所以2χ2-χ-2<-l，

即2f—Λ—1<0,B∣J(2x+1)(%—1)<0,解得—<X<1.

2

所以，解集为1-g,1∙

；；；：，设机(x)=min{∕(∣x-d),g(∣x-2d)}.

20.已知己(X)=X+1,g(x)=∕+2.定义min{α,b}=<

(1)若f=3,画出函数MX)的图象并直接写出函数加(X)的单调区间；

(2)定义区间A=(p,q)的长度MA)=q-p.若

B=AAA,(w∈N*),ʌ'Ay=0(l≤Z<j<n),则L(B)=WL(4).设关于X的不等式

Z=I

加(X)</的解集为。.是否存在实数f,且1W3,使得L(O)=6?若存在，求出/的值；若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)图象见解析，递减区间是(-8,3],(5,6],递增区间是(3,5],(6,+8)；

(2)存在，t=3.

【解析】

【分析】(1)把r=3代入，求出机W,再画出函数m(χ)的图象，求出单调区间作答.

(2)对r按l<f≤2,2<r≤3进行分类讨论即可求解作答.

【小问1详解】

当f=3时,/(∣X-3∣)=∣X-3∣+1,^(∣X-6∣)=(X-6)2+2,

当无≤3时，(x-6)2+2-[∣X-3∣+1[=∙T2-IIX+34,函数y=/一IIX+34在(-8,3]上递减，

而x=3时，y=10>0,因此当x≤3时，/(∣Λ-3∣)<G(∣X-6∣),

当x>3时，(x—6)2+2-[∣x-3∣+l[=χ2-13X+40=(X-5)(x—8),

则当3<龙≤5或x≥8时∙，/(∣Λ-3∣)≤g(∣x-6∣),当5<无<8时，/(∣x-3∣)>g(∣x—6|),

∣x-3∣÷l,x∈(-∞,5]u[8,+<χ>)

于是m(X)=V函数加(X)的图象，如图,

(Λ-6)2+2,X∈(5,8)

观察图象知，函数皿X)的递减区间是(—8,3],(5,6],递增区间是(3,5],(6,+8).

【小问2详解】

因为函数AX)的最小值为1,函数g(x)的最小值为2,

函数"W的图象是函数/(X)和函数g(x)的图象左右平移后，再取下方图形而得，

因此函数见χ)的最小值为1,若不等式机(x)<f有解，则必有r>ι,又函数g(χ)的最小值为2,

则当1<∕≤2时，m(x)=/(Ix-t|)Hx-tI+1<r,ap∣x-z∣<r-l,解得1<尤<2f-l,

于是Z)=(L2/-1),若L(Z))=6,则2"2=6,解得，=4,矛盾，

当2<∕<3时，不等式/(IXTl)的解集为(L2—1),

由g(k—即(x-2rp+2<f,解得Xe⑵--2,2f+-2),

于是不等式g(|x—2t∣)<r的解集为(2f-√T≡I,2f+J仁)，

又2∕-"≡5-(2r-1)=I-Jnz0,当且仅当/=3时取等号，

即有(l,2∕-l)c∣(2∕-√T≡^,2f+√Γ^)=0,因止匕L(Z))=2f-2+2√T≡^,

若L(D)=6,则2-2+2√Γ工=6,又2<t≤3,解得t=3,

所以存在实数/=3满足条件.

21.如图，在四棱锥尸一ABCQ中，平面243，平面ABe。，ABlBC,AD/∕BC,Ao=3,

PA=BC=2AB=2，PB=G.

(1)求证：BC±PB；

（2）若点E为棱Q4上不与端点重合的动点，且CE与平面∕¾6所成角正弦值为拽，求E点到平面

5

PCQ的距离.

【答案】（1）证明见解析

力3√30

20

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直证得线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值确定E点位置，再利用点到平面的距离公式求得结果.

【小问1详解】

平面RW_L平面ABC。，平面RWC平面ABCD=AB，BClAB,BCU平面ABCO，

BCI平面RW且尸BU平面Q48，故BCLP8,

小问2详解】

QAB中n2=Aβ2+依2,ΛPB±AB,

••・平面RW_L平面ABCQ,平面RWc平面ABCr）=AB，

.∙.PB±平面ABc£>,8C,BAu平面ABCD,PB±BC,PBBA.

以B为原点如图所示建立空间直角坐标系，

B(0,0,0),A(To,0),C(0,2,0),D(-l,3,0),P(θ,θ,√3),AP=(1,O,√3),

设AE=TIAP=(40,G/1),其中∕l∈[(M],则耳"1,0,62),

取平面PAB法向量功=(0,1,0),CE=(Λ-1,-2,√3Λ),

设CE与平面∕¾3所成角为。，

zɔT~ιɔ/ɔ

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