2023-2024学年河北省沧州市高三年级上册期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年河北省沧州市高三上学期期中数学质量检测

模拟试题

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.已知集合1=[配2欠<1｝,S=|x|x2>x|,则4^8=()

A.(0,2)B.(1,2)C.[1,2)D.2)

2.已知复数z满足=则z的虚部为()

A.B.yC.一；iD.；i

3.等比数列｛即｝中，每项均为正数，且43。8=81,则1og3a/+lOg3〃2+…+lOg34/0等于()

A.5B.10C.20D.40

4.已知函数/(幻是定义在R上的单调函数.若对任意xeR,都有/W)-2*]=3,贝!|/(4)=()

A.9B.15C.17D.33

5.已知/*)是偶函数，且对任意看,々€(0,+00),“止**)>0,设。=/心，Z>=/(log,7).

X\~X22

c=/(-0.83),则()

A.h<a<cB.c<a<hC.c<h<aD.a<c<b

6.如图，△8C0与小8。的面积之比为2,点尸是区域Z8C。内任意一点(含边界)，且

丽=2前+〃衣(Z〃eR),则义+〃的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

7.若不等式e""21nx-a恒成立，则实数。的取值范围是()

A.[0,+<»)B.[-l,+oo)

C.--,+oojD.[-e,+<»)

8.己知函数/(X)=COS2(X+5)(0<9<兀)的一个对称中心为若函数尸/(。月(0>0)在

[0,可上单调递减，则。可取()

A.|B.C.1D.2

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.已知△ZBC的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题中正确的有()

A.若二=一二=’工，则△ZBC一定是等边三角形

cosJcosBcosC

B.若QCOS/=bcosB,则△力8c一定是等腰三角形

C.A>4是sin4>sin8成立的充要条件

D.若/+/一/>0,则△Z3C一定是锐角三角形

10.若函数〃》)=；/+/，⑴d+g,贝IJ()

A../''⑴=1B.f(x)有两个极值点

C.曲线y=/(x)的切线的斜率可以为_2D.点(1,1)是曲线y=/(x)的对称中心

11.已知函数“X)与g(x)的定义域均为R，/，a),g'(x)分别为/(x),g(x)的导函数,

〃x)+g'(x)=5,/(2-x)-g,(2+x)=5,若g(x)为奇函数，则下列等式一定成立的是()

A./(-2)=5B.g(x+4)=g(x).

C.g'(8-x)=g，(x)D./。+8)=/，(耳

2

12.已知函数/'(x)=—+lnx,则()

A.x=2是/(x)的极大值点

B.y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数上,使得/(x)>日对于任意xe(0,+8)成立

D.若/(3)=/(》2),**七，则用+工2>4

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知/(x)是定义在R上的可导函数，若呵〃2上《2jAr/g,则/"(2)=.

12

14.已知等比数列｛4｝前〃项和S.=(x+2y+l)2"+(x-y-3)(其中x>0)>0).则一+一的最小

xy

值是.

15.定义在(0,+8)上的可导函数“X)满足：矿(x)</(x)且"2)=0,则/(x)<0的解集

为.

16.已知函数/(x)=sin(2x+V),若任意ae，存在匹满足〃a)+/(⑶=0,

则实数f的取值范围是.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知函数/(x)=；x2Tnx

⑴/卜)的单调区间.

(2)求函数〃x)在区间［1，e］上的最大、最小值.

18.已知“9c内角48,C所对的边分别为a,b,c,面积为2退，且石出+。?-*=2acsinS,

求：

(1)求角4的大小；

(2)求5c边中线长的最小值.

19.已知数列｛叫满足.q+2a2+22+…+2"-'an=16〃

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)令"=唾2%+21,求数列｛4｝的前”项和S,,.

20.已知函数〃x)=ln(x+D-ax+2.

(1)若a=2,求〃x)在x=0处的切线方程；

(2)当x20时,/(x)+2x+xln(x+l)N0恒成立，求整数a的最大值.

21.已知函数/(x)=ln(加r)-x(m>0)有两个不同的零点4,x2.

(1)求加的取值范围；

(2)若W>2再，求实数机的取值范围.

22.已知函数/(x)=lnx+2(：-x)(2eR).

(1)当x>l时，不等式/(x)<0恒成立，求人的最小值；

⑵设数列右与〃小)，其前〃项和为S“，证明§一,叶,2

1.c

【分析】解出集合A、8,利用交集的定义可求得集合/C8.

[详解]因为/=卜|嘘2》<1｝=(0,2),B-|x|x2>x|=(-<»,0]u[!,+<»)>

因此，4口8=[1,2).

故选：C.

2.A

【分析】由已知，利用复数的除法，求出三，得到z,可知z的虚部.

、iW+i)11

【详解】复数z满足zIT=i,则2=「=\，=+i,

所以z=-2—?i,z的虚部为一上

222

故选：A

3.C

【分析】由对数运算法则，等比数列的性质求解.

【详解】｛%｝是等比数列，则44。==。3a8=4%=。5a6，

5

所以log3a/+log3a2+…+log3am=bgjS。…"io)=log3(a3a8)=5log381=20.

故选：C.

4.C

【分析】根据函数的单调性可得f=/(x)-2，，进而根据g(x)=2，+x的单调性即可求解f=l,进而可

得〃x)=2、+l,代入即可求解.

【详解】因为“X)是R上的单调函数，

所以存在唯一的/eR,使/。)=3.

由方程/[/(x)-2']=3,得万/(/-2',则f(x)=2x+t,

所以/⑺=2'+f=3.

设g(x)=2、+x,由于y=2',y=x均为定义域内的单调递增函数，

所以g(x)在R上是增函数，且g⑴=3,所以f=l,

所以〃x)=2'+l,故"4)=24+1=17.

故选：c

5.B

【分析】由题意得偶函数/（x）在（o,+8）上为增函数，可将问题转化为判断]log37,-0.83到y轴

的距离的大小问题求解.

【详解】•.•对任意看,々«0,+8），/⑷二/㈤〉。,

七一遍

函数/（X）在（0,+8）上为增函数.

又函数/（X）为偶函数，

...〃x）在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增.

53

又Alog33=log3V27<log37=log3>/49,-l<-0.8<0,

/（log：7）>y（|]>/（-0阴，即c<a<6.

故选B.

已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调

性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图

象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题.

6.C

【分析】根据题意，将图形特殊化，设“。垂直平分8c于点O,的。0=2/0,当点尸与点A重

合和点P与点。重合时，分别求得〃的最值，即可求解.

【详解】根据题意，将图形特殊化，设/。垂直平分6C于点O,

因为△BCD与A/8C的面积之比为2,则。。=2/。，

当点尸与点A重合时，可得万=6，此时几="=0,即2+〃的最小值为0；

当点尸与点。重合时，可得"=3茄=3x（g万+g/万+g/，

3

此时a=〃=5，即％+〃，此时为最大值为3,

所以义+〃的取值范围为[0,3].

故选：C.

D

7.B

【分析】根据/(x)=e'+x在R上递增，利用同构法求解即可.

【详解】解：构造/")=e'+x,

则〃x)在R上显然递增，

由eA+fl>lnx-aW

cx+a+a+x>Inx+xy

即ev+tf+^+x>elnv+lnx，

/.x+tz>Inx,

:.a>lnx-x,

令g(x)=lnx—x(x>°)，

则g'(x)=，T=4，

XX

由g'(x)>0得0cxe1,g(x)递增,

由g'(x)<0得x>l,g(x)递减,

二g(x),皿二名⑴二一

a2—1.

故选：B.

本题解题的关键是看到“指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简.

8.A

【分析】根据题意，利用三角函数的性质，求得/(X)=《COS(2X+2)+!，再由y=/(s)在［0,可

262

上单调递减，得到+兀，结合选项，即可求解.

6

【详解】由函数/(x)=cos[x+?=|cos(2x+协+■的一个对称中心为

可得cos(2x—+^?)=0,则2x四+*=四+E,AwZ,解得9=巴+E,E£Z,

6626

因为0<夕<兀，所以"=5,所以/(x)=：cos(2x+g)+:,

6262

所以/(69X)=—cos(2<yx+—)+—,(69>0)

262

当XE[0㈤，2cyx+—e[—,2^+—]

666

因为/(s)=：cos(2d?x+：)+?,3>0)在[0,兀]上单调递减,

262

则2(071+—<7C,解得0<69<—,

612

结合选项，只有A选项，符合题意.

故选：A.

9.AC

【分析】根据正弦定理和三角变换公式可判断ABC的正误，根据余弦定理可判断D的正误.

【详解】对于A,由正弦定理可得吗=*="，

cosAcosBcosC

故tan4=tan8=tanC,而4优。为三角形内角，t^A=B=Cf

故三角形为等边三角形，故A正确.

对于B,由正弦定理可得sin4cos/=sin8cos8,

故sin24=sin2B,故24=2B+2kn,kcZ或24=T-2B+2kn,ke.Z,

而43,」+5£(0,7U),

TT

故2/=28或2/=兀-28即Z=8或力+8=一，

2

故三角形为等腰三角形或直角三角形，故B错误.

对于C,/>8等价于a>6,而后者等价于2Rsin/>2Rsin8,即sinC>sinB,

其中R为三角形外接圆半径，故/>8的充要条件为。>方，故C正确.

对于D,由/+〃-2>0可得cosC=±±±《>0,故C为锐角，

2ab

但不能保证三角形为锐角三角形，故D错误.

故选：AC.

10.BD

【分析】A项，求导赋值可得；B项，利用导函数研究单调性再求极值；C项，研究导函数值域

即可；D项，证明〃x)+/(2-x)=2.

【详解】选项A,由题意得/。)=/+2/'⑴x,

所以/'⑴=1+2/'⑴，解得/'⑴=-1,A错误；

选项B,由/'(1)=7,则/(x)=；x3-f+g,

/((x)=x2-2x=x(x-2),由/''(x)=o得x=0,或X=2,

则当x<0或x>2时，f^(x)>0；

当0cx<2时，/，(x)<0,

所以〃x)在(-8,0)和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

则当x=0时，"X)有极大值；当x=2时，"X)有极小值.

所以/(x)有两个极值点，B正确；

选项C,/,(X)=X2-2X=(X-1)2-1>-1,

所以曲线N=/(x)的切线的斜率不可能为-2,C错误；

选项D,因为/(戈)+/(2-x)=-x~+]+](2-x)_(2-x)+—

=-jx3-x2+g+g(8+6x2—12x-x')-(4-4x+x2)+g=2,

所以点(1,1)是曲线y=/(x)的对称中心，D正确.

故选：BD.

11.ACD

【分析】将x用2-x代入已知等式可构造方程组得到g'(2-x)=-g'(2+x),由此可得g'(x)关于

(2,0)对称；结合g'(x)为偶函数可推导得到g'(x)是周期为8的周期函数，则可得C正确；令x=-2,

代入/(x)+g'(x)=5中即可求得A正确；令〃(x)=g'(x),由"(x+8)=h'(x)可推导得到D正确；

设尸(x)=g(x+4)+g(x),由g〈x+4)=-g，(x)可知尸(x)=C(CeR),结合F(-2)=0可知

尸(x)=0,由此可得g(x+4)=-g(x),知B错误.

|/(x)+g'(x)=51/(2-x)+g<2-x)=5

【详解】由

[/(2-x)-g((2+x)=5[/(2-x)-g((2+x)=5

••.g'(2-x)=-g12+x),关于(2,0)中心对称,则g'(4+x)=-g〈-x),

••・g(x)为奇函数，，g(-x)=-g(x),左右求导得：-g，(-x)=-g,(x),

.•.g，(x)=g，(-x),.•.g，(x)为偶函数，图象关于y轴对称,

••.g，(x+8)=-g，(-(x+4))=一g<x+4)=g(-1=g(才，

，g'(x)是周期为8的周期函数，

，g'(8-x)=g，(x-8)=g，(x),C正确；

•.•〃x)+g")=5,.•.〃-2)+/(-2)=5,又式-2)=g”)=0,

.■./(-2)=5,A正确；

令〃(x)=g'(x),贝必(x+8)=〃(x),/(x+8)=l(x),

又/?(x)=5-/(x),A(x+8)=5-/(x+8),.1-/”(x+8)=-尸(x),

即广(x+8)=/(x),D正确；

vg,(x+4)=-g,(x),,-.g,(x+4)+g,(x)=0,

设尸(x)=g(x+4)+g(x),则F(x)=g'(x+4)+g，(x)=0,.-.F(x)=C(CeR),

又g(x)为奇函数，，F(-2)=g⑵+g(-2)=0,.•.尸(x)=0,

即g(x+4)=-g(x),B错误.

故选：ACD.

结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数

有关的函数性质，有如下结论：

①若/(x)连续且可导，那么若/(X)为奇函数，则若(切为偶函数;若〃力为偶函数,则r(x)为

奇函数；

②若/(X)连续且可导，那么若/'(X)关于x=。对称，则/(X)关于点(。,/(。))对称；若/'(X)关

于3。)对称，则/(X)关于x=a对称.

12.BD

【分析】利用导数，根据极值点、零点、不等式恒成立、构造函数等知识对选项进行分析，从而

确定正确答案.

【详解】/(x)=-+lnx,定义域为(0,+8),

小)=!-。手

所以“X)在区间(0,2)上，r(x)<0,/(x)单调递减;

在区间(2,+8)上,单调递增.

所以x=2是〃x)的极小值点，A选项错误.

719

设g(x)=/(x)_x=(+lnx_x(x>O),gIx)=t_7_l

-—(--x+2)-(X-2)+4，

x2x2x2

所以g(x)在(0,+8)上单调递减，g(l)=2+0-l=l>0,g(2)=l+ln2-2=ln2-l<0,

所以g(x)存在唯一零点看，且9e(l,2),B选项正确.

C选项，由/(x)>Ax对于任意xe(0,+8)成立，

即k<©=/一小对于任意xe(0,+8)成立，

XXX

构造函数/("=1一?">0)/(力=4_4,-4,

令加(x)=x-xlnx-4(x〉0),/w'(x)=-Inx,

所以〃?(x)在区间(0,1)上M(x)>0,〃?(x)单调递增；

在区间(1,+8)上加(x)<0,m(x)单调递减，

所以用(X)4加(1)=一3<0,所以

所以〃(x)在(0,+8)上单调递减，没有最小值，

口o八7小2In32-31n3

且万(1)=2>。，〃(3)=§一丁=——<0，

所以不存在正实数%,使得/(乂)>丘恒成立，所以C选项错误.

D选项，令fe（O,2）,则2-fe（0,2）,2+fe（2,4）,

2?

^n(/)=/(2+r)-,/'(2-r)=—+ln(2+/)---—ln(2-z)占+ln区

2+/2-/2-42-t

〃小士8f22-t2—+2+/__8产

(.I而.e-J1-J

所以〃⑺在（0,2）上单调递减，则"（f）＜"（0）=0,

则"（f）=f（2+f）-f（2-f）＜0,令2=2T,由/（再）=/&），

且函数〃x）在（2,+8）上单调递增,得占＞2+f,

贝！jX|+X2＞2—/+2+/=4,当否±4时，X|+x2＞4成立,

所以D选项正确.

故选：BD

利用导数求解函数的极值点，主要是利用导数求函数的单调区间，从而求得函数的极值点.利用导

数研究函数的零点，除了利用导数求得函数的单调区间外，还可结合零点存在性定理来进行求解.

利用导数求解函数单调性的过程中，若一次求导无法得到答案，可考虑多次求导的方法来进行求

解.

13.--##-0.5

2

【分析】根据导数的定义计算可得结果.

【详解】由导数的定义，可得解（2）=5/（2+词一/⑵=_扁/⑵一“2+打）=」

、'AXT。AX&T。AX2

故-！

2

14.4

【分析】由等比数列｛an｝前〃项和可得2x+y=2,再利用基本不等式可得答案.

【详解】因为等比数列｛a„｝前n项和S〃=（x+2»+1）2〃+（x—y-3）,

q=¥=(r+2y+1)x2+x-y-3=3x+3y-1,

S2=(x+2y+l)x22+x-y-3=5x+7y+l=q+Q2,

,勺=S-S1=5x+7y+1-3x-3y+1=2x+4y+2,

%=S3-S2=9x+15y+5-5x-7y-1=4x+8y+4,

又色凯=2,即2x+y=2,x>0,y>0,

污=3(2》+》?+讣卜卜+3挣卜"2n4,

当且仅当上y=4一x时取等号.

xy

故4.

15.(2,+co)

【分析】设g(x)=W，求得g，(x)=)(xg(x)<0,得到g(x)在(0,+8)上单调递减，结合

"2)=0,得不等式/㈤<。的解集，进而得到不等式/(x)<0的解集.

X

【详解】根据题意，由矿(x)</(x),可得矿(x)-〃x)<0,

设g(x)=W，可得g<x)="色与工⑻<0,则g(x)在(0,+功上单调递减，

又由/⑵=0,可得g(2)=o,

当0<x<2时,可得g(x)>0；当x>2时，可得g(x)<0,

当x>0时，不等式上1<0的解集与/(X)<o的解集相同,

X

所以不等式/(》)<0的解集为(2,+8).

故答案为.(2,+8)

TT

【分析】由一若求得sin(2a+—)e，根据题意得到-/(夕)再由

6

夕e-,t\,结合三角函数的性质，即可求解.

_,4,/-i-twI兀兀,0_7T2兀_.-717T571

【详解】由ae--,7，可得2aw,则2"+工€

432.5o30

可得$出(22+e)£一^~,1,即一

因为任意a十患］,存在匹卜小满足/(。)+/(0)=0,

-i，Y是〃4)的值域的子集，

因为-可得2£E一~则24+gw

3)3)626/

则满足2代>?解得，咱，即实数’的取值范围是后,叼.

故答案为

17.(1)/(力在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增

(2)/。)最小值为薮，最大值为ge2-l.

【分析】(1)利用导数求函数的单调性即可；

(2)利用函数在［1，e］的单调递增可得.

【详解】(1)函数/(x)定义域为(0,+8),r(x)=x-l=—,

XX

当0<xvl时,r(x)<0,/(X)在区间(0,1)上单调递减，

当x>l时*(x)>0,在区间(1,+8)上单调递增.

综上，/(X)在区间(0.1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增.

(2)由(1)可知函数/(x)在［1，e］上单调递增，

故/(x)在x=l处取最小值为

在X=e处取最大值为/(e)=ge2-l.

18,⑴三

⑵指

【分析】(1)先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；

(2)由平面向量可知而=；(刀+Z),两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得

出结果.

【详解】(1)；+c~2acsin8,由余弦定理可得2>/^6805/=2"4118,即

y［3bcosA=asinB，

由正弦定理可得J§sin8cos4=sirUsin5,

•・•8w(0,兀),sinB0.

.二VJcosZ=siM,即tarM=VJ,又“£（0,兀），所以力=1.

（2）由（1）知，^=|,“8C的面积为2JL

所以;6csing=26,解得乩=8.

由平面向量可知而=；（而+就），所以而。=；（而+就）2=；（在2+AC2+2AB-AC^

=；[从+<?+2b<xosg卜+b0>-^(2bc+b^46c=(,

当且仅当6=c=2应时取等号,

故8c边中线AD的最小值为布.

5n

19.(1)a„=2-',neN*；(2)Tn=^~"^-+2,“eN”.

【分析】（1）利用与S,的关系，即可求出｛%｝的通项公式;

（2）b“=log22〜+2-'=5-n+2"，利用分组求和即可求出数列｛"｝的前〃项和S,,.

【详解】解：(1)当〃=1时，《=16,

当时，/+2%+22%+~2〃-2%_]+2〃一%=16〃，①

tZ]+2al+2?%+…+2"2=16(/7—Q,(2)

①•②得2"&=16,

.♦.%=2~，

当”=1时，卬=16满足通项公式，

a“=2〜,〃eN..

(2)"=皿2~+2"7=5-N+2"T,

7；,=(4+2°)+(3+2')+(-2+22)+-•-《5-f)

=[4+3+2+…+(5-叨+2+i+---+2-1)

(9-n]n5i.

=---------+2-1,.

2

20.⑴x+y-2=0

（2）4

【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程;

(2)x=0时，不等式恒成立；当x>0时，不等式等价于04妇如但设

X

g(x)=①里处土]也，利用导数求g(x)的最小值，可求整数〃的最大值.

【详解】(1)若4=2,则〃x)=ln(x+l)-2x+2,/(0)=2,则切点坐标为(0,2),

/''(x)=一1-2,则切线斜率后=/'(。)=-1,

X+1

所以切线方程为尸2=-"-0),即工+歹-2=0.

(2)由/(x)+2x+xln(x+l)N0,得axK(x+l)[ln(x+l)+2],

当x=0时，a-0<2,aGR；

当x>。时，”(x+l)[ln(x+l)+2],

X

设g(x)=(x+D[g+l)+2],式力'-2'・+1),

Xx

设〃(x)=x-2-ln(x+l),A,(x)=—>0,

则Mx)在(0,+8)单调递增,

〃(3)=l-ln4<0,A(4)=2-ln5>0,所以存在%e(3,4)使得力(x0)=0,即/-2=ln(x0+1).

xe(O,Xo)时，ft(x)<0,即g'(x)<0；彳«%,+00)时,A(x)>0,即g'(x)>0,

则有g(x)在(O,Xo)单调递减，在(x°,+<»)单调递增，g(x)min=g(x0),

所以0"(%)=(/+1)1>(3+1)+2]=(/+1)[(/-2)+2]=%+],

因为x°e(3,4),所以％+le(4,5),所以整数。的最大值为4.

方法点睛：

不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果

运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.解题过程中要注意分类讨

论和数形结合思想的应用.

21.(l)(e,+a>)

2

---,4-00

⑵ln2

【分析】(1)由/、(力=0分离常数加，通过构造函数法，结合导数来求得”的取值范围.

£

(2)由ln(sJ=X|,ln(wx2)=X2整理得In=X2-X],利用换元法表示占多，通过构造函数法,

利用导数证得0＜不＜ln2＜l,结合（1）求得加的取值范围.

【详解】(1)“X)的定义域为{小>0}.

令/(x)=0,W/»=—.

X

令g(x)=J(x>0)，则g'(x)=e0,0,

xx

令g'(x)=O,可得x=l,

当xe(0,1)时，g\x)<0；

当xe(l,+oo)时，g,(x)>0.

所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(L+8)上单调递增.

所以g(x)min=g(D=e,

当x趋近于0时，y趋近于+=0；

当X趋近于+8时;y趋近于+8,

所以加e(e,+8).

(2)ln(/nxl)=x1,ln(wx2)=x2,

两式相减，得In强=刀2-%.

令，=三>2,则lnf=«-1)&，

x\

In/zlnz

故项=口/产匚丁