湖北省武汉市首义中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

武汉市首义中学2023届九年级第一次月考数学试卷

一、单选题（共24分）

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

,1,

A.2x=7B.x+y=5C.x=—+1D.x2-2=x

x

2.抛物线丁=一3（%+1）2+1的顶点坐标为（）

C.（-3,l）D.（-3,-l）

3.用配方法解方程f-2x=2时，配方后正确的是（）

A.（x+l）-=3B.（x+1）­=6C.（x—1）一=3D.（x—1）-=6

4.一元二次方程》+1=0的根的情况是（）

A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

5.把抛物线y=-2/向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A.y=-2（x+1）2-3B.y=-2（x-l）2+3

C.y=-2（x+l）2+3D.y=-2（x-l）2-3

6.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业

额的月平均增长率为X.根据题意列方程正确的是（）

A.250（1+%）2=900B.250（1+=900

C.250（1+%）+250（1+x）2=900D.250+250（1+%）+250（1+=900

7.已知〃？、〃是一元二次方程X?+2x-5=00的两个根，则〃z?+/n〃+3〃z+”的值为（）

A.—1B.—2C.—3D.-5

8.如图1,在平行四边形ABCD中，点P沿A-3-C方向从点A移动到点C,设点P移动路程为x,线段

AP的长为y,图2是点P运动时y随x变化关系的图象，则BC的长为（）

图1图2

A.4.4B.4.8C.5D.6

二、填空题（共24分）

9.若抛物线y=（2—，〃）V+1的开口向上，则实数机的取值范围为.

10.若关于x的一元二次方程尤2—3x-左=0有一个根为1,则A的值为.

11.已知关于x的方程2/一女=。有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的左值______.

12.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为.

13.已知5（0,y2）,。（一1,%）为抛物线y=加+笈+。（0<2。<6）上的三点，那么,，y2>

治的大小关系是.

14.如图，抛物线丁=一/+法+。与y轴交于A点，与x轴交于8、。两点，5（-1,0）,C（3,0）,连接AC,

将线段AC向上平移落在EF处，且£尸恰好经过这个抛物线的顶点。，则四边形4CFE的周长为.

15.已知有理数,我们把」一称为。的差倒数，如：2的差倒数是一1—=1,一1的差倒数是」一=-二,

a-\2-1-1-12

如果m的差倒数正好是m,那么加4+二的值是.

m

16.二次函数卜=办2+云的大致图象如图所示，顶点坐标为（—2,—9a）,下列结论：

①彷c>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx+c=_i有两个根芯和%,且$<々，则一5<百<工2<1；

④M+ab+cc的最小值为—2.其中正确结论的是.

4

三、解答题(共72分)

17.先化简，再求值.

3(-2f+5+4x)-(5x-4-7巧，其中％=一2；

18.解方程：

(1)x2-2%-8=0

(2)X2—2x-5—0

19.已知y=(4+2)/4(是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大.

(1)求攵的值；

(2)如果点是此二次函数的图象上一点，若一那么”的取值范围为.

20.云梦鱼面是湖北地区的汉族传统名吃之一，主产于湖北省云梦县，并因此而得名，1915年，云梦鱼面在巴

拿马万国博览会参加特产比赛获优质银牌奖，产品畅销全国及国际市场.今年云梦县某鱼面厂在“农村淘宝网

店”上销售云梦鱼面，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4

月准备适当降价.据测算每袋鱼面每降价1元，销售量可增加20袋.

(1)每袋鱼面降价5元时，4月共获利多少元？

(2)当每袋鱼面降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让厂家获利2860元？

21.已知关于x的方程：x2+(m-2)x—/?i=0.

(1)求证：无论“取何实数，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设非0实数相，〃是方程的两根，试求的值.

22.如图，己知抛物线了=一/+机*+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点3的坐标为(5,0).

(1)求机的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴/上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.

23.九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1WXW70且x为整数)天的售价与销量的相

关信息如下表：

时间（天）1<%<4040<x<70

售价（元/件）x+4585

每天销量（件）150-2%

己知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1）求出）与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有几天每天销售利润不低于3250元?请直接写出结果.

24.如图，抛物线y=ox?+3ar+4与x轴交于A、B两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,且

5小8c=10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP-

（1）求抛物线的解析式；

AH

（2）如图1,过点P作尸轴于点。，若NBPD=2/BCO,求一的值;

BD

（3）如图2,设6P与AC的交点为Q,连接PC,是否存在点P,使=SABC0?若存在，求出点P的

答案

一、单选题

1-8DBCCDDBC

二、填空题

9./w<210.-211.1（答案不唯一）12.11

13.为<为<必14.4+6正15.716.②③④

三、解答题

17.4-7x4-19；9

18.(1)x]=—2,x2=4

(2)为=1+V6,x2—l—V6

19.【小问1详解】

k2+k-4=2

解：由y=(Z+2)/+i是二次函数，且当％<OH寸，y随x的增大而增大，得<

女+2<0

解得：上=一3；

【小问2详解】

解：由(1)得二次函数的解析式为y=-》2,

如图所示：

当彳=-2时，y=-(-2)'=-4,

当x=l时，y=—I2=—1,

.•.当一2〈％<1时，-4<y«0,

故答案为：—4<y<0.

20.【小问1详解】

解：根据题意得：(30—5—16)(200+20x5)=2700元,

答：每袋鱼面降价5元时，4月共获利2700元；

【小问2详解】

解：设每袋鱼面降价x元，根据题意得：

(30—x-16)(200+20%)=2860,

整理得：4》+3=0,

解得：X]=1,々=3，

因为能尽可能让利于顾客,

所以x=3,

答：每袋鱼面降价3元.

21.【小问1详解】

证明：A=（m—2）2+4加=m2+4

无论"2取何实数时，总有利2+4>0.

・・・方程总有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

把尤=加代入方程，得加2+（加一2）%2—m=0.

即2m2=3m.

3

:W0,:・m=—.

2

由根与系数的关系，mn--m.

n=—\.

5

..m—ii.——.

2

22.【小问1详解】

将点（5,0）代入y=-/+加v+5得，0=-25+5加+5,m=4.

/.抛物线解析式为y=-炉+4x+5

y=—f+4x+5=—（x—2）-+9,

.••抛物线的顶点坐标为（2,9）；

【小问2详解】

如下图，点A与点8是关于直线/成轴对称，根据其性质有，PA+PC=PC+PB,

当点。、点P、点5共线时，PC+P3=BC为最小值，即为PA+PC的最小值，

由抛物线解析式为y=-2+4x+5=—（x—2『+9,可得点C坐标为（0,5）,点5坐标为（5,0）,对称轴/为

x=2,

设直线BC的解释为y=kx+b,

0=5k+bk=—\

将点C（0,5）,点8（5,0）,代入丁=丘+人得，.，解得《

5=bb=5

直线BC的解析式为y=—x+5,联立方程,

y=-x+5x=2

，解得《

x=2y=3

：.当A4+PC的值最小时，点P的坐标为（2,3）.

23.【详解】解：⑴当lWx<40时，y=[(x+45)-30](150-2x),

整理得：y=-2x2+120x+2250；

当40Kx«70时，y=(85-30)(150-2x),

整理得：y=-110x+8250；

._J-2x2+120x+2250(1<x<40)

">-[-110x+8250(40<x<70)

(2)对于函数k-2炉+120%+2250,

整理可得：y=—2(x—30『+4050,

V-2<0,

.♦.当x=30时，y取得最大值，最大值为4050；

对于函数y=-110x+8250,

v-110<0,

二y随x的增大而减小，

v40<x<70,

.•.当x=40时，y取得最大值，最大值为3850,

V4050>3850,

.•.第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；

（3）当l«x<40时，由题意，一2%2+120%+2250=3250,

解得：x=10或x=50,

由（2）中，二次函数的性质可得：

当10Wx<40时，每天销售利润不低于3250元，共有30天；

当40KXW70时，由题意，一UOx+825023250,

解得：x<45—,

11

...当40WXW45时，每天销售利润不低于3250元，共有6天；

30+6=36(天)，.

共有36天每天销售利润不低于3250元.

24.【小问1详解】

把x=0代入y=ax2+3ax+4得y=4,

...点C坐标为(0,4),OC=4,

,/S*=10=；AB.OC=2AB,

:.AB-5,

•・,抛物线对称轴为直线X=--=—,

2a2

3535

・••点A的横坐标为------二-4,点8的横坐标为----1—=1,

2222

即点A坐标为(~4,0),点8坐标为(1,0),

把(1,0)代入y=ax~+3(zx+4得0=4a+4,

解得a=—1,

y=-x2-3x+4；

【小问2详解】

设BP交y轴于点E,

PD_Lx轴，

PD//OC,

ZBPD=ZBEO,

•••ZBPD=2ZBCO,

ZBEO=2NBCO,

：.NEBC=NECB,

EB=EC,

设OE=m,则C£=3E=4—

在心△BOE中，由勾股定理得BE?OB2+OE2,

1+m2=(4一/吟，

解得m=—,

8

.♦.点E坐标为

设直线BE解析式为夕=丘+),

将吟,(1,0)代入丁=,

,15

,15k----