2022-2023学年陕西省汉中市高二年级下册期末数学（文）试题【含答案】

2022-2023学年陕西省汉中市高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1.已知集合A={0,1,2,3},3={x|2x+3<6},则A3=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】C

3

【分析】求得集合8={为次<]},结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】由集合8={x|2x+3<6}={x|x<'|"-A={0,l,2,3},

所以AB={0,l}.

故选：C.

A.75B.V3C.5/2D.1

【答案】A

【分析】先进行复数运算，然后根据复数模的定义直接求解.

【详解】1-■=|l-i（l+i）|=|2-i|=>/5.

故选：A.

2x-y-1<0,

3.若x,丁满足约束条件T+220,，则z=x+y的最大值为（）

j—240,

7

A.-7B.0C.-D.7

2

【答案】C

【分析】根据约束条件，画出可行域，平移直线2=入+丫求解.

2x-y-1<0,

【详解】解：由x,y满足约束条件，X+2N0,画出可行域如图所示:

j-240,

平移直线z=f,当直线z=x+y经过点A（|,2）时，z取得最大值

故选：C

4.曲线>=犬+》2在点0,2）处的切线的斜率为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】A

【分析】求导，代入x=l求出答案.

【详解】y'=5/+2x,当x=l时，9=5+2=7,

故y=f+』在点（1,2）处的切线的斜率为7.

故选：A

01

5.已知a=sin2,b=log,0.2,c=3,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】根据正弦函数、对数函数和指数函数的单调性，将。与0/比大小，b与0比大小，。与1

比大小，即可得结论.

【详解】因为］<2<兀，所以0<sin2<l,

0J

Xlog20.2<log,1=0,3>3°=1,所以b<a<c.

故选：B.

6.如图，圆柱内部有两个与该圆柱底面重合的圆锥，若从该圆柱内部任取一点，则该点不在这两个

圆锥内部的概率为（）

【答案】A

【分析】设圆柱的底面半径为，高为力，分别求得圆柱和两个圆锥的体积，结合体积比的几何概型,

即可求解.

【详解】设圆柱的底面半径为「，高为九，则圆柱的体积为丫=兀/〃，

〃

两个圆锥的体积之和为K=2X；1兀/x1“2/2,

323

10

根据体积比的几何概型，可得所求的概率

P=]_YL=।7=4

V7ir2h3

故选：A.

7.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图

在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径已知圆(x+l1+(y-2)2=4的一条通径与抛物线

V=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则P=()

A.B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线y2=2px经过点(1,2),从而

可得答案.

【详解】因为圆(x+l>+(y-2)2=4的一条通径与抛物线y2=2px(p>0)的通径恰好构成一个正方

形的一组邻边，

而抛物线=2px(p>0)的通径与x轴垂直，

所以圆(X+1)2+()，-2)2=4的这条通径与轴垂直，

且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，

因为圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1,2),半径为2,所以该圆与V轴垂直的通径的右端点为

(L2),

即抛物线y2=2px经过点(1,2),贝I」4=2p,即p=2.

故选：C.

【答案】B

【分析】根据奇偶性排除C,D；根据当x>0时，/(x)>0,排除A,从而可得答案.

【详解】因为〃力=苧丁的定义域为(-8,0)U(0,M),关于原点对称,

所以“X)是偶函数，排除C,D；

当x>0时，/(x)>0,排除A,

故选：B.

9.在等差数列｛《,｝中，2%]0-恁=4,则｛q｝的前2023项和52023=()

A.2023B.4046C.6069D.8092

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项结合条件可得为“2=4,再由&O23=202340)=2023.2求解.

【详解】解：设也,｝的公差为d,

贝ij2a510-&=2(q+509d)-(q+7^/)=^+101W=t710I2=4,

所以s秋3=2°2"+%023)=2023a向2=8092.

故选：D

10.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该几何体的表积为

A.32+8石B.24+8石+8&

C.36+80D.28+8>/5+8A/2

【答案】B

【分析】根据几何体的三视图可得原儿何体为一个四棱锥尸-"8,根据四棱锥结构特征，求得各

个面积的面积，即可求得几何体的表面积.

【详解】根据几何体的三视图可得原几何体为一个四棱锥尸-"8,如图所示，

其中底面A8C3为边长为4的正方形，.RW为等腰三角形，且平面平面ABC。，

取A8,CL>的中点E,尸，连接则PE_LA氏尸/_L8,

因为平面尸A3c平面ABCD=AB,且PEu平面R4B,所以PEJ_平面ABC£),

又因为ADu平面A8CO,所以PE14),

因为AB_LAt>,EF43=£且£/,48<3平面以6,所以AO_L平面

又因为PAu平面皿，所以4)1.24,同理可证8CLPB,

因为底面4BCD为边长为4的正方形，且等腰,B4B的高为4,

=

可得$△/>"=-x4x4=8,SPAD=SPBC=$x4x2-^5=4-^5,^ABCD,

2222

又由PF=VPE+EF=>/4+4=4>/2，可得SPCD=--CD-PF=^x4x4y/2=S\[2,

所以该几何体的表面积为S=]6+8+2x46+4&=24+84+40.

故选：B.

11.当点M（2,—3）到直线（4m—l）x—（m-1）>+2m+1=0的距离取得最大值时，m=（）

4

A.2B.-C.-2D.-4

7

【答案】C

【分析】化简直线为（4x-y+2）m-x+y+l=0,得到直线经过定点N（一1,-2）,结合直线MN与该

直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解.

[详解】将直线（4〃?一1）》一（"2—1）,+2/”+1=0转化为（4%一〉+2）加一彳+>+1=0,

、f4x-y+2=0fx=-l/、

联立方程组，八，解得C，所以直线经过定点N-1,-2,

[-x+y+l=0[y=-2

当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值,

4m-1-3—(-2)

此时m-\*2-(-1)=-1,解得m=—2.

故选：C.

12.已知函数/（x）=2Gsin3xcosiyx-2sin2ox+l（o>0）在（0,兀）上恰有5个零点，则。的取值范

围为（）

-

29.35L（2935]

66

一

A.c一

29,_35LD-<-29同35-

1212

1

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数,。），求出*«0,兀）时，相位所在区间，再利用正

弦函数性质求解作答.

【详解】依题意，/（x）=A/3sin2（ox+cos2cox=2sin（2（ax+—）,

由<y>0,0<x<7t,<2a>x+—<2a>n+—,

666

因为〃x）在（0㈤上恰有5个零点，贝I]5兀<231+^46无，解得冷切若,

所以"的取值范围（为29后35噌'.

故选：D

二、填空题

13.己知向量a=（〃?,〃?+2）,。=（6,3）,若〃〃人贝!]相=.

【答案】-4

【分析】根据向量共线的坐标表示直接列式求解.

【详解】因为a〃"所以6（加+2）—3加=0,解得力=4

故答案为：-4.

14.甲、乙两位同学从3项不同的体育项目中任选1项参加，则这两人选择的体育项目相同的概率

为.

【答案】；

【分析】根据计数原理得到这两人不同的选法，及选择的体育项目相同的选法，从而求出答案.

【详解】由题可知，甲乙两人均有3种不同的选择，故这两人不同的选法共有9种，

31

其中选择的体育项目相同的选法有3种，故所求的概率为§=

故答案为：I

15.已知双曲线C：=的离心率为G，则双曲线C的两条渐近线夹角（锐角）

的正切值为.

【答案】2夜

【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案.

【详解】因为双曲线C的离心率为6,所以£=不，即1+4=3,则"④，

aa~a

故双曲线两条渐渐近线的斜率为土拉，

设双曲线C的两条渐近线的夹角为6,则tane=¥|=20,

1—Z

故答案为：2夜

16.数列｛叫满足4=L%=2,*=则｛叫的前2023项和S,023=.

【答案】1351

【分析1根据已知递推式求出G，4,%，4，%，火，则可得｛%｝从第3项起以3为周期的周期数列，从

而可求得答案

【详解】因为4=L%=2,%+2=[a"+l~a"，a""

所以％=1，%=1，〃5=0,4=1，%=1，。8=0,。9==l,«n=0,

则从第3项起以3为周期的周期数列，

所以$2023=674x2+3=1351.

故答案为：1351

三、解答题

17.已知ABC内角A,B,C的对边分别为小b,c,且闻sinC=3ccosB.

(1)求角3的值；

(2)若b=4,tzc=16,求ABC的周长.

【答案】(呜

⑵12

【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合同角的三角函数关系化简，即可得答案；

(2)由余弦定理结合已知条件，即可求得答案.

【详解】(1)因为6bsinC=3ccosB,所以"sin3sinC=3sinCcos3.

又C为一45c内角，sinCwO,所以bsin8=3cos5,

显然8=5不满足6川118=38$8,即有tan8=6，

7T

而3£(0,兀)，所以3=

(2)由余弦定理得从=cr+c2-2rzccosB=(iz+c)2-3ac,

b=4，ac=16f则a+c=Jb?+3ac=8，

所以ABC的周长为a+b+c=12.

18.为倡导全校师生共读好书，某校图书馆新购入一批图书，需要招募若干名志愿者对新书进行编

号归纳，并摆放到对应的书架上.已知整理图书所需时长y（单位：分）与招募的志愿者人数x的数

据统计如下表：

志愿者人数X12345

整理时长y/分6045403025

⑴求y关于x的线性回归方程*，=区+机

（2）由（1）中的线性回归方程求出每一个茗对应整理图书所需时长的估计值%,若满足,-“<3,

则将数据（%,%）称为一组正常数据，求表格中的五组数据中为正常数据的组数

〃__

工苦斗一〃孙

附：线性回归方程¥=%+》中，。=号-------,a^-bx.

V-,2-2

~nx

i=\

【答案】⑴y=-8.5x+65.5

（2）表格中共有3组数据是正常数据.

【分析】（1）根据表格中的数据，结合回归系数的公式，分别求得A&，即可得到回归直线方程;

（2）由（1）可知，分别令%=1,%2=2,占=3,%=4,%=5,验证的值，即可得到结

论.

1+2+3+4+5-60+45+40+30+25

【详解】（1）解：由表格中的数据，可得工==3,y=---------------------------=40

5

55

=1x60+2x45+3x40+4x30+5x25=515,=12+22+32+42+52=55,

/=ix=l

则6=_55_；xi-=一8.5,可得a=y—Ax=40+8.5x3=65.5,

故>关于x的回归方程为y=-8,5x4-65.5.

(2)解：由⑴可知，当再=1时，x=57,|^-^|=|57-60|=3,不是正常数据.

当W=2时，必=48.5,12一%|=|48.5-45|>3,不是正常数据.

当鼻=3时，％=40,|%-%|=|40-40|<3,是正常数据.

当％=4时，”=31.5,|j4-y4|=|31.5-30|<3,是正常数据.

当天=5时，券=23,|%一%|=|23-25|<3,是正常数据.

故表格中共有3组数据是正常数据.

19.如图，在四棱锥P-A8CZ)中，平面43cZ),底面A8CD为直角梯形，^BAD^ZABC=90,

PB=AB=BC=2AD=6,F为孙的中点.

⑵求点P到平面CDF的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

7

【分析】(1)由线面垂直性质和判定可证得AQJ■平面进而得到AD_L3F；由等腰三角形三

线合一性质可得PALBF,由线面垂直的判定与性质可证得结论；

(2)根据F为孙中点可知%加=3%皿，由棱锥体积公式可求得匕re，从而得到匕>-.；根据

长度和垂直关系，结合解三角形的知识可求得SAC”，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果.

【详解】(1)P8_L平面ABC£>,A£>u平面ABC。，.-.PB±AD；

又NBA£>=90,..ABJ.AD,

PBAB=B,平面RW,r.4)_L平面,

BFu平面:.AD±BF；

F为RA的中点，PB=AB,.-.PAJ.BFt

PAAD=A,PA,A£)u平面B43,平面PAD,

「P£>u平面尸AD,:.BFVPD.

(2)连接AC,取A3的中点G,连接CG,DG/G,

p

F为PA的中点，••=Kl-CDF»又+^A-CDF=^P-ACD»P-CDF=/匕，-AC。*

.AD=3,AB=6,/ABC=90,ADIIBC,：.SACD=-AD-AB=9.

又PB=6,P3_L平面ABC。，.1Vp_Ac0=§S.co，PB=§x9x6=18,，=9.

.尸,6分别为产448中点，；.尸6〃23,又平面ABC。，r./GJ•平面ABC。，又FG=^PB=3,

2

DG=-j32+32=3A/2,CG=&+6=3亚，

/.DF=yjFG2+DG2=3。CF=JpG'+CG?=3限，

y.CD=AAB2+^BC\=3>/5,

CF2+DF2-CD254+27-45夜

・・.在“CDF中,cosZCFD=

2CFDF2x3#x3招-3

sinZCFD=—,S=-CF-DFsinZCFD=-x3>76x3>/3x—=.

3rCDDFF2232

设点尸到平面8F的距离为"'则力加=3犷八半”=9,解得：d:当,

即点P到平面CDF的距离为亚.

7

20.已知函数“可=3、-#"

（1）当。=1时，求/（x）的极值;

（2）若〃x）在（0,+8）上恰有1个极值点，求。的取值范围.

【答案】⑴极小值为/（-2）W44，无极大值

⑵（1，+°°）.

【分析】（1）根据题意，求导即可得到其极值；

（2）根据题意，将极值点转化为函数零点问题，然后利用导数研究，即可得到结果.

【详解】(1)因为a=l,所以/(回=九，_$3一一,/(司=卜2+2*卜*—1).

令尸(x)=0,得x=—2或x=0,且当时，r(x)<0,

当xe(-2,0)一(O,y)时，故〃x)的单调递减区间为(-0,-2),单调递增区间为(一2,物).

从而“X)的极小值为/(-2)=,无极大值.

(2)因为f(x)=x2e*-gx3-g2,所以f'(x)=(x2+2x)e'-x2-2or.

因为/(x)在(0,—)上恰有1个极值点，所以/(X)在(。,+8)上恰有一个变号零点.

令g(x)=(x+2)e*-％-勿，贝ijg,(x)=(x+3)e'-l,

显然g'(x)在(0,+8)上单调递增，且g'(0)=2>0,所以g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

则g(X)在(0,+e)上单调递增.

要使广(X)在(0,+8)上恰有一个变号零点，则g(0)=2-2a<0,

即0>1,故。的取值范围为(1,+°0).

22

21.椭圆C：£+方=i(a>b>0)的左、右顶点分别为4(-2,0),4(2,0),上顶点为8(0,1),Q

是椭圆C在第一象限内的一动点，直线与直线AB相交于点P,直线BQ与x轴相交于点R.

(1)求椭圆C的方程

(2)试判断直线PR是否经过定点.若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由.

2

【答案】⑴〉+丁=1

4

⑵直线网经过定点，该定点坐标为(2,1).

【分析1(1)根据椭圆的几何性质，求得〃=2力=1,即可得到椭圆C的方程；

(2)设直线4。的方程为y=%(犬-2),联立方程组求得q=普?和"=七。，再由直线AB的

方程为y=：X+1,联立方程组求得Xp=等3和井=白，结合B,Q,R三点共线，求得XR=等一,

22k-12K-12k+1

得出深的方程，即可求解.

产y2

4(2,0),

【详解】(1)解：由椭圆C:靛+"=1的左、右顶点分别为A(—2,o),

上顶点为8(0,1),可得a=2,b=l,

丫2

所以椭圆C的方程为土+y2=i.

4'

（2）解：依题可设直线&Q的方程为丁=%（》-2）,其中上＜一；.

y=左（工一2）

联立方程组x2,,整理得（1+4公）--16%,+16公-4=0,

T+-V

16公一4/耳_Sk2-2-Ak

由2X=则y=

Q1+4/'vXq~l+4k2Q1+4公

直线AB的方程为y=gx+l,

y=k（x-2\

联立方程组1,,解得4=等彳，％=券，

y=—x+l2K-12K-1

Tk]

由8,。,R三点共线，得骑一=二1,解得/=萼二

一/XR2k+

4k2+1

4k

直线网的方程为广。=出|工[-

2k-l2k+l

整理得x-4y+2+2A（x-2）=0,

x-2=0

联立方程组解得x=2,y=[,

x-4y+2=0

故直线网经过定点，该定点坐标为（2,1）.

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略:

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题

目中核心变量（通常为变量%）；②利用条件找到左过定点的曲线F（x,y）=o之间的关系，得到关于上

与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,

再证明该定点与变量无关.

IY—0COS(X

22.在直角坐标系X0y中，曲线C的参数方程为一，c(a为参数)，以坐标原点为极点，X

(y=l+2sina

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为tan6=3.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C相交于M,N两点，已知点P(l,3),求|尸知|+|尸凶・

【答案】⑴曲线C的普通方程为x2+(y-l)2=4,直线/的方程为y=3x

⑵当

【分析】(1)消去参数得到曲线C的方程，再根据2=tan，求出直线/的直角坐标方程；

X

(2)求出直线/的参数方程，将其代入曲线C的普通方程，得到两根之和，两根之积，又由于

%=1＞。，所以尸(1,3)在曲线C外部，从而求出答案.

x=2cosa,,一x=2cosa,

【详解】(1)由,c.（a为参数），变形得到