数学-辽宁实验中学2023-2024学年高三上学期期中考带答案

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷是符合题目要求的.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.幂函数f（x）的图象过点2则f（x）的一个单调递减区间是().4.欧拉公式exi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x=R是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，e-的共轭复数为()A.+iB.-iC.-+iD.--i5.已知角a终边与单位圆的交点为P-,，则+的值为()第1页/共5页则λ=()A.-1B.C.1D.27.已知函数f(x)=，若对任意的正数a、b，满足f(a)+f(2b-2)=0，则+的最小值为A.2B.4C.6D.8B.C.D.)9.m、n是两条不同的直线，a、β是两个不重合的平面，下列说法正确的是()A.m、n是异面直线，若m//a，m//β,n//a，n//β,则a//βB.若a//β,m//a，则m//βC.若mln，m仁a，n仁β,则alβD.若mla，m//n，n//β,则alβ10.关于函数f(x)=2sin3x-π,下列说法正确的是()A.由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整数倍B.f(x)=-2cos3x-C.f(x)图像可由y=2sin3x向右平移π个单位得到D.f(x)在,上为增函数11.《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P-ABCD中，侧棱PDl底面ABCD，且第2页/共5页PD=CD=a，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．以下结论正确的有()A.DE平面PABB.四面体EBCD是鳖臑C.若阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，则V1=4V2D.若四面体EBCD的外接球的体积为a3，则CD=AD.A.f(x)的图象关于(1,0)对称B.4是f(x)的一个周期C.f(2023)=4048D.f(1013)=213.函数f(x)=3x+ln2的导函数f,(x)=.14.已知动点P在正方体ABCD一A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设=λ,若ZAPC为钝角，则实数λ的值为.的外接球的表面积为.17.已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1{an}的通项公式；第3页/共5页（2）求数列{an}前n项的和Sn.19.某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为.（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.20.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面‘ABC是等腰直角三角形,ZACB=90。，AC=BC=2，D,E分别为CC1,A1B的中点且E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.（1）求证：DE//平面ABC；（2）求二面角BADE的平面角的余弦值.（1）若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x平行，求该切线方程；22.已知函数f(x)=ex一1ax，xE(0,1]，f,(x)为其导函数．函数f(x)在其定义域(0,1]内有零点x0.第4页/共5页x0x0a 1-1a.第5页/共5页辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期期中阶段测试高三年级数学试卷是符合题目要求的.【答案】D【解析】【分析】先求CUB，再求交集即可.【详解】由题意可知：CUB故选：D.【点睛】本题考查集合的补运算、交运算，属基础题.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据不等式成立的条件求出x的取值范围，然后根据充分必要条件的判断原则即可选出答案.【详解】解：由题意得：由(x2[-3,+构)的真子集，所以p是q的必要而第1页/共21页333.幂函数f（x）的图象过点2则f（x）的一个单调递减区间是()【答案】A【解析】 4【分析】设f(x)=xa,根据f 4,解出a=-2,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设f(x)=xa,则f(2)=所以a=-2,所以f(x)=x-2,,即2a所以f(x)=x-2的递减区间为(0,+构),故选:A【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.e-3的共轭复数为()4.欧拉公式exi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，xeR是由瑞士著名数学家欧拉e-3的共轭复数为()位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式， A.B.2- A.B.2-2-1-iC.D.-1-iC.D.【答案】A【解析】z=z=1-3i，再计算共轭复数得到答案.-i，-i，故-3z=3z=e故选：A.(34)(34) 1+sin2a+2-2cos2a的值为()第2页/共21页A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可.722根25=+=.故选:C.则λ=()A.1【答案】D【解析】组，即可求解.2+(λ1).2故选：D.第3页/共21页7.已知函数f(x)=，若对任意的正数a、b，满足f(a)+f(2b-2)=0，则+的最小值为A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】分析函数f(x)的单调性和奇偶性，可得出a+2b后利用基本不等式可求得+的最小值.【详解】对任意的xeR，ex+1>0，所以，函数f(x)=exex+1因为f(-x)====-f(x)，即函数f(x)为奇函数，又因为f(x)==1-，且函数y=ex+1在R上为增函数，所以，函数f(x)=在R上为增函数，对任意的正数a、b，满足f(a)+f(2b-2)=0，则f(a)=-f(2b-2)=f(2-2b)，l时，等号成立，故+的最小值为4.第4页/共21页B.C.D.)【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出B=2A，利用‘ABC为锐角三角形求出角Aa质可求得的取值范围.+2cosA-1，利用二次函数的基本性【详解】由余弦定理可得a2+ac=b2=a2+c2-2accosB由正弦定理可得sinA=sinC-2sinAcosB=si=sinAcosB+cosAsinB-2cosBsinA=sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A)，(π)ππ(π)ππ因为正弦函数y=sinx在-,上单调递增，所以，A=B-A，所以，B=2A，则C=π-B-A=π-3A，|π2b+csinB+sinCsin2A+sin3A2sinAcosA+sinAcos2AasinAsinAsinA令t=2cosA=(,)，则函数y=t2+t-1在(,)上为增函数，第5页/共21页故选：D.9.m、n是两条不同的直线，a、β是两个不重合的平面，下列说法正确的是()A.m、n是异面直线，若m//a，m//β,n//a，n//β,则a//βB.若a//β,m//a，则m//βC.若mLn，m仁a，n仁β,则aLβD.若mLa，m//n，n//β,则aLβ【答案】AD【解析】【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断A选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断BC选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断D选项.【详解】对于A选项，在直线m上取一点O，过点O作直线n,，使得n,//n，过直线n作平面y，使得a八y=a，如下图所示：因为n//a，n仁y，a八y=a，则a//n，又因为n,//n，则a//n,，因为n,仁a，a仁a，则n,//a，设直线m、n,确定平面Ψ,对于B选项，若a//β,m//a，则m//β或m仁β,B错；对于C选项，若mLn，m仁a，n仁β,则a、β相交（不一定垂直）或平行，C错；对于D选项，因为mLa，m//n，则nLa，过直线n作平面y，使得βny=b，如下图所示：第6页/共21页因为n//β,n仁y，βny=b，则b//n，因为nLa，则bLa，又因为b仁β,所以，aLβ,D对.故选：AD.10.关于函数f(x)=2sin3x-π,下列说法正确的是()A.由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整数倍B.f(x)=-2cos3x-C.f(x)图像可由y=2sin3x向右平移π个单位得到D.f(x)在,上为增函数【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的图象与性质，结合三角函数的诱导公式和图象变换，逐项判定，即可求解.解得3x1-π=kπ,3x2-π=mπ,kEZ,mEZ，则3x1-3x2=(k-m)π,kEZ,mEZ，所以x1-x2=,kEZ,mEZ，所以A不正确；对于B中，由函数f(x)=2sin(3x-π)=-2cos[(3x-π)+]=-2cos(3x-)，所以B正确；对于C中，将函数y=2sin3x的图象向右平移π个单位，第7页/共21页得到f(x)=2sin[3(x-)]=2sin(3x-)=2sin(3x-)，所以C不正确；根据正弦函数的性质，可得函数f(x)在xE,为单调递增函数，所以D正确.故选：BD.11.《九章算术》是我国古代数学中的经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马P-ABCD中，侧棱PDl底面ABCD，且PD=CD=a，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．以下结论正确的有()A.DE平面PABB.四面体EBCD是鳖臑C.若阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，则V1=4V2D.若四面体EBCD的外接球的体积为a3，则CD=AD.【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A选项；由线面垂直的判定定理得BCl平面PCD，DEl平面PBC，可判断B选项；根据锥体体积公式可判断C选项；由题可知四面体EBCD外接球的半径为BM，再由球体的体积公式即可判断.【详解】如图，取PB中点F，连接EF，AF，因为E是PC的中点，所以EF//BC，EF=BC，因为底面ABCD为长方形，所以AD//BC，AD=BC，所以EF//AD，EF=AB，所以四边形ADEF为梯形，所以直线DE与AF相交，因为AF仁平面PAB，所以直线DE与平面PAB相交，所以A错误；因为PDl底面ABCD，所以PDlBC，因为ABCD为长方形，所以DClBC，因为PD仁PCD,DC仁PCD且PD八DC=D因为DE仁平面PCD，所以BClDE，因为PD=CD=a，所以DElPC，又BC仁平面PBC，PC仁平面PBC，且BC八PC=C，所以DEl平面PBC，所以四面体EBCD四个面都是直角三角形，所以四面体EBCD是鳖臑，所以B正确；第8页/共21页由题意可知PD是阳马P一ABCD的高，所以V1=S-ABCD.PD，因为E是PC的中点，所以VSΔBCD.PD=xS-ABCD.PD=V1，所以C正确；连接AC，则AC与BD相交与点M，连接EM，则M为四面体EBCD外接球的球心，所以半径为BM，错误.22(2)264π(1)364π(1)3 3故选：BCA.f(x)的图象关于(1,0)对称B.4是f(x)的一个周期C.f(2023)=4048D.f(1013)=2【答案】AD【解析】，A正确，计算f(0)产f(4)，B错误，构造到答案.函数图象关于(1,0)对称，正确；第9页/共21页则g(x)=2，f正确；故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，确定新函数的周期再计算函数值是解题的关系，此技巧需要熟练掌握.13.函数f(x)=3x+ln2的导函数f,(x)=.【答案】3xln3【解析】【分析】直接求导得到答案.故答案为：3xln314.已知动点P在正方体ABCD一A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设=λ,若ZAPC为钝角，则实数λ的值为.【解析】【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD一A第10页/共21页根据=λ,得到P(λ,λ,1一λ)，结合.<0，即可求解.【详解】以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y和z轴，建立空间直角坐标系，如图所所以x=λ,y=λ,z=1λ,即P(λ,λ,1λ)，因为点P与点B不重合，所以ZAPC子180。，所以ZAPC为钝角，等价于cosZAPC<0，所以.=(1λ,λ,λ1).(λ,1λ,λ1)=3λ24λ+1<0，解得<λ<1，即实数λ的取值范围为(,1).第11页/共21页【答案】1【解析】【分析】先根据四点共圆得出同弧对的圆周角相等，再根据正弦定理得出边长，最后应用数量积公式及运算律计算即可.ΔABC,si5°=si°,AC=62,=xxxx=2+262=1的外接球的表面积为.【答案】【解析】【分析】取AC的中点O，连接OP、OB，推导出PA、PB、PC两两垂直，以点P为坐标点，PA、PB、PC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，三棱锥E一ABC的球心为M(x,y,z)，利用空间第12页/共21页中两点间的距离公式可得出关于x、y、z的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心M的坐标，可求出三棱锥EABC的外接球的半径，再结合球体表面积公式可求得结果.【详解】取AC的中点O，连接OP、OB，如下图所示：因为三棱锥PABC为正三棱锥，则PAPCPB，ΔABC为等边三角形，又因为O为AC的中点，所以，OPAC，OBAC，因为OPnOBO，OP、OB平面OPB，所以，AC平面OPB，因为PB平面OPB，所以，ACPB，因为E、F分别是PA、AB的中点，则EF//PB，因为CEF90。，即EFCE，所以，PBCE，因为ACnCEC，AC、CE平面PAC，所以，PB平面PAC，因为PA、PC平面PAC，所以，PAPB，PBPC，因为三棱锥PABC为正三棱锥，则PAPC，即PA、PB、PC两两垂直，以点P为坐标点，PA、PB、PC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，第13页/共21页|(||x|8|(||x|8((|(|(|(|(( )222(2=( )222(2=x )222 )222 )2222=x )2222=x )222()222()2|8|3因此，三棱锥E-ABC的外接球的表面积为4πR2=4π根2=.故答案为：.17.已知数列{an}的前n项的和为Sn，且a1{an}的通项公式；（2）求数列{an}前n项的和Sn.【答案】【解析】通项公式；（2）利用错位相减法可求得Sn.【小问1详解】第14页/共21页【小问2详解】【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tanB的值，结合角B的取值范围可得出角B（2）利用余弦定理求出b的值，再利用正弦定理可求得sinC的值.【小问1详解】解：因为cosC=，由正弦定理可得cosC=，所以，sinCsinB=sinA-sinBcosC=sin(B+C)-sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC-sinBcosC=cosBsinC，π .4π .4【小问2详解】第15页/共21页csinCcsinC由正弦定理可得2a由余弦定理可得b2ac22accosB9223bsinBcsinBb 519.某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为.（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.【解析】【分析】（1）设该考生两年内可获得该职称的事件为A，计算概率得到答案.（2）X的可能取值为2，3，4，计算概率得到分布列，再计算数学期望即可.【小问1详解】设该考生两年内可获得该职称的事件为A，PA1121；【小问2详解】X的可能取值为2，3，4.PX2；PX312；PX411；X的分布列为：第16页/共21页X234p 14 2 1420.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是等腰直角三角形,ZACB=90。，AC=BC=2，D,E分别为CC1,A1B的中点且E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G.（1）求证：DE//平面ABC；（2）求二面角B-AD-E的平面角的余弦值.【解析】【分析】（1）取AB的中点M，证得EM//CD，且EM=CD，得到四边形CDEM为平行四边形，得出DE//CM，结合线面平行的判定定理，即可证得DE//平面ABC；的射影是ΔABD的重心，列出方程求得a=1，再求得平面ADE和平面ABD的一个法向量=(1,-1,2)和【小问1详解】证明：取AB的中点M，分别连接EM,CM，因为E,M分别为A1B,AB的中点，所以EM//AA1，且EM=AA1，又因为AA1//CC1,AA1=CC1，且D为CC1的中点，所以EM//CD，且EM=CD，第17页/共21页所以四边形CDEM为平行四边形，所以