第二课时：正方形的判定课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形21.3.3第二课时：正方形的判定学习目标1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.重点：掌握正方形的判定和推导难点：运用正方形的判定进行计算和证明.复习导入正方形的性质有哪些？四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.轴对称图形，有四条对称轴.对边平行，四条边都相等ABCDO完善体系你是如何判断是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义定义对角线相等定义对角线垂直思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？正方形一组邻边相等对角线垂直有一角为直角对角线相等如何证明？？四个判定定理探究新知知识点1正方形的判定正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角，一组邻边相等，对角线相等对角线垂直平行四边形正方形菱形条件(二选一)+矩形条件(二选一)针对训练1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：

，使得四边形ABCD是正方形.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意ABCDO针对训练2.满足下列条件的四边形是不是正方形？（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（2）对角线互相垂直的矩形.（3）对角线相等的菱形.（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.4个都是正方形，满足正方形的判定条件.ABCDO针对训练3.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形。下列推理过程正确的是()A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②A探究新知知识点2中点四边形思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH典例解析题型1正方形的简单判定例1.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例解析题型2正方形的判定例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴∠ADB=∠CDB．典例解析题型2正方形的判定例2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°．又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．∴四边形MPND是正方形．典例解析题型3辅助线例3.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.ABCDEFG证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下：由旋转的性质可知，△AEB≅△AFD，∴∠AEB=∠AFD=90∘，AE=AF，∠DAF=∠EAB。∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90∘。∴∠FAE=∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠DAB=90∘。∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90∘。∴四边形AFHE是矩形。又∵AE=AF，∴矩形AFHE是正方形。针对训练4.如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H。(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH=7，BC=13，求DH的长。针对训练4.如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H。(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH=7，BC=13，求DH的长。

典例解析题型4对称特性例4.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.BACDOEHGF证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.针对训练5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，…∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；针对训练5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．归纳总结5种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直