实变函数测试题-参考答案

实变函数测试题1

1、设=(0//"),4“=(0,〃),"=0』,2…，求出集列｛AJ的上限集和下限集合。

解：limAn=(0,oo)；设X£(0,oo),那么存在N,使x<N,因此〃>N时，0<x<〃，即％£A2n,

"f00-

所以X属于下标比N大的一切偶指标集，从而X属于无限多A”，得xe而4又显然而4u(0,8),

H—>oon—>oo

所以limA„=(0,oo)„

n—>oo

皿=。；假设有xe皿1A“，那么存在A,使任意〃,N,有xeA「因此假设2〃—1>N时，

"f0000

xGA2n_i,即0<九〈工.令〃foo得0vx<0,此不可能，所以limA.=0。

〃71—>00

2、证明：/(%)为[a,句上连续函数的充分必要条件是对任意实数c,集石=卜，(%)之c｝和

4=｛,/(%)<。｝都是闭集。

证明：必要性：假设/(》)是[a,可上连续函数，由第二章习题8可知心和E是闭集。

充分性：假设4和E都是闭集。假设有七€口,可，/(x)在质点不连续。那么存在

£o>O,Xn^Xo,f(Xn)>f(Xo)+£o,或/(与)—%,不妨设出现第一种情况。令

c-f(x0)+£0,那么X"CE=£/(X)2C｝,而XO£E[因为/(工0)</(Xo)+£o=C),此与E是

闭集相矛盾。所以/(X)在[a,句上是连续的。证毕。

3、设EuR”是任意可测集，那么一定存在可测集Gj型集G,使得Gn石，且根(G—5)=0

100

3.由外侧度定义，对任意正整数〃，存在开集G〃=)E,使〃/(G“—E)<—,令6=0|3",那么G为

nn=l

Gj型集，GnE且777(G-E)<m(G„-E)<-,n=l,2---故根(G—石)=0。证毕。

n

4、设A,BuR",可测，且加假设机(人。6)=加*4+加6,那么A,3皆

可测。

4.证明：先证A可测：存在Gj型集GnB使得7〃G=M*3。令。=—GuA。

A<JB=[(A<JB)-G]<JG,m(AoB)<m[(AoB)-G]+mG=mQ+mG。因为

m(AoB)<oo,mG=mB<m(AoB)<+<x>,mQ>m(AoB)-mG=m*A+mB-mG=mA，即

mQ>mA，又QuA,所以mQ<mA，所以mQ=mA.mA<m(AoB)<+oo,所以

M*(A—Q)=0.A=(A—Q)uQ,因为。可测，A—Q可测，所以A可测。同理可证5可测。证毕。

5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。

5.鲁津定理：设“X)是E上a.e.有限的可测函数，那么对任意3>0,存在闭子集与uE,使/(x)

在心上是连续函数，且加(E\工)<5.

逆定理：设/(%)是E上的函数，对\/5>0,总存在闭子集E^uE,使得/(x)在号上是连续函数,

且皿E—然)<3,那么，/(x)是E上a.e.有限的可测函数。

1100

证明：对任意一，存在闭子集uE,使/(九)在E”上连续且机(E-纥)<—,令万。=E-\\En,

nnn=l

那么对任意〃，有mEQ=mE-\^E^<m^E-E^<—。令??—><»,得

oooo

mE0=O.E=(E-Eo)<jEo=(]jEn)^Eo=\jEn。对任意实数a,

n=ln=0

(00)

E[f>a]=E0[f>a]<J\jEn[f>a],由y(x)在纥上连续，可知E""〉a]可测，而

\n=l7

m(E0[f>a])<mE0=Q,所以E。[/>a]也可测，从而E[/〉司是可测的。因此/⑴是可测的。

oo

因为/(X)在纥上有限，故在U纥上有限，所以/(X)a.e.有限。证毕。

71=1

6、设/(x)是E上的可测函数，G为开集，尸为闭集，试问E[x]/(x)eG]与

E[x|/(x)eF]是否是可测集，为什么？

6.由那么开集G可写成直线上可列个开集的并集，即G=U(4，4)，

i

=16凶4=<白]),那么可知

ii

E[M/(x)eG]是可测集。

由(石口/⑴6月)。=石卜,(同右尸。],那么可知瓦炉(1)€司也是可测集。证毕。

7、设在Cantor集介上定义函数/(X)=0,而在弓的余集中长为口的构成区间上定义为〃

[〃=1,2,3,，),试证/(x)可积分，并求出积分值。

7.f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是”的余集中长为最的构成

°1oooo00Qn—1

区间之并，那么mEn=——，因此[o]]/(x)dx=XJE/(x*X=£nmE"==3,所以

/(x)可积，且积分值为3。证毕。

8、设｛力｝为E上非负可积函数列，假设:吧「力(x)公=0,那么力(%)=>0。

8.对任意。>0,由于，非负可知：

仍回力[2M力⑴人-JE力小.因此小即幻25.

I_^|>crl=lim—[fn(x)dx=0,即/(x)=>0.证毕。

ooLI」n—>ooQ-JE

9、设/(尤)是E上a.e.有限的可测函数，mE<+8。试证明对\/e>0,存在E上a.e.有界的可测函

数g(x),使得mE[\/-g|>0]<o

9.因为了⑴是E上的a.e.有限的可测函数，设£>=用/=8],mD=0,令耳=矶/>同故有

EinE2nE3n…。。心=lim4

k=lkT8

<8

所以]1口1血吗=加lim七=mD=0,故Ve>0,3^0,使得mE%

k—>coX:—>00

/(X)xeE—R

E八0

令g(x)=g(x)=jo故mE]/—g|>o]=EEK。<£证毕。

X€EKQ

10、求证

00

■111

(2+”)2(/?>-!)»

10.由于当

100181

九|<1时,'=»>〃,故在(0,1)上融l=，>〃+〃111工而当了£(0,1)时，xP+〃ln>0,所以

1—X〃=1—X〃=1X

「1X'1,三「1p11J:1(1

In一公二〉xnp+\n—dx->----------=>--------

J°l-x--X占J。X占(p+〃+l)2---&(p+“)2

证毕。

实变函数测试题2

0000

1、证明则A“=U「4。

msn=\m=n

证明：设那么mV,使一切〃〉N,xeAn,所以xeQAm<z|JQAm,

n->0°m=n+ln=lm=n

0000000000

那么可知地AuUn4。设xeUP|4,那么有〃，使xe「|4,所以

"f8〃=1m-nn—1m—nm-n

0000

xelima.。因此lim4=UPlAn。

H—>ooH—>oo"=1m—n.

2、设与^(羽丁犷+产d}。求E2在女内的耳，云，瓦。

2

解:E；={(x,y),2+/41},E2={(x,y)|x+/<1},

石2={(x,y)N+V<"。

3、假设EuR",对Ve>0,存在开集G,使得EuG且满足m*(G—E…,

证明E是可测集。

证明：对任何正整数“，由条件存在开集G,z)E,使得m*(G-£)<:。

001

々G=「|G"，那么G是可测集，又因机*(G—E)W/n*(G“—石)<一，

〃=1〃

对一切正整数〃成立，因而“(G-E)=0,即加=6-E是一零测度集，故可测。由

E=G-(G-E)知E可测。证毕。

4、试构造一个闭的疏朗的集合Eu[0,l],加石=」。

2

I57

解：在[0,1]中去掉一个长度为2的开区间(二,二)，接下来在剩下的两个闭区间

61212

分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第九次时，

63

一共去掉2"T个各自长度为，X击的开区间，剩下的2'个闭区间，如此重复

下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的局部的测度为

11212"一1

—+—X—++—X——-+=—。

66363〃T2

所以最后所得集合的测度为mE=1--=-,即机E=!。

222

5、设在E上力(％)=>/(%),且力(%)W力+K%)几乎处处成立,“=1,2,3,…，那么有

{X,(x)}a.e.收敛于/(%)。

证明因为力(x)n/(x),那么存在《｝0力｝,使/，(％)在E上a.e.收敛到了(X)。设E。是

力,(x)不收敛到/'(x)的点集。En^E[fn>fn+1],那么加综=0,〃包=0。因此

000000

凤E“)W\〃也,=0。在E-!E“上，力,(%)收敛到;■(%),且力(x)是单调的。因此力(x)

n=0n=0n=\

收敛到了(X)(单调序列的子列收敛，那么序列本身收敛到同一极限〕。

00

即除去一个零集U纥外，力(X)收敛于/O)，就是力(X)a.e.收敛到了(X)。

n=\

6、设Eu*,/(x)是E上ae有限的可测函数。证明存在定义于*上的一列

连续函数｛g“(x)｝,使得limgn(x)=/(x)a.e.于E。

证明：因为/(x)在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数”，存在E的可测子

集E,,,使得m(E—E")<L,同时存在定义在K上的连续函数g〃(x),使得当

n

xe时有g“(x)=/(x)。所以对任意的〃>0,成立到了-8/之用匚石-纥，

由止匕可得加4加(£_纥)<:。

因此lim〃闾/-g“|2〃]=0,即g〃(x)n/(x),由黎斯定理存在｛&(%)｝的子列

811

葭(%)｝,使得

Jimgnk(x)=f(x)a.e于E.证毕。

7、设加E<oo,｛力｝为a.e有限可测函数列，证明：

的充要条件是力(x)=0。

证明：假设〃x)nO,由于uE]㈤2句，那么=

又0«耳雪<1,伉=1,2,3…)，相£<8,常函数1在石上可积分，由

]+|力(刈

反之，假设fQ.0而且l，（x）LnO,对Vb>0,

JE1+£（X）|1+|/„W|

令e“=E[\fn\之b],由于函数>=忘，当了>—1时是严格增加函数，

CFf|fWW|,<f|fWW|,n

J

因此1+bM+|/W(x)|3+£(刈。

所以扁目/"。]：。，即力(x)=0。

n

.1

sin—

8、设/'ax—O<%<1,讨论a为何值时，/(x)为[0,1]上L可积函数

xa

或不可积函数。

解当时，

因此当时，/(x)是L不可积。

当々<1时，在[0,1]中工可积，且满足

xa

sin—

_____x

xa*向

所以/(x)是L可积。

9、设mE<oo,a.e.有限的可测函数列力(x)和g“(x),"=1,2,3,…，分别依

测度收敛于/(%)和g(%),证明Z>(x)+g=(x)n/(x)+g(x)。

证明：因为。(x)+gn(x)-f(x)-g(x)\<\fn(x)-f(x)\+\gn⑴—g(x)|

于是V3>0,成立

即(力+5)—(/+g)但/uE[\fn-f\>^][E[\g.—g巨；],

所以

即§„+/„=>g+f

10^试从二---=（1-%）+（%~一/）_|—,0<%<1,求证

1+x

,^111

ln2=1----1-------F

234°

证明：在xe[0,l]时，xn-xn+l>0,n=1,2,3,,由L逐项积分定理，

另一方面

因此可得：

，一111

In2-1----1------F•••

234°

实变函数测试题3

本套试题参考答案由李石玲提供

1、作出一个（-1,1）和（-8,+R）的对应，并写出这个对应的解析表达式。

解：-（-8,+oo）,对任意^（x）=tan^,0显然是（-L1）

到（-oo,+oo）的『1对应。

2、证明：玲的充要条件是对任意含有4的邻域U（P3）（不一定以々为中心〕中，恒

0

有异于兄的4属于E（事实上，这样的4还有无穷多个）。而4eE的充要条件是有含有PQ的

邻域U（P@）1同样，不一定以凡为中心）存在，使。（P»）uE。

证明：假设玲eE',那么对任一含乙的邻域。（P,5）,必有以外为中心的邻

域。（6）uU（尸，①，所以存在耳eEcU（«）uEcU（x,3）且<wP,即任何含有乙的领域

中含有一点《eE异于兄。

反之，假设任一含有兄邻域有异于4的点《eE,当然对任一Po的邻

域。（片,5）中也有异于凡的点《eE,所以玲eE'。

假设《GE,那么有U（4,5）uE。

反之，假设aeU（P,S）uE,必有U（稣）uU（P,3）uE,那么《eE。证毕。

3、可数点集的外测度为零。

证明设石={%|，=1,2,}对任意£>0,存在开区间4,使西ej且(在/空间中

/£coCO

取边长为q9的包方％，的开区间/,),所以U，nE,且〔匕|=£.由£的任意性得

VZi=li=l

m*E=O.证毕。

4、设是直线上一有界集合，m*E>0,那么对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集用，

使机*4=CO

证明：设。=诂£乂Z?=supx,那么£u[a,~]。令纥=[a,x]E,a<x<b,那么

xeExeE

/(X)=〃Z*Ex是出,功上的连续函数。

事实上，当Ax>0,且x+Axe[a,/时，

于是当Axf0时，/(x+Ax)f/(x),即“X)是右连续的。类似的方法可证明Ax>0,Ax-0

时，/(x-Ax)f/(x),所以/(x)是[a,b]上的连续函数。

又因为/(a)-m*Ea-m*(E{a})=0,f(b)=m*E[a,b]-m*E

因此对任意正数c,c<m*E,存在x0e[a,b]使/(x0)=c。即

m*EXQ=m*([a,j;0]rE)=c。令E、=E[«,x0]<=Eo那么7〃*£；=c。

5、设EuRP,求证存在Gj型集G,GuRP,使得Gn石且加G=m*石。

证明：不妨设m*E〈+s]否那么令G=7?P即可)。对任意的正整数〃，由外测度

的定义，存在开集G“(一列开区间的并〕，使得EuG“且加G”<m*E+'。令

n

00

G=r|G.,那么EuG"，于是EuG,且G为型集。又对任何正整数“有

«=1

mE<mG<mG^mE+—即〃.8即得加G=m*£。证毕

no

6、设了⑴是R上的连续函数，g(x)为3,加上的可测函数，那么了(冢初是可测函数。

证明：因为/(%)是连续函数，所以"X)在卜可上可测，且Vc>0,耳〃%)>可为集，所

0000

以E[/(x)〉c]=U(a"J，所以E[〃g(x))〉c]=UE(a,<g(x)<»)，

z=0z=0

又因为g(x)可测，所以E(/<g(x)(用)可测。即E(/(g(x))>c)可测。所以

g(x)可测。

7、设EuW为可测集，/(%),/(X)(〃=1,2,3,…)都是E上a.e.有限的可测函数，并且

当“f8时，｛力⑴｝依测度收敛于/(%)。求证存在子列｛咒，")｝在E上“根本上”

一致收敛于/(%)。

证明：不妨假设4<%<一<nk>需证存在4(%)一致收敛于"%),X/3>0取k,

使得-令

2。

那么，

而xe纥，假设左〉匈时，那么匕-，<g,即/%(x)在纥上一致收敛。

8、设/'(尤)=—0<%<1,讨论a为何值时，/(x)为上L可积函数或不可积

函数。

(•111(•-11.8siny

证明：当a与时，J。—sin—d%2,一sin一去*=8,

因此，当时，/(%)非L可积。当a〈l时，在［0/中!可积，

sin—V—r,所以/(x)L可积。

9、设｛力｝为E上可积函数列，lim力(x)=/(x)a.e.于E,且

\b\fn{x}\dx<K,K为常数,

那么/(x)可积。

证明：由法都(Faou)引理

“/(%)依=［回力⑺回理“力(加<K，

故有|/(九)|可积，所以“X)

10、设在/=［0,l］x［0,l］上定义函数如下：/("=［：'手变之茶

0,当孙为有理数.

求［/(%，y^dxdy0

解：因为有理数集。是可数集，于是令。=｛。々告-、〃，一｝。

其次令Ek={(x,y)|(x,y)w/且xy=rk},k=l,2,3,^>

00、00(ooA

mE

易知々在R2的L测度mEk=0,于是mUEk<Yk=°，即机u耳=°-

\^=11k=l\k=lJ

从而f(^y)=la.e.于/=。1卜[0,1],

根据L积分的定义与性质有：£f(x,y)dxdy=^Idxdy=ml=lo

实变函数测试题4

本测试题参考答案由董红英提供如有问题请联系：

1、设A是一个无穷集合，那么必有A*uA,使得A*~A,而A—A*。(有理数集)。

证明：由于A是一个无穷集合，所以含有一个可数子集B。设5={%,%,。3}令

用={%,%,%}，32={。2,4，。6}

那么B=B[UB2，BICB2=0且及，鸟均为可数集。令

t

P=A-B,A=B2^P,

那么4=8。？且A-A*=4是可数集且基数为c,因为有理数集的基数也为c所以

两者对等，即A-A*~Q。又因为也是可数集，所以3~耳。由「小员=0，3cp=0,

所以4*=与。尸~A=8uP。证毕。

2、证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。

证明：设F为闭集。令G"={x/d(x,F)-},"=l,2,A。

n

对VxeGn,(i(x0,F)<—.令0<5<!一4(%0,方)，任意取

0nn

XGd(x,x0)<8<--J(x0,F),因此d(%D«d(x,%)+d(%D<L那么有

nn

%£6〃即。(%0,3)(=6〃，故为开集。

001_00

设xecG“，那么d(x,F)<—,取极限得d(x,F)=0,所以xeR=尸，即cG“uF.另外,

n=l〃n=l

1OO____00

对\/工€”1(羽/)=0<一,所以xeG〃，即BuG“，从而尸ucG,”因此cG,=£/是

Hn=ln=i

可数个开集的交集。

00

设G为开集，那么6G为闭集，可知，存在开集G“，使得6G=cG,,所以

n=l

0000

G=^nGJ=o(GJ,而6G”为开集，因此G是可数个闭集的和集。

n=ln=l

3、假设ME=O,那么E可测。

证明：用定义证明E的可测性。

对任一点集T,T=(TcE)u(Tc6E),所以MT<M(TCE)+M(TC6E)反之，由于

TcEuE,故根*(Tc6E)<ME=0.又TcdEuT,所以

m(Tr>6E)<mT,因此M(TcE)+(TcdE)<。

综上所述,得m*T=m*(TcE)+m*(Tc6E),E可测。

4、设证明：M*(A3)+W*(A+并给出等号成立的条件。

证明：当A可测或B可测那么等号成立。

假设m*A=+s或加3=00,结论显然成立。我们总假定/A<+*且加3<+oo。所以

存在G,型集G］与G2,使G^A,G2^B,且mG^mA,mG7=mB.那么

根*(Au3)〈根*(GuG2),加*(Ac8)<m(G】cG?).对G1与G2利用第7题等式有

5、设EuR",存在两列可测集｛4｝，｛纥｝，使得AuEu此，且加区YJ-om-s),

那么E可测。

00

证明：令8=cB“，对V”，有B-EuB“-E又由AuEuB^Bn-EuB.-A，所以

i-i

m^B-E)<(与一E)<”B“-AJ=皿凡—4).

当〃-»oo时，由双纥-4)-0,得m*(B-E)=O,由5题知5—E可测。又因为纥

可测，B也是可测的，从而E=5-(5-E)可测。

6、设｛力(x)｝("=L2,…)在有界集E上“根本上〃一致收敛于/(%),证明｛%(%)｝a.e收

敛于/(x)。

证明：因为力(x)在E上“根本上〃一致收敛于/(%),所以对V左eN,存在可侧集/uE,

使在E上f(x)一致收敛于，且m(E-E)<-o

knkk

00

令4=。段,那么力(x)在E上处处收敛于f(x)o又有m(E-E0)=m(En6E)

k=\o0

0000I

二m(Ec(cSEJ)=m(c(E—EQ)工m(E—EQ<—,当kf8时,加。—4)=0。因此力(x)在

左=1k=lk

E上a.e.收敛于/(x)o

7、设尸⑴是屋上的可测函数，并且点集{%"(%)>()}是屋中的可测集，证明/(%)是肥

上的可测函数。

E[f>0]r>E[f2>a2],a>0

证明：E[f>a\=<

E[f>0]oE[/<0]nE[/2>a2],a<0

当显然可测。当a<0时，因为E">0],所以E"<0]=E'">0]

所以亦可测，于是当。<0时，E">a]亦可测。

8、证明

证明：设力⑺=------p/eQoo),于是

(l+-),!r

n

⑴{7,«)}是(0,8)上的可测函数列;

1A

⑵lim力⑺=-------------=-,==f(ty,

nsf±e

lim(l+—)nlimtn

n—>ooRn—>oo

13)当te(O,l)时，力⑺<3«+(〃〉2)；从而<⑺<，.

tn7

A/"eQi)

现令F(t)={4

p-,?e[l,oo)

2

那么JF(t)dt=jotdt+^3力=6,因此F[t)可积。

(o,8)t

9、设根£w0,/(x)在£上可积，如果对于任何有界可测函数°(x),都有

那么/(x)=0@.6.于后

证明：对任意5>0,设夕⑴是E[f>8]的特征函数，那么

3mE[f>^]<f^^)dx=f(x)(p(x)dt=0,所以mE[f>3}=0.同样可证

mE[f<-^=0,因止匕mE\\f(x)\>S]=0。又知0]=o£[|/|>-].所以

001

mE[f^0]<YmE\\f\>-]=0,即/(x)=0a.e.于E

n=l〃

10、设

求£f(x)dxo

解：由题意可知，/（%）=%，.e.于艮/］；/（%）=/a.e.于。又因为三个集

合互不相交且之并集为I,由积分区间的可加性，所以有

实变函数测试题5

本套试题参考答案由黄意如（统计班2023750414）提供，如有问题联系

1、试找出（0,1）与［0,1］对应的一种方法，并写出其解析式。

解：因为（0,1）是连续势集，故存在可数子集。=｛4外,生，•・｝，那么。｛0』是［。,1］

的可数子集。作［0,1］到（0,1）的映射0：

易见（P是［0,1］到（0,1）上的映射。

2、证明：设Ew0,E”,那么E至少有一界点（即而力0〕。

证明设个=（%,々，…，％）eE,。=（%,%,...,%）任石,令

现证明纭e8E。

假设纭eE.那么九W1。对任意满足,必有《WE。任取

%1>乙>%，/.f%且纥eE，那么"1f纥,所以纭€加。

假设纥eE那么办N0，且有小0<tn<t0>eE,所以同样有

纭edE。因而丽¥0。证毕。

3、试构造一个闭的疏朗的集合£u［0,l］,且用石=工。

2

〔试把上题推广到一般情形：试构造一个闭的疏朗集Eu［0,1］,且加£=〃（0<6/<1）o

157

解：在［0,1］中去掉一个长度为工的开区间（二,二），接下来在剩下的两个闭区间

61212

分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第〃次时，

63

一共去掉2"T个各自长度为，X击的开区间，剩下2"个闭区间，如此重复

下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的局部的测度为

11212“T1

—+—X—++—X——-+二一。

66363"i2

所以最后所得集合的测度为mE=l--=-,即〃近=」。

222

当所求测度为。时，只要将每一次挖掉的开区间的值乘以(1-。)即可得到。

4、证明直线上所有可测集合作成的类〃的基数等于直线上所有集合类的基数。

证明：设直线上的所有集合类为M。显然〃uM,因此%〈巨。另一方面，康托尔集P是

基数为c的零测度集，因而尸的一切子集的外测度为零，是可测的，且尸的一切子集与直

线上的一切子集是对等的，于是看根据伯恩斯坦定理从而得到［三薪。

5、设EuRP,求证存在Gf型集G,GuRP,使得Gn石且机G=加石。

证明：不妨设“E<+s］否那么令G=R"即可)。对任意的正整数〃，由外测度定义，存

18

在开集G“(一列开集的并〕，使得EuG”且机G,〈加石+工。令6=「|。，那么EuG且G

nn=l

为G°型集，又对任何正整数〃有，

mE<mG<mG<mE+—,

nn

令n—>oc即得根G=mEo

6、设｛4(%)｝在［a,句上依测度收敛于/(%),g(x)是史上的连续函数。试证明｛&(%(%))｝

在［a,加上依测度收敛于g(/(x))o

证明：令E=［a用因为/(x)n/(x),作为上(x)｝的子列优上)｝,显然有加(无)n1/(无)。

由黎斯定理知，存在｛/%(%)｝的子列优/*»，使吧几,(%)=/(x)a.e.于E。又g(x)

是“上的连续函数，所以有

吧g(。⑴)=｛吧fnk1(%))=g(/(%))a.e.于E。

因此由第四章习题12的充分性，即得g(/(x))ng(/(x))。

7、设在E上力(x)n/(x),而力(x)=g"(x)a.e.成立“=1,2,3,…，那么有g"(x)=>/(x)。

00

证明：令A=|jE比」g，』。由于力(%)=g.(〃)在E上a.e.成立,所以

n-1

/00、00

mA=m\jE[fn*.g„]<Z—[力工g，[=°，即mA=0。

\n=l/〃=1

在E—A上，由于力,(x)=g"(x)且/(x)=>/(x),所以g,(x)=>f(x)。

在A上，对任意3〉0,用g.(x)—/(xl*]u耳〃x)—/(“之司口人，因此

mE[gn-/|>^]<mE^fn-f\>3]+mA=mE^fn-/|><^]0因为/“(x)n/(x)所以

]immE[fn-f\>3]=0,从而呼imE*-4上司=0,即g〃(x)=>/(x)。

8、设由[0,1]任取九个可测子集月上?，，纥，假定[0』]中任一点至少属于这九

个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于幺。

n

证明：设夕,•是用的特征函数，，=1,2,…，八。由题设知，在[0,1]上，之芈⑺之q。因此，

i=l

nn

z=li=l'

_n

令mEj=max{mE},mE2，…,mEn},那么有n-mEj>^jmEi>q,从而加与20,与即

i=\R

为所求。

9、求狄利克函数在[0,1]的勒贝格积分。

解：因为mE([0,l]cQ)=0,所以积分为，

10、设有定义在。上的实值函数;'(X)。假设对任意£>0,存在不上的可积函数，g(x)和

h(x),使得g(x)</(x)</z(x),xeR",并且/z(x)-g(x)|为:<£。

试证明/(X)在R/上可积。

证明：由条件得，对任意正整数〃，存在胆上的可积函数g〃(x)和/(X),使

g〃(x)</(%)(&(%)，xeRq，并且，儿⑴―g“㈤。

又对任意b>0,有

由{九G的丸⑴―g〃(%lNCr}<九(%)—g”()依<10

因此儿(x)-g"(x)=>0。由黎斯定理，存在子列M(x)-g%(x)}在肥上a.e,收敛于零。故

由数学分析知道得源(%)=limg*(%)=/(%)a.e.于R"。又因为存在肥上的可积函数

/—>00181

可积函数,g(%)和力(%),使得g(x)Wf(x)<h(x),故|/(x)|<|/z(刈+|g(x)|,所以/(x)在

不上可积。

实变函数测试题6

1、设｛4｝是一列集合，作用=4,功=4-UA，〃>1。证明｛纥｝是一列互不相交的集，

\V=1)

nn

而且UA=IBy,l<n<ooo

V=1V=1

i-1J-l

证明：(1)设g=A—(UA)，%(U4)，a。/)，不妨设，>/，那么

V=1V=1

瓦=A一(0A)uA;-A.,Bj…。那么由A,.-A.与&不交，可知B,与易不交。

V=1

由i与j的任意性可知：｛Bn｝是一列互不相交的集。

(2)采用数学归纳法证明：

当n=l时，由可知=结论成立。

假设当n=k时结论成立，

〃+1nnn

那么当n=k+l时,U纥=(Ua)U纥+I=(UA)IM+LUA)

v=[y=[y=iI

finn〃+]

=[(LM)U(4+I)]U[(UA)]U(UA)C]=UA

v=lv=lv=ly=l

所以，命题成立。

2、证明：点集口为闭集的充要条件是H=b。

证明：必要性：由尸为闭集可知尸ub

又户=F|JE

所以H=E

充分性：•••F=FF=F\jF

:.FuF,即F的聚点都属于F

；.F为闭集。

3、设4=｛（。,〃）|/,〃之一为有理数｝（=尺2,求wiA。

解：记所有的有理数为个%,r3……

那么A中的元素可由两个相互独立的记号一一加以决定

而且各记号跑遍有理数。

那么A为可数点集。

又可数点集的外侧度为0；

所以环A=00

4、证明：假设E可测，对于任意£>0,恒有开集G及闭集F,使尸uEuG,而皿G-E）<£,

m（E—F）<£a

证明：（1）先设皿石）<00

由外侧度定义可知，有一列开区间｛/;｝4=1,2……

使得ULnE,且£|//<的+£☆G=U，i，那么G为开集且GnE

i=lz=li=l

那么有mE<mG<£mlj<^|/.|<mE+s又mE<8

i=lz=l

所以mG-mE<£那么m（G-E）<s

其次砥石）=8那么E为无界集，但它总可表示成可数多个互不相交的有界可测集的

和：E=\jEn（加玛<8）,对每个纥运用上面的结果，可找到开集G〃，Gn^En,

n-l

且〃2（G“一纥）<£/2"

令G=UG”,那么G为开集且GnE

n-l

000000

G-E=UG-UE”uU(G“-E"))

n-ln—1n-l

那么m（G—E）V£（G“一E,）<£

i=l

（2）由E可测，可知于可测，那么必定存在开集G使得且〃z（G-E，）<£,

取尸=G"那么/为闭集，且FuE,m(E—F)=m(G—E)<£

综合(1〕(2)可知，命题得证。

5、设/咯，蜃)是改上的连续函数，g|(x),g?(x)是[。,功上的实值可测函数。试证明

f(gt(x),g2(x))是[a,加上的可测函数。

证明：由可知：必定存在两列定义在[。,句上的简单函数｛①,(x)｝和｛耳(为｝使得：

ge)=lim①“(》),g2(x)=limH(x)，

n—>oon—><x>

那么/(①“(X),乎“⑴)也为一列简单,又了©,昆)是"上的连续函数

所以：lim/(①“(无),%,(%))=/(lim①.(九),lim耳⑴)=/(g1(x),g,(x))

n—><x)n—>oon—>oo

即/(g1(x)g(x))为一列简单函数的极限

ftg^x),g2(xy)是[a,1上的可测函数。

6、作后=[0,1]上函数，

试证明/(x)是[0,1]上的可测函数，并且对[0,1]上任何连续函数g(x),均有

mE[f^g]^0,此结